Nous avons trouvé précédemment, pour un point

matériel libre, ou assujetti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface fixe, Téquation :

mvi^

d.-^ = Xdx -h Ydy -h Zdz;

mais nous venons de voir que :

Xdx 4- Ydy + Zdz = Tds, donc nous aurons :

m-~ — m-^= / Tds.

Cette relation exprime que :

L'accroissement de force vive du mobile, quand il passe d'une position à une autre, est égal au double du travail de la force motrice.

Si la force P est la résultante de plusieurs forces P,, I\... dont les composantes tangentielles sont T„ T,..., on aum :

T=iT^ + T, + ...,

jTds = 1 T,ds H- jTtds + ...,

par suite :

mv^ — wio

' = i(CT,d8 + Ctj8'h.\\

Si donc on appelle forces mouvantes celles qui font un angle aigu avec la direction du déplacement, forces résistantes celles qui font un angle obtus, on pourra dire que :

L'accroissement de force vive d'un mobile, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double de l'excès dn travail des forces mouvantes sur le travail des forces résistantes.

Ce principe porte le nom de principe des forces vives, ou

DtsîPEYKOts. — Mécanique. 18

974 COURS SE h^nique:.

de principe du tramH, potir 1^ P4a û'm simple point

matériel,

On pourrait, dans la Mécanique rationnelle, se passer à la rigueur de considérer le travail et appliquer dans tous les cas le théorème des forces vives sous la forme :

- — ^ = Çç^dx + Ydy + Zdz);

mais lorsqu'on s'occupe des machines, le travail devient un élément d'une importance capitale, il en est de même dans les applications à la théorie mécanique de la chaleur.

Nous ferons souvent usage de la notion du travail ; nous allons appliquer les considérations précédentes au cas déjà traité d'un point matériel attiré vers un centre fixe par une force qui est une fonction donnée de la distance.

Soient M et M' deux positions infiniment voisines du point matériel. Posons : AM = r, AM' = r'.

Cherchons le tra\'ail élémentaire de la force attractive

Mb = m.

Ahaissons du point M' une perpendiculaire M'H sur MA, nous aurons :

MH = + dr, en négligeant tin infiniment petit du second ordre ; le travail élémentaire est :

-MB XMH = — /(»•) dr.

2«r' <r,MH = — dr.

Le travail élémentaire est :

-f-MBXMH = — /^(r)dr.

On a donc dans les deux cas :

SI la Ibree était répulsive, 11 fendrait ehanger le signe de f(r).