CHAPITRE VI
MOOTEUBNT D'DH POUTT UTËRIEL SVR DHE COURBE FIZS.
49. Nous supposerons que par un moyen quelconque on assujettisse le mobile à se mouvoir sur une courbe fixe donnée; nous faisons abstraction du frottement; dans ces conditions la courbe ne peut détruire ni produire que des forces normales ; dans chacune de ses positions, le mobile exercera sur la courbe une pression normale dont nous représenterons l'intensité par R; la courbe exercera une réaction normale N égale et contraire à R, et si l'on introduit cette réaction inconnue N dont on "■ ^ ne sait qu'une chose : à savoir
qu'elle est contenue dans le plan normal à la courbe, on pouri'a considérer le point matériel comme entièrement libre. Soit P la résultante des forces extérieures qui agissent sur le mobile; par la force P et la tangente MT faisons passer un plan qui coupe le plan normal à la courbe suivant la droite M Q; décomposons la force P en deux autres, l'une T suivant MT, l'autre Q suivant MQ. Le point M sera donc soumis à l'action de la force tangentielle T et des forces Q et N normales à la trajectoire. Nous aurons donc :
m — = somm. proj. de Q et de N sur la normale principale MH.
Soient A l'origine des arcs et A M le sens positif de ces arcs ; on aura :
La force T sera positive quand elle agira dans le sens AM; négative dans le cas contraire. L'équation (4) pourra s'écrire :
Des équations de la courbe on tirera :
puis on aura :
On aura donc par une [quadrature z, puis x et y en fonction de 8.
Ainsi Xj yj z sont, par les équations de la courbe, des
fonctions connues de s: il en est de même de y-» ^r^» :j->
' as a» as
P et par suite T est une fonction de la position du mobile du
dx dp dz temps t et de la vitesse qui peut entrer par ^ ^t ^ » j- » ^ •
On a donc :
Nous serons donc ramenés à intégrer l'équation du second ordre :
78 COURS DB KÉCABIQUE.
quation tout à fait semblable à celle rencontrée dans le louvement rectiligne d'un point matériel.
L'inlégrale générale de cette équation diiîérentielle étant uppoaée connue, on déterminera les deii» cunstontee qu'elle outiendra, en écrivant que pour f ^ (, :
' = '• "(r'jr'
et par suite x, y, i seront cohhus en fôhCtioh dd tehips et ; problème sera résolu.
Soient X, Y, Z les composantes de la force P ; on aura :
as as as
.'équation (3) pourra donc s'écrii-e :
af as as as
l'est l'équation à laquelle nous étions déjà parvenus d'une utre manière>
Considérons le cas où la fonction des forces existe; on éduit de l'équation précédente :
'où, en vertu des équations de la courbe :
l~\l+ ri') 4- ?'»(3) I = mtV - 2F (a:.,y„2.)
e qui donne :
bVNAMiQtJE. 279
On eh déduit :
Oti pbU^ra donc trouver z et pai^ suite x ety en fonction de i. Alïisi, dons le bûs où Tinlëgralfe des forces vives existe, le problèhHB est l^mbtté auic quadratures, et même à une sBijde qUadratUre.
60. ExEMPLEi — Un point matériel assujetti à rester sur une courbe plane donnée fcsi soumis à une force dirigée constamment vers un centre fixe situé dans le plan de cette courbe, et dont l'intensité est une fonction donnée f{r) de la distance r du mobile au centre. Trouver le mouvementi
L'intégrale des forces vives existe et on a t
V' = V - - fVw ^^•
Soit:
l'équalioh de la courbe en prenant pour pôle le point fixe O ; on aura :
On en déduit :
v"'"-âr««'"-
, |/1 4-r»?"(r)dr
51. Détermination de la pression que le mobile exerce sur la courbe. — La résultante des forces normales MQ et
[N (49) doit être dirigée suivant la normale prindpale et
j p désignant le rayon de courbure de la
courbe donnée en M; la force M H est
ce qu'on nomme la force centripète,
une force MK égale et contraire à la
'•" force centripète est ce que l'on nomme
■J" force centrifuge. Les trois forces MQ,
M N et M K se feront équilibre; donc
la résultante des forces M Q et M K sera
^ale et directement opposée à MN,
" Cette force égale et opposée à MN
st la pression MR du mobile sur la courbe. De là, ce
îiéorème :
La pression exercée sur la courbe est la résultante de la omposante normale de la force motrice et de la force entrifuge.
Si ces deux dernières forces sont connues, en grandeur et n direction, il en sera de môme de la pression. Si la force P st constamment nulle, il en sera de même de ses compoantes T et Q ; l'équation (1) donnera :
;onc le mouvement sur la courbe sera uniforme. Le théorème lémontré plus haut nous montre que, dans ce cas, la pression xercée par le mobile sur la courbe est égale en grandeur et m direction à la force centrifuge ; elle est donc dirigée suivant a normale principale, en sens inverse du rayon de courbure,
it elle a pour expression — ; la réaction de la courbe est
^e à la force centripète.
