CHAPITRE VII
APPLICATIONS A QUELQUES QUESTIONS RELATIVES AU MOUVEMENT D'UN POINT PESANT SUR UNE COURBE DONNfiE.
52. Mouvement d'un point matériel pesant sur une courbe donnée. — On suppose que le mouvement a lieu dans le vide et on néglige le frottement sur la courbe. Soit la courbe MoAB ; A le point le plus bas, B le point le plus haut, M, le point
B de départ que nous
prendrons pour origine de Taxe MoZ qui sera vertical et dirigé vers le bas.
Nous supposerons d'abord nulle la vi-
tesse initiale en Mo.
Le principe des forces vives nous donne, en désignant par v la vitesse du mobile en un point quelconque de sa trajectoire et par z la distance au point M,, projetée sur la verticale :
le mobile descendant, v augmente, est maximum en A
où Vo* = 2âf X M,H.
La vitesse maxima est donc la même que si le mobile était tombé librement de M^ en H. Au delà du point A la vitesse diminue, elle s'annule au point N, situé sur le plan horizontal
Kic, 138
qui passe par le point M^ ; le point redescendra ensuite en A, remontera en Mo, etc. Les oscillations seront isochrones, car si nous considérons un petit élément m n de la courbe, il sera parcouru avec la môme vitesse dans le mouvement descendant et dans le mouvement ascendant; le temps employé pour aller de M, en A sera généralement différent du temps employé pour aller de A en" No, à moins que la courbe ne soit symétrique par rapport à la verticale du point A: ,
Supposons maintenant que la vitesse initiale !/, ttB soit pas nulle et posons :
ttiE^Us durons i
(1) V* = ig [z 4- h).
Soit Ml le point de la courbe distant de Mo de la quantité h suivant la verticale; la vitesse Vo pourra être produite en supposant que le point tombe sur la courbe à partir de M^ jusqu'en M^j la vitesse initiale étant nulle en M^. Il y a deux cas à considérer \
1^ ft est inférieur à la distance K du point culminant B au plan horizontal qui passe par Mo ; alors le point M, existe sur la courbe ; le mobile va de Mo en A, de A en Nj, puis il revient de Ni en Mj ; il exécute donc sur la courbe des oscillations isochrones.
2^ h est supérieur à la distance K; alors, la formule ;
nous montre que le mobile parti de Mo avec la vitesse v^ descend jusqu'en A et remonte en B, car la vitesse ne s'annule t)lUB; il reviendra en Mô avec là Vitesse ^oj il feî*a donc une suite indéfinie de révolutions, qui aUront toutes une égale durée dépendante de la forme de la coUrbe et de la grandeur de h.
Pour déterminer la position du mobile sur la courbé â un
indtatit quelconque^ on remai'que que l'éqUâtioh (1) peut
s'écrire :
On lifera des ërJUalions de la courbe s en fonction de r et Ton alirâ i
8 = f{z) d8=if{z) dZj
de (2) nous tirons : ,
•« f {z) dz
'• Vz -^ h
Considérons le cylindre circonscrit à la courbé et dont les génératrices sont verticales, si Ton développe la surface de ce cylindre sur l'un de ses plans tangents, on aura une courbe pour laquelle z et s seront les mêmes en chaque point qu'au point correspondant de la courbe primitive ; donc l'équation (3) sera la même pour les deux courbes, îe mouvement sera le même si v^ et a^ sont les mêmes. On peut donc ramener l'étude du mouvement d'un point pesant sur une courbe gauche à celle du mouvement sur une coiu*be plane.
Entre les deux cas considérés plus haut, il y aura un cas intermédiaire, celui où /i = K, je dis que dans ce cas le mobile n'arrivera au point B qu'au bout d'un temps infini et avec une vitesse nulle.
Il suffit de montrer que le 'mobile metti^a un temps infini pour aller de N^ en B ; nous allons donc prouver le théorème suivant :
53. Théorème. — f/n point matériel pesant M est astreint à décrire sans frottement une courbe plane ou gauche MB (fig. 139); sa position initiale eét M, et nA ifitesse initiale v est celle qui serait due à la hauteur comprise entre le point Mo et le plan horizontal mené par le point le plus élevé B ; cette vitesse initiale est d'ailleurs dirigée dans le sens MoB. On
Fig.lSÎ^
demande de démontrer que le mobile met un temps infini
pour aller de Mo en B.
Prenons le point B pour origine de Taxe vertical BZ;
soit Zo l'ordonnée de M, et z Tordonnée d'un point quelconque M compris entre B et M^ ; on aura par le théorème des forces vives :
v* — v^'' = ig{Z'-z^).
Or, par hypothèse :
donc :
t?« = igz.
Soient : BM^ = s,, BM = s, on a :
On en déduit
ds ds^
ds
Soient : r Tangle que fait avec BZ la tangente en M; Ç l'angle que fait avec B Z la normale principale en M ; P le rayon de courbure en M.
On a :
ds rf.cos Y = cos Ç — »
ou bien, à cause de ^ = cos y,
tt s
ds
cos
ds
Soit ^ une limite supérieure des valeurs que prend le
cos ^ rapport pour les divers points de l'arc M,B; on aura :
, dz a* — ds 1
ou bien :
d.îdz 1 ) ^ ds(d8 K )^^
donc la fonction :
dz 1 d's~V'
est décroissante quand s croît de zéro à s, ; mais pour s = cette fonction est nulle, car en B la tangente étant horizon-
dz taie ^ = ; donc cette fonction est négative pour tous les
points compris entre M^ et B ; ainsi :
dz 8 ^ d / 8^\ ^
___<0, ou -(z-^^'j<0.
Donc, la fonction z — 5^ ^st décroissante, or, elle est nulle pour 8 = 0, donc elle est constamment négative, et Ton a :
Dans rintégrale qui figure dans le second membre de réquation (4), et dont tous les éléments sont positifs, si Ton
remplace z par la quantité plus grande ^i on diminuera
Vint^rale ; donc cm 9. :
t ou bien :
Vî'g>["yïiL^
