VI
Si Ton fait tendre s vers zéro, on voit que t tend vers l'infini; la formule:
montre du reste que v tend vers zéro.
54. Cas d'exception, -« ta méthode précédente est en défaut lorsque le rayon de courbure de la courbe est nul au
point B; le rapport n'a pas en effet dans ce cas de
limite supérieure puisqu'il est infini au point B. Dans ce cas le temps nécessaire pour atteindre le point B dans les conditiona indiquées (53) peut être fini.
Nous allons en donner un exemple.
Gonaidéropa \^ çourb^ ;
a?ï + yT = J>.
Le rayon de courbure a pour expression :
il est nul aux points B, B„ G, G,.
Fig.140
On a:
d'où:
il •
= iiy-T.
Supposons qu'on assujettisse un point pesant à se mouvoir sur cette courbe, à partir du point G, avec la vitease qui serait due à la hauteur de chute OG; cherchons le temps T qu'il mettra
DYNAMIQUE. aS'f
pour arriver en B. Le mobile est lancé ds^ns 1^ diracr tion CB. Menons la verticale BZ; soit s = BM, z = MP. On aura :
Or, on tire de l'équation de la courbe :
donc :
)iz-l%=%,z;
résolvant par rapport àdtet intégrant on aura :
Ainsi, ce temps est fini et égal au triple du temps que mettrait le mobile pour monter verticalement de C en 0, sll était lancé avec la vitesse v^.
55. Problème. — Un point matériel pesant est astreint à parcourir sans frottement la courbe plane ou gauche C, on le place en N^ sans vitesse initiale ; on demande de trouver deux limites, l'une inférieure, Vautre supérieure du temps T que met le mobile à aller du point N, au point le plus bas A.
Posons :
Fin. 14-1
AN = 5, AN^) = 5o,
Soient z^ et z les hauteurs verticales des points N^ et N au-dessus du point A. La vitesse t; en N sera donnée par Téquation :
de'
On en déduit :
*'*' Vz„—z
(S) tyïg=r-^.
^'' Vz„ — z
Soient, en gardant les notations du numéro (53), jj et t les
limites supérieures et inférieures du rapport pour les
divers points de l'arc A N, ; on aura :
(R- 4 cos Ç 4
4 ds 1^
ï^ ds ^K' On en déduit :
d (dz s\ . d /dz s\ „
donc la fonction -- — 7 est croissante, et la fonction -r- ^v ds k ' d« K
est décroissante, quand s croit de à s,; ces deux fonctions
sont nulles pour s ir= 0, parce que le point A étant le point
le plus bas, -^ est nul en ce point. On a donc :
dz s d / «0^ s'\
donc, la fonction :
est décroissante quand s croît de zéro à s, ; mais cette fonction est nulle pour s = s, ; donc, pour une valeur de s comprise entre et s, elle est positive. On a donc :
On verrait de môme que Ton a :
. - fî! il
Eii tenant compte de ces inëgalilés, la formule (5) donnera :
Or :
Jo y s* 5»
— ^== = arc sin - •
on a donc
Jf" ils T..
Supposons que le point N^ se rapproche de plus en plus du point A; les inégalités (6) montrent que k et K tendront
vers la limite —^. > R désignant le rayon de courbure de la
Despeyrovs. — Mécanique* lU
courbe en A, et i l*angle de ce rayon de courbure avec la verticale. Les deux limites de T seront alors confondues, et Ton aura :
2 y flf cos i
On trouverait le même résultat pour Tare A M, ; donc la durée des oscillations infiniment petites, de part et d'autre du point le plus bas de N, en Mo, puis de M^ en N„ est :
Y 1/ cos t
Les petites oscillations sont ifeochrones et leur durée est indépendante de Tamplitude.
56. Problème — Un point pesant est astreint à parcourir sans frottement une courbe plane donnée; on demande de calculer la pression qu'il exerce à chaque instant sur la coîirhe.
Prenons Taxe des z vertical et dirigé vers le bas; nous aurons :
ou en faisant :
(1) t' = 2ff (- + 6).
Nous savons^ue la pression est la résultante de la force centrifuge et de la composante normale du poids. Désignons par l'angle inférieur à r. que fait avec Taxe dos z le rayon mené de chaque point de la courbe au centre de courbure, la pression sera en valeur absolue :
mg cos 6 —
mr*
DYNA^nQVE. Î2&1
Soit H celte pression; on aura, en reniplaranl i;' par sa valeur (1) :
^ T . 2 (j 4- hn R = ± mg cos —^ — ■ •
(2 r + A) Lorsque cos est positif, la pression est
dirigée de la courbe vers le centre de courbure ; lorsque cette quantité est négative, la pression est dirigée du centre de courbure vers la couibe; p doit être pris positivement dans les deux cas.
Les points où la pression est nulle sont importants à connaître ; en effet, c'est en ces points que la pression change de sens et (jne par conséijuent le mobile quitte fa courbe. Les points dont il s'agit satisfont à la condition :
P condition qui exprime Tégalité en grandeur et en direction de la force centripète, et de la composante normale du poids. Lorsque le point quitte la courbe, il décrit une parabole qui a avec la courl)e donnée un contact du deuxième ordre, parce qu'en ce point la courbe donnée et la parabole décrite
ont même tangente et même rayon de courbure; en effet
a en ce point la même valeur pour les deux courbes, cette valeur étant mg cos 0; t; est le môme; donc p est le même.
Si le mobile est simplement posé sur la courbe, il faut une certaine condition pour que le mobile ne quitte pas la courbe.
Si le point est placé dans la concavité ^ il faut que la pression soit dirigée en sens inverse du rayon de courbure; donc
^ 2(- + fe) .
cos e — ^^ < 0.
Cela aui'a toujours lieu si 6 > ;»
Si le point est placé sur la convexité, il faut que la pression sur la courbe s'exerce dans le sens du rayon de courbure ; c'est à dire que :
Gela n'aura jamais lieu si > - •
Nous allons appliquer ces considérations au problème suivant :
57. Problème. — Un point matériel pesant M est placé dans la concavité d'une circonférence de rayon R dont le plan est vertical; la position initiale du mobile est le point le plus bas A; la vitesse initiale v^ dirigée vers A M est celle qui est due à la hauteur h. On demande les co7iditions qui doivent être remplies pour que le mobile reste toujours sur la circonférence, ou la quitte à un certain moment.
Prenons Taxe des z verticaj et dirigé ^ig.i*^ vers le bas. Posons :
on a d'ailleurs par hypothèse :
z La vitesse v lorsque le mobile sera- en M
sera donnée par l'éciuation :
On a d'ailleurs :
V* — fo' = 'ig (z — z^),
2 = R 4- R cos 0.
Soit N la pression que le mobile exerce sur la courbe, on a :
^X2— 4- 0' cos 0:
TITSAMIOTT. 293
N et y sont donc donnés par les é(iuations :
(i) t>' = 2j (A + R cos 6 — H),
(î) N = mg pjj + 3 cos 8 - îV
V s'annule pour ô = 6', 6' élant déterminé par l'équafion :
cet angle 0' n'existe que si l'on a /t < 2R; pour A < R, il
est aigu ; il est obtus pour ft > R.
N s'annule pour fl = 6', 8' étant déterminé par l'équation
(4) cos 6' = l(l-
cet angle V n'existe que si l'on a :
(l'oft :
li' est aigu pour ft < R, et obtus pour ft > R. On est conduit à distinguer les cas suivants :
1" Si h > -5- ■ 6' et 0' sont imaginaires; u et N ne s'annulent jamais ; le mobile ne quitte pas la courbe, et parcourt un nombre indéfini de lois la circonférence entière.
5R £" 2R < ft < -j ■ 8' est imaginaire, 6' réel; le mobile
quitte la courbe à un moment donné.
3" R < ft < 2R, 8' et 8' sont réels et obtus; l'équation
(5) cos û' = l cos 8',
donne 0' < 8', N s'annule avant v; le mobile quitte la courbe.
2!)i. cnuns de MftnANiQrE.
4° fe < R. 6' et 6' sont réels et alpfus; l'ëquation (5) donne 0' > fl'; donc u s'annule avant N; à ce moment, le mouvement change de sens; il est oscillatoire, et le mobile reste toujours sur la courbe; il ne la quitte donc que si h
est compris entre R et „ ■
En quittant la circonférenc» le point décrira une parabole
n Fia 14-3 tangente à la circonférence au point M' où
^^^ il quitte la courbe. En ce point les deux
courbes ont non seulement une tangente
commune, mais encore le môme rayon de
courbure; car on a, dans le mouvement
parabolique, en désignant par v la vitesse
commune dans les deux mouvements en M' et p le rayon
de courlmre de la parabole en M' :
— = comp. normale du poids, ?
et sur le cercle :
- — compDs. normale du poids,
à cause de N = 0.
Donc :
Les deux courbes ont trois points communs en M'. Il y a' Un quatrième point d'intersection que l'on trouvera aisément ; on l'obtiendra en poi-tant, t;omme le calcul te montre, à partir du point B et à gauche de ce point unarcBM''^3BM'. On pourra déterminer /( de manière que la parabole passe par un point donn^. .
