CHAPITRE Vni
■ODVEHENT DU PENDULE SIMPLE DiNS LE VIDE ET DANS DN HILIEII HtSISTANT.
5S. Pendulesimple dans le Tide.—SiippoRons<|u'uii point matériel pesant M soit attaché à rextrémilé d'un fi] inextensible etsans masse OM, et que l'auti'e extrémité 0<lecefil soil fixe. Le point M est en équilibre lorsque le fil OM est dirigé suivant la verticale OB, et le poids de ce point est détruit par la résistance qu'il éprouve (le la part du fil. Si l'on écarte le corps M de sa position d'équilibre, qu'on l'amène en A, et qu'on l'abandonne ensuite à l'action de la pesanteur, sans lui communiquer de vitesse initiale, il se mouvra dans le z plan AOB, sur un arc de
cercle ayant le point pour centre; on peut donc regarder le point matériel M comme étant dans les mêmes conditions que s'il était assujetti à rester sur l'arc de cercle ABA', et soumis à une force égale à son poids ; la pression exercée par le mobile sur la courbe se trouve remplacée par la tension du fil OM.
D'après ce qu'on a dit, d'une manière générale, du mouvement d'un point pesant assujetti à rester sur une courbe fixe, on verra que le point A doit osciller indéfiniment, de A en A', de A' en A, etc. A' désignant le point de l'arc de
cercle situé sur Thorizontale du point A; toutes ces oscillations sont identiques; il suflit d'étudier Tune d'elles, ou même simplement le mouvement de A en B. On a en posant :
0M = /, AOB = a, MOB = 0, AM = 5, OC = z., 0? = s;
en désignant par v la vitesse du mobile en M et appliquant l'équation des forces vives, ce qui élimine la tension du fil, normale à la courbe :
V* = ig {z ^ Zq); îo = ' cos a; z= l cos 8,
par conséquent :
V = Vigl (cos — cos a) .
D'ailleurs on a :
et :
d'où, en égalant les deux valeurs de v :
Vl^'=
ou en intégrant :
Vh-£
f s'exprime en fonction de 0, par une intégrale elliptique.
59. Cas des oscillations très petites. — « est très petit; il en résulte que 6 est aussi très petit. On peut remplacer
dans (1) sin* 5 et sin' 5 par — et — » ce qui donne :
Il faut intégrer de manière que pour < = 0, 6 =c a. Donc :
(3) f 1/2 = arc CCS ^;
la constante est nulle. On déduit de (3) :
(4) « = a cos t
L'équation (4) donne la loi du mouvement ; pour
* ^ i y y on a •> = 0;
ainsi la durée de la petite oscillation de A en A' sera :
='Vl
Il est remarquable que cette durée des petites oscillations ne dépende en aucune façon de l'amplitude a.
60. Cas des oscillations quelconques. — Calculons maintenant T quelle que soit la valeur de a. Pour cela, dans la
formule (2), nous remplacerons t par ^t par zéro, ce qui
nous donnera :
sin' ^ — sin« -
Sin j étant toujours plus petit que sin ^' faisons :
sm jr = sin ^sm 9;
M et
pour 6 = on aura 9 = 0,
pour (î = a ? ^^ ^ '
On aura : j
cos - =: l/l ~ sin* 5 sin' 9,
cos ^ dO = 2 sîn - cos 9 ^9,
2 sin - cos 9 dp d« = * ^ ,
1 — sin* 5 sin* 9
Donc
1/ sin* I — sin* - 1/ 1 — sin* | sin* 9
y^ 1 — sin* I sin* 9 Le second membre est la fonction complète de première espèce de Legendre, au module t = sin ^•
On a vu, dans le calcul intégral, comment on peut développer cette transcendante suivant les puisî^ances de k ; mais nous allons rappeler le calcul connu. On a en série convergente :
= 1 -f- - sm* - sm* ? + 2I ^'" 2 ^^^ '
1 — sin* - sin* 9
DYNAMIOUK. 299
Si donc oh pose pour abréger :
il viendra :
•^ 8.4.6... IH "'"^'"••g+--
Pour obtenir la valeur de u,, on remarque que Ton a :
rf. sin»» - * 9 cos 9 = (In — 1) sin'" ~ • 9 cos* 9^9 — sln»" 9 ^9
= (2n — !) sîn*--* 9 ^9 — 2» sln»» 9 ^9.
On en conclut, en intégrant entre les limites et ^ :
' 2to— i
Mtn
WîH-
thn
tt. = T «„
En multipliant toutes ces équations membre à membre et remarquant que :
on trouve :
**'"^ 2.4.6... in 2* Il en résulte pour T le" développement suivant :
300 COURS DE irftCAXIOl'K.
Lorsque l'anyle a est très petit, on peut réduire la parenthèse à son pi-emier terme, ce qui donne la valeur tiouvée précédemment ;
On aura une valeur plus approchée en prenant les deux pi-emiei-s termes, ce qui donne en remplaçant sin' ^ par j :
on voit que la durée d'une oscillation entière est un peu augmentée par la grandeur de l'amplitude. Il en résulte que si l'on appelle n le nombre des oscillations d'un pendule simple dans le temps t quand les amplitudes sont infiniment petites, et n' le nombre des oscillations du même pendule simple dans le même temps quand les oscillations sont seulement très petites, on aura :
-"'hÛÏ
Rkmarque I. — Soit h ia hauteur du point A au-dessus de l'horizontale du point B, on a ;
A = / — / cos a = il sin} -.
d'où:
par conséquent la formule (7) peut s'écrire : REMAnQi'E II. — On peut trouver très simplement deux
limites,. Tune inférieure, l'autre supérieure, de la quantité T en partant de la formule rigoureuse :
y/i - si
sln* - sîn' 9 Tous les éléments de cette intégrale définie sont positifs et
plus grands que d? ; ils sont tous plus petits que —
On a donc :
ces 5
Ih<l\/]<I:^.
cos-
d'où :
-Vh^<-Vy
cos^
Il peut paraître singulier que T tende vers la quantité
finie î:r/- lorsque a tend vers zéro, de manicre que le
mol)ile met un temps fini à décrire un arc infiniment petit, mais on s'en rend compte en remanjuant que le mouvement est produit par la composante tangentielle du poids; et loi'sque a est infiniment petit, cette composante est elle-même infiniment petite.
61 . Intégration par les fonctions elliptiques. — Reprenons la formule :
l/sin- î - sin- 5
Glierchons le temps t que le mobile emploie à passer de M ou B; 6 variera de 6 à zéro. Nous aurons :
Fig.It5
Vp-i:
l/sin' ^ — sin*
de
En posant cojnme précédemment :
on trouve :
sin 5 = sm - sin 9,
i OU A: =£ sin - ;
Ki - A:' sin- 9 ^
on a donc, en adoptant la notation de Jacobi :
^ = aw.^l/j» mod. *,
(9) donne ensuite :
(10) sin ô = * sin amJ l/y
(11) cos| = Aflm./l/'J,
(12) sin e = ik sin am.^ l/'? A amJl/- On a pour la vitesse :
et d'après la formule (8)
v^iyfl l/sin* ^ - sin* | = 2 |/^ si
sin ^ cos 9,
dmtc :
(13) V = U Vgl cos am-ïV^ J-
Les foimules (10), (11), (13) resolveiit complètement le pi'obième à l'aide des fonctions elliptiques.
Remarque. — On peut étudier le mouvement du pendule simple sans avoir recours au tliéorùme des forces vives, mais en projetant les forces sur la tangente, ce ([ai élimine encore la tension.
Posons AM = s. On aura :
vFiq.lir).
Soit T la composante tangentielle du poids du point matériel. On a :
' dt df
En multipliant par 2rfO et- intégrant, on aurait l'équation des forces vives; dans le ciis où les oscillations ont une amplitude trùs faible, on peut remplacer dans (14) sin pur ; on a alors l'équation linéaire :
dont l'inlégiule générale est :
6 = .\cos/j/^ + Bsin/y^.
d'où :
s=v1(-*""'Vl-''-'Vl>
de
On doit avoir, pour t =^0 : ^ = a et t- = 0; donc :
On arrive donc comme précédemment à l'équation :
6 = a cos /
MouYement d*iin pendule simple dans un milieu résistant.
