La résistance est proportionnelle à la vitesse
Représentons la résistance R par m[iv] cette force est dirigée suivant la tangente à la courbe, et opposée au mouvement ; en projetant les forces sur cette tangente, nous éliminerons encore la tension du fil, et nous aurons :
(Iv
r: = <7 sin — u.t;.
at
On trouvera comme précédemment :
^"^ fit'
Substituant dans Téqualion précédente, nous pourrons la mettre sous la forme :
En nous bornant au cas des petites oscillations, nous pouvons écrire en remplaçant sin par :
équation linéaire à coeflicients constants; l'équation caracté^ ristique est :
r'-f- 2ii.r 4-*^ = 0.
vr
l** est petit devant y, nous avons pour intégrale générale :
(1) 6 = e-i"(AcosK( + BsinKf)- En posant pour abré^'er :
on tire de {i)
(2) p^ — e-i" ] (KB - iaA) cos Ki — (KA + i^B) sin K( j,
on doit avoir, pour t = 0, = a, T, — ^' les équations
(1) et (2) donnent :
a- A, KB — :aA = 0; R = Ï».
et il en résulte :
-=: — ^'(jji' + K')e-i*'sinK/.
Les formules (3) font connaître à un instant quelconque la position du pendule et sa vitesse angulaire.
A la fin de chaque oi^cillution on a : -tt = 0, ce qui u lieu pour :
II s'ensuit donc que les oscillations sont isochrones comme dans le vide, et que la durée d'une oscillation entiéi-e est :
i-vW^
Despevrous. — Mèvaniijue.
en sorte que cette durée est augmentée par la résistance du
milieu dans le rapport de 1 à 1/ 1 ^ •
Quant aux amplitudes, elles diminuent constamment, le facteur c"***' diminuant à mesure que t augmente; soit a^ Tamplitude de la n® oscillation, pour laquelle :
on aui'a :
(x„ = xe ^ ,
ce qui montre que les amplitudes forment une projjression
géométrique décroissante, dont la raison est ^ ^ .
Ce résultat est conforme à Texpérience. Lorsque Tamplitude est petite, par exemple lorscpie Tangle a est, au plus, égal à un tiers de degré, Texpérience montre que l'amplitude diminue très lentement; ainsi, dans une expérience de Borda où Tamplitude diminuait sensiblement en suivant une progression géométrique, ce n'est qu'après 1800 oscillations qu'elle était réduite aux , de sa valeur. D'après l'expression trouvée pour a,., on aura, en appliquant le calcula Texpéj-ience de Borda :
JOAA X" 1 '^ ^^^ '
On tirera de là — r; ' et on trouvera ensuite :
Il est donc permis de négliger l'elFet de la résistance de
lair dans le calcul de' T. On peut admettre que, quand les oscillations sont très petites, la résistance de Fair est proportionnelle à la vitesse et n'inllue pas sensiblement sur leur durée. Mais, lorsque les amplitudes sont un peu considérables, Tobsenation montre qu'elles ne décroissent plus en progression géométrique, en sorte qu'il devient .nécessaire de l'aire une autre hypothèse sur la loi de résistance.
