Résistance proportionnelle au carré de la vitesse

Dans ce cas, quelle que soit Tamplitude des oscillations, on peut obtenir rigoureusement une intégrale du problème, et le ramener aux quadratures.

Soit -^f" Isi résistance de Tair.

Un aura :

(1) - = i,sme-?^,.

On a encore (fUj. 146) :

f^'^ A M 1/ ,.v 'rfO

. = ^. * = AM = i(a-0); c = ~jj:

On en déduit :

Ai — ^ —' î^ — ■" *'^ ^ * ^'Sl

Par conséquent îéijuation (1) peut s'écrire :

(2) -^r' = -2i^/sinO;

c'est une équation linéaire et du premier ordre en v* ; on aura, en intégî\int par la formule connue et posant pour al)réger :

v^ = e^^^.C — 2gl Ce-^^ sin 6(/0 j-

308 COURS DK MÉC-VXiyLT.

Or:

1 + 1*' donc :

f' = Ce"" + j-?^'-i (cos e -t- ^L sin 0).

Écrivons que pour 9 = 1, y := et nous aurons ;

et par conséquent :

C — —j (cos ï + jA sin a) e-''".

Remplaçant C par cette valeur dans l'expression do «' i! vient :

(4) v' = - , j cos ô + 11 sin ~ fiiAiC-") {cos 1+ ^l sin a) j ;

en tenant compte de f = — j— il viendra :

'■""^Vn^)^'-'^^^^^.

ou en intégrant :

r 'C*-"-!*') *'* l/cosOH-[xsin8— p'"'-"'(cosa+ jisini)

Le problème est donc Lien ramené aux quadratures. Bien qu'on puisse déduire de re qui précède des résultats intéressants dans le cas oi'i les amplitudes sont quelconques et passer ensuite aux amplitudes très petites, nous préférons noua placer iniméd iatement dans ccttehypothèse et reprendre la solution à son début.

64. Cas des amplitudes très petites. — Si dans (1) on remplace v par — T7' ^^ vient :

(7) .,^?smO = |-,(-),

ou en admettant que soit toujours très petit et remplaçant sin 6 par 6,

Il faut intégrer cette équation et déterminer les constantes de manière que pour < = on ait :

Si Ton néglige la résistance de Tair, Téqualion (8) se réduit à :

^^-4-^ft-O

On en déduit

= a ces /

r:=-v/f^'"Vf

On peut substituer cette valeur de j- dans le second

membre de l'équation (8), nous aurons alors au lieu de réquation (8) une équation approchée qu'il nous sera possible d'intégrer.

Cette équation (9) sera :

c'est là une équation linéaire du second ordre à. coefficients

^0 couns HE mécaniove.

conslants et avec second membre. Pour l'intégrer nous

poserons, en désignant par A, B, C, D quatre constantes ;

(10) ô = A + B cos 1 1/| + C sin ( l/^ + D cos 2( l/^- Aprôs avoir substitué dans (0) et réduit, il viendra :

d'où :

Avec cos valeurs de A ot D, (10) devient :

(11) » = |^ + Bcos<^/f +Csill( ^f +|i'co!Î( y/i-

Les constantes B et C demeurent quelconques, et l'expression (11) est l'intégrale générale de (9). Écrivons que pour f = :

(Il il viendra :

Nous aurons donc en somme :

(„) . = 1^'+ (. - ? fff) cos , ^i ^ »'j,' ,„, ,y |,

OU bien :

<,3, ^j=-.y/|.„Yfj.|?^si„-iv/f;.

Les formules (12) et (13) résolvent le problème. La parenthèse qui figure dans j- se réduirait à 1 , si on négligeait la résistance de Tair ; elle sera dans tous les cas peu différente

de 1, et ne pourra jamais s'annuler; donc .- ne s'annule que

pour

sm

in,l/f = «.

Si donc on nomme T le temps d'une oscillation complote du pendule, on aura :

en sorte que la durée d'une oscillation complète n'est nullement modifiée par la résistance de l'air supposée proportionnelle au carré de la vitesse. Cependant, cette résistance augmente le temps que le pendule emploie à atteindre la verticale, car si nous désignons ce temps par f , on aura, en faisant dans (12),

= et t=t',

En négligeant la résistance de l'air, on aurnit :

ms (loue :

formule (14) donnera :

it;-('-i'i>'"-i^;-'-

en négligeant j' :

'•=iV\-é^''

'•=héy^'-

résistance de l'air augmente donc la durée de la lière demi-oscillation, et puisqu'elle n'influe pas sur la 3 de l'oscillation entière, il faut qu'elle diminue de la e quantité la durée de la demi-oscillation ascendante, dans (-12) on fait t ^ T, et qu'on désigne par a' la valeur ispondante de », on trouvera après réduction :

i désignant pa

1 trouTerade même, en désignant par a' l'amplitude de

uxième oscillation :

on pourra ainsi calculer les valeurs des amplitudes successives.

Dans le cas où a est très petit, il est inutile d'examiner rhypothèse d'une résistance proportionnelle au cube, ou à une puissance supérieure de la vitesse; car il n'en pourrait résulter, dans les valeurs de e et de v, que des termes en a% a*, ... termes que l'on a regardés comme n^ligeables dans les calculs précédents.

En résumé, la résistance de Tair proportionnelle à la vitesse, ou à son carré, n'influe pas sur la durée des petites oscillations du pendule; elle n'exerce qu'une petite influence pour diminuer les amplitudes, pendîint la durée du mouvement.