CHAPITRE IX

HOUTEHENT D'DH POINT PESANT SDR LA CTCLOÏSE. — COURBES TADT0CHR0NE3. — BRACHTSTOCHROITE.

65. mouvement d'un point pesant sur la cycloide. — Considérons le mouvement d'un point pesant sur une rycloïde AOA' renversée, dont l'axe OB est vertical.

Soit M la position du mobile à un instant quelconque, désignons l'ai'c OM par s et par " l'ordonnée du point M. Nous supposerons le mobile posé sur la courbe en M, sans vitesse à l'instant initial. Dans le cas oi'i la vitesse iniliale v, du mobile ne serait pas nulle, en supposant cette vitesse dirigée de M, vers 0, il suflirait de poser :

et de prendre entre M, et A un point M', distant de M, de la quantité h estimée suivant la verticale, le mobile placé en M', sans vitesse initiale arriverait en 9 * M, avec la vitesse v,; il faut sup-

c A poser pour cela M,C > h. Nous

U| admettrons qu'il en soit ainsi; il

nous sulTira alors de considérer

" le cas d'un mobile partant de la

position Mo sans vitesse initiale.

Faisons :

DYXAMIQrE. 315

Nous aumns Téquation :

T désif^nant la composante tangentielle de la force qui sollicite le mobile, c'est à dire la composante tangentielle du poids du mobile ou — mg cos a : la réaction normale de la courbe est ainsi éliminée : on a d'ailleurs :

dz ds

cos x= T-' r z= -—.

ds dt

Nous avons donc Téquation :

... d'« dz

En appelant a le rayon du cercle générateur, on a :

8* = Sazy ou bien en faisant :

d'où :

ds s ds~V

l'équallon (1) devient :

^* --(1 , dt*~ l

L'intégrale générale de cette équation est :

« = A cos f

y^f + B8În<^/f.

n faut écrire que, pour t = :

dx ^

COrnS DE MÉCANIQUE.

ce qui donne :

S = «, CO! < l/|.

■=^=-V^'"'Vl

Les formules (4) et (5) rionnent la solution complote du problème; le mouvement est oscillatoire comme on le savait d'avance, et si on désigne pai" T la durée de chacune des oscillations, on a :

Ainsi, la durée des oscillations est indépendante de s,; ce résultat n'avait lieu pour le pendule simple que dans le cas des oscillations infiniment petites. Concevons divers mobiles placés sans vitesse initiale aux divers points de l'arc OA, et laissons-les tous partir en même temps, sans vitesse; tous ces mobiles arriveront en même temps au point le plus bas 0; c'est ce qu'on exprime en disant que la cycloïde est tautochrone dans le vide.