Le temps que le mobile emploie à parcouiir l'ai-c M

de la cycloïde, est encore indé[)endant de la longueur de cet

arc, quand le mouvement a lieu dans un milieu résistant, et

que la résistance est supposée proportionnelle à la premièi-e

puissance de la vitesse. Dans ce cas, en effet, en représentant

la résistance par 2mtiij, on a, au lieu de l'équation 0), en

ds l-emarquant que v =^ ,-. est négatif, quand le mobile descend

de M, en 0, ré(iuation :

ou bien :

C'est là une équation linéaire, à coeflicients constants, que nous avons déjà rencontrée (02) ; on doit avoir, comme dans le cas du pendule circulaire, pour f = :

en faisant' :

ds ^

K' = ^-li.',

on en déduii-a donc :

s = s^ e-v-* (cos Ki +

|slnKA

Pour avoir le temps V que le mobile met pour aller de M^ en 0, il faut faire dans l'équation précédente s = et i = f ', ce qui donne :

cosK/' + ;^sinKf' =0, K

tgK^

Cette valeur de V est bien . indépendante de s,; le tautochronisme a donc encore lieu.

67. Pendule cycloïdal. — Construisons la développée de la cycloïde proposée; elle sera composée, comme on sait,

de deux demi-cycloïdes Fig 143 j^ égales AD et A'D; sup-

posons que ces deux courbes soient tracées en relief, que DO soit un fil flexible et inextensible attaché au point fixe D; attaclions aussi un point, pesant à l'extrémité du lil; puis écartons ce fil de la verticale, de sorte qu'une

partie DN du fil s enroule sur la cycloïde DA, et que la partie restante soit tangente à cette courbe en N; Textrémité M du fil décrira la cycloïde donnée, et la durée des oscillations de ce pendule, dans le vide, ou dans l'air, eu supposant la résistance proportionnelle à la simple vitesse, sera rigoureusement et constamment indépendante de Tamplitude de ces oscillations. Ce moyen qui avait été proposé par Iluyghens, a été abandonné ; il ne serait susceptible d'aucune précision dans la pratique ; du reste, Tisochronisme des grandes oscillations n'aurait plus lieu dans l'air, la résistance de ce fluide n'étant pas alors proportionnelle u la simple vitesse .

Le tautochronisme de la cycloïde dans le vide a été découvert par Huyghens ; Newton Ta étendu au cas de la résistance proportionnelle à la vitesse.

La cycloïde étant une courbe plane tautochrone, si ou enroule son plan sur un cylindre vertical quelconque, de manière que la base de la cycloïde coïncide avec une partie du périmètre de la section droite de ce cylindre, le mouvement d'un point pesant sur la nouvelle courbe sera le même (|ue sur la cycloïde; la transformée de la cycloïde est donc encore tautochrone, et il existe par suite une infinité de courbes à double courbure, qui jouissent de la propriété du tautochronisme; mais on peut démontrer que la cycloïde est la seule courbe tautochrone plane.