JI

320 COURS DE MÉCAXIQUE.

nous pourrons écrire r

(14 J, (/)„ ou en remplaçant ftu par y et par conséquent u par f :

On doit donc avoir, quel que soit h :

Cela ne peut arriver que si la fonction ?(j/) est nulle identiquement; car, autrement, on pourrait prendre h assez petit p3ur que de à h, ç (y) conservât toujours le même s^ne, et alors l'intégrale ayant tous ses éléments de même signe ne serait pas nulle. On a donc l'équation ;

?(y) = 2yr(ï) + r{y) = o,

d'oii :

ou en intégrant :

(il) ^'^^'^^Vl' ■

c désignant une constante arbitraire. On a donc pour la courbe cherchée :

ày Vu

On en conclut, en remarquant que pour y = 0, s = : (IJ) j = S K<y.

DYNAMIQUE. 3±l

Si dans Texpression (9) on remplace f (y) par sa valeur (11),

on trouve :

V 2^ jo

Y ■ / - I rf.v

ou, en faisant :

y = h si\\- 0,

uu :

T k'ii/

et lexpression (l'i) de s devient :

d'où :

Cette équation représente une cycloide qui a son sommet à Torij^ine, et dont Taxe, dirigé en sens contraire de la pesan-

teur, a pour longueur ^^ ■ • Nous allons maintenant traiter cette question plus générale :

69. Trouver Véquatmi différentielle des courbes taufochrojics planeSy pour un point matériel wllicité par une Y .j-Q force F toujours contenue dans le

plan do7inéj et dont Vintensité et la direction ne dépendent que de la position de ce point.

Soient AB la courbe cherchée, A l'extrémité des arcs qui doivent être parcourus dans le même temps T, quel que soit le point M^ de la courbe d'où le mobile est

Despeyrous, — Mécanique. 21

parti sans vitesse initiale. Posons : '

M désignant un point quelconque de lare AB, dont les coordonnées sont x ety; nous désignerons par m la masse du point matériel, par t^X et m Y les composantes de la force qui le sollicite; la composante tangentielle de la force aura pour expression :

as ds

Celte composante devant agir dans le sens M, A, nous la représenterons par — mV(s), de sorte que nous aurons :

T = — i»F(«), par suite :

et on intéf^raiit

ds d

dt'

rf. ^^! = -îF(*)rf»,

on n'ajoute pas de constante, parce que, pour s = 0, on

doit avoir — =: 0, ou bien :

dt ^ •

(3) di' = *j, ?(»)</«- 2 J, F Wrf«-

Nous poserons :

(4) i jFis)ds = h,

(8) irF(s)ds = u.

s sera une certaine fonction de m, s, et h; on voit que

pour 8 = 0, u deviendra :

d'où :

0, et pour a = «„ M = /»; la formule (3)

dt =

— ds ds