CHAPITRE VIL

ÉQUILIBRE DE SYSTÈMES DE FIGURE VARIABLE COMPOSÉS DE PLUSIEURS SYSTÈMES RIGIDES.

71 . Lorsque tous les points d'un système ne sont pas invariablement liés les uns aux autres, on ne peut plus faire les compositions et décompositions qui réduisent toutes les forces à une seule force et un seul couple. Le principe général d'après lequel on ramène ce cas au précédent , consiste en ce qu'il est évidemment nécessaire et suffisant que chacun des systèmes rigides partiels soit en équilibre, au moyen des forces qui agissent sur lui , et qui se composent tant des forces données que de celles qui naissent de sa liaison avec les autres systèmes. Pour fixer les idées, supposons que ces liaisons consistent en des fils flexibles ou des tiges rigides, dont les extrémités soient fixées à deux points appartenant à des systèmes dijQTérents; ou bien encore que des surfaces appartenant à deux systèmes soient en contact l'une avec l'autre et se pressent mutuellement.

Lorsque l'équilibre est établi , chaque fil étant lui-même en équilibre doit être tiré dans le sens de sa longueur, par deux forces égales et contraires, dont l'une agira sur le premier des systèmes, l'autre sur le second*, chacun des deux étant tiré par l'autre.

Si les fils devenaient entièrement rigides, et ne pouvaient ni augmenter ni diminuer de longueur, l'équilibre d'une quelconque de ces verges ou tiges rigides exigerait que les deux forces appliquées à ses extrémités fussent égales, contraires et dirigées suivant cette verge 5 mais la force appliquée à chaque corps ne sera pas nécessairement une traction exercée par l'autre, comme dans le cas d'un fil flexible; elle pourra être dans le sens opposé.

PREMliRE ANNÉE. — STATIQUE. 65

S'il s'agit de deux surfaces en contact, les forces détruites par une surface étant toujours supposées normales à cette surface , il en résulte que chacun des deux systèmes est sollicité par une force dirigée suivant la normale commune^ ces deux forces sont de sens contraires, et chaque système^ au lieu d'être tiré du côté de Tautre, comme dans le cas d'un fil, est au contraire poussé par lui. Quant à Finten* site des deux forces normales , elle est évidemment la même ; car la résistance d'une surface ne peut détruire une force qu'en en développant une autre exactement ^ale et opposée.

Ainsi , dans tous les cas où la communication des systèmes partiels s'effectue par des fils flexibles, des tiges rigides , ou des contacts de surfaces rigides , il se développe d'un système à un autre des forces inconnues, égales deux à deux et de sens contraires.

Ces différents modes de communication sOnt à peu près les seuls qu'il soit utile de considérer. Dans les autres cas qui pourront se présenter, on reconnaîtra toujours que les forces développées par les liaisons seront des actions et réactions égales et contraires ^ parce qu'une force ne peut être détruite que par une force égale et opposée.

Lorsque les systèmes rigides sont ce que l'on appelle des machines simples, comme le levier, le treuil, etc., leur ensemble forme ce que l'on désigne sous le nom de machine composée:

72. Cela posé, on pourra, d'après les théories précédentes, former les équations d'équilibre de chaque système rigide , dont le nombre pourra varier de un à six pour chacun d'eux. En éliminant les forces provenant des liaisons*, on aura les équations auxquelles devront satisfaire les forces données pour que le système composé soit en équilibre; et les équations qui auront servi à l'élimination feront connaître les valeurs de toutes les forces de liaison, et leurs I. 5

66 COURS DE MÉGANIQUE.

directions, quand elles ne seront pas données immédiatement.

Dans le cas particulier où l'équilibre de chaque système n^exigerait qu'une équation , et au la communication de Fun à l'autre ne donnerait lieu qu'à deux forces égales et contraires , il est facile de voir qu'il n'y a qu'une seule équation nécessaire pour l'équilibre des forces données.

En effet, soit m le nombre des systèmes; on aura m équations d'équilibre , et m — i forces inconnues , développées par la communication du premier avec le second ^ du second avec le troisième , et ainsi de suite jusqu'au m}^"^.

Soient Xi , Xg , . . . , X,„i ces m — i forces. La première équation renfermera Xi , la seconde Xj et Xj , la troisième Xg et Xs , enfin la dernière ne renfermera que X,„, sans compter toutes les forces données.

Tirant Xi de la première et le reportant dans la seconde ; puis Xa de celle-ci et le reportant dans la troisième; et continuant ainsi , on arrivera à une dernière équation ne renfermant plus que les forces données. Ce sera la condition unique de leur équilibre ; et toutes les équations précédentes feront connaître Xi , Xj , . . . , X,„t .

Exemples divers.

73. Premier exemple. — Considérons en premier lieu deux leviers, c'est-à-dire deux systèmes rigides liés respectivement à deux points fixes O, O^ [fig, 22) autour desquels ils peuvent tourner librement, et sollicités par des forces quelconques. Un fil flexible a ses extrémités fixées en deux points M , M' de ces corps. On demande les conditions d'équilibre de ce système, qui est dans une position donnée où le fil a tous ses points en ligne droite et peut avoir une tension inconnue quelconque.

En désignant cette tension inconnue par X , le levier MO sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont direc* tement appliquées et de la force X qui agit de M vers M'; il résulte de là les trois équations connues, qui renferment chacune X au premier degré. De même le corps M'C sera en équilibre sous Faction des forces qui y sont appliquées , et de la force X qui agit de M' vers M. On trouve ainsi trois nouvelles équations qui renferment encore X au premier degré.

Tirant la valeur de X de Tuiie de ces six équations, on connaîtra la tension du fil ; et la reportant dans les cinq autres , on aura les équations de condition auxqueUes doivent satisfaire les forces données pour que le système soit en équilibre.

14t. Deuxième exemple. — Considérons maintenant un levier et un treuil ^ le premier pouvant tourner librement autour d'un point O, et l'autre autour d'un axe AZ (fig. 23). Us sont sollicités par des forces quelconques et se touchent en un point M. On demande les conditions pour qu^il y ait équilibre , et la valeur de la pression mutuelle en M.

Désignant par X Tintensité inconnue de cette pression , le corps MO sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont directement appliquées et de la force X dirigée suivant MN. Il résultera de là trois équations qui renfermeront X et les forces proposées.

Le second corps sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont appliquées et de X qui sera dirigée de M vers M'. L'équilibre de ce corps, qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe, conduira à une équatioVi unique renfermant X. On aura ainsi quatre équations , dont Tune fera connaître X , et les trois autres donneront , par la substitution de cette valeur , trois équations de condition entre les quantités données.