Troisième exemple, — Prenons maintenant pour
exemple un polygone formé par des droites rigides dont les angles peuvent varier sans opposer de résistance, et dont les extrémités sont assujetties à rester sur des courbes don^ nées.
Soient ABCDE (fig. 24) ce polygone, P, Q, R, S, T les résultantes des forces appliquées respectivement aux points^ A , B 5 C , D y E.
Chacun de ces points doit être en équilibre au moyen des forces qui agissent immédiatement sur lui et de la résistance de la courbe ; et , par conséquent , la résultante de ces forces, abstraction faite de cette résistance , doit être normale à la courbe.
De même , chaque côté doit être en équilibre au moyen des forces de tout genre qui y sont appliquées ; ce qui exige que les deux résultantes de toutes celles qui agissent séparément en A et en B sur cette tige soient égales et directement opposées, et, par suite, que celte direction soit celle du côté lui-même.
Il suit de là que la résistance de ce côté consiste en deux forces appliquées en A et B , et détruisant chacune des deux: précédentes. De sorte qu'une tige rigide *peut être considérée comme produisant deux forces égales et contraires ,. agissant dans la direction de cette tige.
Cela posé, désignons par X , Y, Z , Ules forces que produisent ainsi les divers côtés du polygone. Soient a, J, c^ rf, e les angles que font les directions des forces P, Q , R , S , T avec les tangentes aux courbes données , considérée» dans des sens déterminés; a, a! les angles que les directions des deux forces X font avec les tangentes en A et B,^ 6, S' les angles des forces Y avec les tangentes en B et C ; et ainsi de suite.
L'équilibre du point A donnera la condition
P cosfl H- X cos a = o.
PKEMIÀRB ANN£E. — STATIQUE. 69
L'équilibre du point B donnera
X ces a' -{- Q CCS ^ -h Y ces 6 = 0, «t Ton trouvera de même pour les autres points ,
Y CCS 6' H- R ces c 4- Z cos 7 =: o , Zcos7'-f- S cos rf -4- U cos ^ = o, U cos ^' -f-.T cos tf =r o.
Éliminant X, Y, Z, U entre toutes ces équations ) il en reste une seule entre les forces données , qui sera la condition d'équilibre du système. Les autres feront connaître les intensités des forces X, Y, Z, U.
Quant au sens dans lequel elles agissent , et qui n'est pas connu d'avance , il sera déterminé par les signes que devront avoir les cosinus des angles oi^ a\ ë, S', etc. Ainsi» la première équation faisant connaître le signe de cos a , détermine le sens de la force X provenant de la tige AB et agissant en A; d'où résulte le sens de la seconde force X appliquée en B, et, par suite, le signe de cos a' , La seconde équation fera connaître ensuite le signe de cos S , d'où résultera le sens de la force Y agissant en B^ et ainsi de suite jusqu'au dernier côté.
76. Si l'une des tiges était normale à l'une des courbes , il en résulterait des conséquences particulières qu'il est bon de remarquer. Supposons , par exemple, que 6C soit donnée normale à la courbe en B ; on aura
cos 6 =r o ,
et les deux premières équations donneront, par l'élimination de X , une équation de condition qui ne sera autre que la condition d'équilibre des deux forces P et Q qui seraient appliquées à la tige unique AB, dont les extrémités seraient liées aux deux premières courbes. En effet, cela devait être , puisque la force Y étant détruite par la résistance de
|a courbe en 6 , doit être considérée comme n^existant ps^s pour les points situés du côté de B que Ton considère.
Les trois autres équations donneront , par l'élimination de Z et U, une équation qui sera celle de Féquilibre du sys-) tème C, D, E considéré isolément, et dans lequel il y aur l'ait une force indéterminée Y agissant en C suivant la ligne BC, dans l'un quelconque des deux sens. En effet, cette lige BC peut être sollicitée par une force quelconque enc dans le sens de sa longueur, sans qu'il en puisse résulter aucun déplacement, vu qu'elle sera détruite par la résistance de la courbe à laquelle elle sera normale en 6.
77. Quatrième exemple. — Considérons maintenant un système de points liés entre eux par des fils flexibles et inextensibles , et formant ce que Ton appelle un polygone funiculaire. Dans ce cas, les systèmes rigides partiels se rédui- 9çnt à des points. Soient A, B, C, D (fig* 25) ces points;» U, P, Q, R, S, V les forces qui y sont appliquées, et dont les deux extrêmes U, V agissent par l'intermédiaire des fils ou cordons AU, DV.
Pour que ce système soit en équilibre , il faut que chacun des points A, B, C, D soit en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées. Ainsi, par exemple, le point B est sollicité par trois forces qui sont les efforts exercés par les cordons BA, BC, et la force Q; ces trois forces devront donc être dans un même plan , et chacune d'elles proporr tionnelle au sinus de Tangle des deux aut|[*es. Mais Téqui* libre de chacun des cordons exige encore qu'il soit tiré par des forces égales et contraires , et dont l'intensité se nomme la tension du cordon. Au moyen de ces conditions, on pourra déterminer les tensions de tous les cordons , et les rapports des forces entre elles lorsque l'on connaîtra la figure du polygone en équilibre.
78. On peut déterminer très«simplement la tension T d'un cordon quelconque CD , en observant qu'il y a équi-
libre entre celte force T et la partie du système qui est située d'un côté quelconque de CD. Considérons par exemple les forces U, P, Q, R et T; elles ne cesseront pas d'être en équilibre si Ton rend inflexible le polygone ABC^ et, par conséquent, la force T est égale et opposée à la résultante des forces U, P, Q, R. Et comme on peut transporter des forces en un point quelconque de leur résultante sans changer leur effet , on obtient le. théorème suivant :
La tension d^un cordon quelconque, est la résultante de toutes les forces situées d *un même côté de ce cordon, et transportées parallèlement à elles-mêmes en un quelconque de ses points.
79. Si l'une des forces était appliquée à un point mo* bile sur le fil, par exemple à un anneau qui pût glisser librement sur ce fil , l'équilibre exigerait une condition particulière.
Soit P la force appliquée à Tanneau M, et supposons l'équilibre établi ; il ne sera pas troublé si l'on rend fixes les deux points A et 6. Mais alors le point M (Jig* 26) ne pourrait se mouvoir que sur la surface d'un ellipsoïde de révolution dont A et B seraient les foyers \ on peut donc faire abstraction du fil et supposer que le point est assujetti à rester sur cette surface fixe. Il est donc nécessaire , pour son équilibre, que la force P qui le sollicite soit normale à Tellipsoïde, et, par conséquent, partage Tangle AMB en deux parties égales. Ainsi, quand un des points d'application des forces sera mobile sur le fil , la direction de la force devra diviser en deux parties égales l'angle des deux cordons correspondants, et leur tension sera la même.
Il en serait de même si l'anneau étant fixe, le fil pouvait glisser sur lui sans résistance^ car l'équilibre aurait évidemment lieu , en supposant égales les tensions suivant M A , MB^ et, par conséquent, il y aurait mouvement si l'on augmentait l'une des doux.
rj'Jt COURS DE HlÉCANIQUE.
80. Lorsque le polygone est en équilibre , il y sera en-? core si Ton rend sa iigure invariable; et, par conséquent , toutes les forces extérieures qui y sont appliquées doivent satisfaire aux conditions d équilibre d'un système rigide. Si donc on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles doivent donner une résultante nulle, ce qui donne trois équations.
Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, on pourra donner au polygone une figure telle , que les forces d[onnées de grandeur et de direction s'y fassent équilibre.
En effet, plaçons arbitrairement le point A (fig» 25), et donnons au cordon ÂB la direction opposée à la résul-* tante de U et P, et une tension égale à cette résultante. Donnons ensuite au cordon BC une direction contraire a la résultante de la force Q et de la tension du cordon. AB, et une tension égale à cette résultante; et continuons ainsi jusqu'au dernier sommet D : la direction et Tintensité qu'il faudra donner à la force qui tiendra ce point en équilibre, seront telles que le polygone entier y sera lui-même ; elle sera donc égale et opposée à la résultante des forces U , P, Q, R, S transportées en D, et, par conséquent, sera la force donnée V. On peut donc toujours donner au polygone une forme telle , que des forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre, pourvu que, transportées .en un même point, elles s'y détruisent. Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés du polygone, aura lieu encore à la limite lorsque les côtés tendant vers zéro, il s- approchera indéfiniment de se confondre avec une courbe.
81 . Si les extrémités du cordon sont fixes, les forces U et V ne sont plus données , et l'on peut encore se proposer de déterminer la forme du polygone en équilibre et les va* leurs de ces deux forces.
Pour cela, on partira de la première extrémité fixeU, et l'on supposera connues les trois composantes de la ten-
PREHICRE AIINVE. — STATIQUE. 78
sion U; on déterminera, en conséquence, la position du point A , ainsi que ]es positions des autres points et les len* sions de tous les cordons. Les coordonnées du point extrépie du dernier cordon seront donc exprimées en fonction de celles du premier point que Ton peut supposer nuUes, et des trois composantes de la force U. En égalant ces expressions aux valeurs données des coordonnées du second point fixe , on aura trois équations qui détermineront ces composantes /ainsi que toutes les tensions , et les positions de tous les sommets.
82. Si les directions des deux cordons extrêmes se rencontrent, les forces U, V ont une résultante : d*où il suit que les forces P, Q, R, S en ont une égale et opposée; et, par conséquent , lorsque le polygone est en équilibre et que les deux extrémités sont fixes, on connaîtra l'effort exercé sur chacune d'elles en prolongeant les cordons qui y aboutissent , puis transportant à leur point de concours les forces données et les décomposant en deux forces dirigées suivant ces mêmes cordons. Chacune de ces composantes mesurera la tension du cordon correspondant, et TefTort qui sera exercé sur le point fixe où il est attaché.
83. Lorsque toutes les forces P, Q, R, S {fig- 27) sont parallèles, il est facile de voir que tout le système est compris dans un même plan. Supposons, de plus, que Tun des cordons , BC par exemple , soit perpendiculaire à la direction des forces; remplaçons-le par une force égale à sa tension, et ne considérons que les forces situées d*un même côté de ce cordon. La tension d'un cordon quelconque DE est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté et transportées au point D ; donc la composante perpendiculaire aux forces sera constante pour tous les cordons , et égale à la tension de BC ; et la composante parallèle aux forces sera la somme de toutes ces forces depuis B jusqu'en D.
84. Lorsqu'une force sollicite un point qui est retenu par plusieurs cordons, on aura la tension de chacun d'eux en décomposant cette force en d'autres qui soient dirigées suivant tous les cordons. Il y aura indétermination si leur nombre est plus grand que trois; et cela tient à F hypothèse que l'on fait de l'inextensibilité des cordons. C^est ainsi que nous avons déjà vu que les pressions exercées par un corps qui repose sur un plan par plus de trois points ne sont pas déterminées individuellement. Dans la réalité, les pressions en chaque point du plan, et les tensions de chaque cordon sont déterminées , parce que chaque cordon s'allonge, et chaque point de contact d'un corps sur le plan cède plus ou moins. Ces circonstances, jointes aux propriétés physiques de la matière qui les forme, font connaître chaque force en particulier; mais ces recherches sont étrangères à notre cours , et nous ne nous en occuperons pas.
Equilibre d'un fil fiexible et inextensible dont tous tes points sont soumis à l'action de forces quelconques.
85. Soient X, Y, Z les composantes de la force qui sollicite un point quelconque du fil, et qui est rapportée à l'unité de longueur, de sorte qu'un arc infiniment petit ds soit sollicité par une force dont les composantes soient XJ^, Yds^ Zds, Les extrémités du fil peuvent être fixes, ou sollicitées par des forces données de direction et d'intensité; il s'agit de trouver les conditions de l'équilibre du système, qui n'est autre chose qu'un polygone funiculaire d'un nombre infini de côtés.
Or, dans cet état, un élément infiniment petit quelconque du fil doit être en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées; et réciproquement, si cela a lieu, le fil pnticr sera en équilibre.
Soit donc ds un élément quelconque 5 il ne cessera pas d'être en équilibre si Ton rend sa figure invariable. Or, les forces qui le sollicitent sont les tensions exercées à ses extrémités, qui sont dirigées respectivement suivant les tangentes en ces points et en sens inverse, et de plos les forces Hds^Yds^Zàds.
La tension T, variant d'une manière continue en même temps que l'arc s de la courbe , en est une fonction continue 5 ainsi que les cosinus -7- » -r- > — des aufi;les que fait la * as ds tis " *■
tangente avec les axes. Les composantes de la tension considérée dans le sens où s augmente sont donc , aux deux extrémités de Tare ds^
cls €ls as
et
ds \ ds J ds \ ds / ds ' \ ds )
Supposons les arcs s comptés à partir de l'extrémité A (fig- 28), et soit MN Tare infiniment petit ds. Les directions des deux forces tangentes aux points M et N se rencontrent si la courbe est plane , et elles peuvent être considérées comme se rencontrant même dans le cas d'une courbe à double courbure , parce que leur plus courte distance est infiniment petite par rapport à ds. Elles ont donc une résultante*, et par conséquent les forces qui agissent en tous les points de MN doivent avoir une. résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan oscillateur de la courbe. Les conditions cherchées de l'équilibre son t donc celles de forces appliquées à un même point , et elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles k chaque axe sont séparément nulles. Si donc on
observe que les composantes 1 — » i — » 1 -r uoivent être
changées de signe, on aura les équations suivantes :
^\ ds)
d^T^] -hXc/5 = o,
>•" VVi)
cf.lT^j -h Zrfj = o.
Si Ton multiplie la première par — > la seconde par — 5 la
dz troisième par -7- ) et qu'on les ajoute, en observant que
Ton a
'i)'-(iM7:y='.
et, par suite^
dx dx ^y t ^y ^^ y ^^^
ds ' ds ds ' ds ds ' ds
on obtiendra
dT-i-Xdx-hYdf + Zdz =:o,
équation qui pourra remplacer une quelconque des équations (1).
Dans le cas le plus ordinaire, ^dx -hYdy-hZddz est la différentielle d'une fonction (f[x^y^z)^ et Ton aura alors
et si Ton connaît la tension T' au point dont les coordonnées sont ^', y', -2', on aura
T - T'= (p {x\ y\ z') - cp(x, /, z), de sorte que Fou connaîtra la tension en tout autre point,
FREMliBE ANHËe. STikTIQDk. •}<]
en fonction de ses coordonnées-, et dans tous les cas, la différence des tensions incooDues qui ont lieu en deux points du fil ne dépendra que des coordounées de ces points. La valeur de T étant substituée dans deux des équations (i) , on aura les équations de la conrbe formée par le fil.
86. I^il sollicité par des forces normales. — Si la force dont les composantes sont X, Y, Z était normale en tons les points de la courbe, on aurait
Xrf^ + Yrf»- H- Zrfs = o ;
fix,^, z) serait constant, et, par suite, T; dans ce cas, le fil est donc égalenient tendu en tous ses points. C'est ce qui aura lieu par exemple lorsqu'il sera tendu sur une surface qui ne produira aucun frottement.
La tensifMi Tétant constante, les équations (i) deviennent
-Yrfi. ■ï<l.- = — Zds,
ou , en désignant par P la force , et par R le rayon de courbure,
Ainsi , quelle que soit la force normale , le fil prendra une figure telle, que cette force soit en raison inverse du rayon de courbure -
D'où il suit que si la force est constante et que la courbe soit plane , elle formera nn arc de cercle.
Si la force normale est la résistance d'une surface elle doit toujours être comprise dans le plan oscui la courbe, ce dernier est normal à cette surface , etl
nS • COURS DE MKC^NIQUE.
est celle de longueur miuimuni , entre deux quelconques
de ses points.
87. On peut trouver, par des considérations géométriques très-simples , la valeur de la pression exercée sur la surface. Pour cela , considérons la courbe que forme le fil , comme un polygone d'une infinité de côtés égaux entre eux 5 la résultante des tensions de deux côtés consécutifs AB, BC sera dirigée suivant la ligne BD qui divise l'angle ABC en deux parties égales , et son intensité sera
BC aTcosCBD, ou aT—-^
