PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

88. Les conditions de l'équilibre d'au système quelconque de points ou de corps solides , assujettis à des liaisons arbitraires et soumis à Faction de forces quelconques, peuvent s'exprimer par une seule formule générale , d'une grande importance dans la théorie de l'équilibre et du mouvement. . L'avantage de cette formule, lorsqu'elle sera rigoureusement établie, consistera principalement en ce que les équations particulières de l'équilibre de tout système donné s'en déduiront par des procédés réguliers de calcul ; et que Ton pourra, en quelque sorte, considérer la science de l'équilibre de tous les systèmes de points , comme y étant renfermée tout entière. Nous commencerons par faire connaître quelques dénominations généralement adoptées.

Lorsque l'on considère un système quelconque de points dans une première position, et que l'on suppose ensuite que chacun d'eux soit placé dans une position infiniment voisine de celle qu'il occupait , sans cesser de satisfaire à toutes les conditions qui dépendent de la nature du système, on nomme vitesse virtuelle d'un quelconque de ces points la droite qui joint sa première position à la seconde. Cette dénomination vient de ce que l'on peut concevoir que ce déplacement se fasse avec uniformité dans un même temps infiniment petit, et qu'alors les espaces parcourus sont proportionnels aux vitesses; et en outre de ce que ce déplacement n'est que possible et ne s'effectue réellement pas.

La vitesse virtuelle d'un point , estimée suivant une direction déterminée y est la projection de cette vitesse sur cette direction ; elle est regardée conmie positive quand la direction du déplacement du point , en passant de sa pre-

8o COURS DE MÉCANIQUE.

mière position à la seconde, fait un angle aigu avec celle suivant laquelle on estime la vitesse 5 elle est négative quand cet angle est obtus. De sorte qu'on obtient en grandeur et en signe , la vitesse d'un point estimée suivant une direction quelconque, en multipliant la grandeur absolue de cette vitesse par le cosinus de T angle que sa direction fait avec celle suivant laquelle on Testime.

On appelle moment virtuel d'une force, le produit de son intensité par la vitesse virtuelle de son point d'application, estimée suivant la direction de la force.

Cela posé , le principe des vitesses virtuelles consiste en ce que

Si un système quelconque de points est en équilibre , et que Pon conçoii^e un déplcicemenf infiniment petit de tous ses points j qui soit compatible a^ec toutes les conditions auxquelles il est assujetti, la somme des moments virtuels de toutes les forces est nulle ^ quel que soit ce déplacement. Et réciproquement, si cette condition a lieu pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre*

Dans cet énoncé, les infiniment petits sont considérés de la manière ordinaire. L'équation n'est exacte qu'en considérant les limites des rapports, après avoir divisé par l'une quelconque des quantités infiniment petites *, en d'autre termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.

Avant de passer à la démonstration générale de ce principe, considérons quelques cas particuliers, et d'abord celui d^un point unique.

89. Cas d'un point unique. — L'équilibre d'un point entièrement libre exige que la somme des forces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et réciproquement si cela est, il y a équilibre. Soient donc P Tune quelconque des forces appliquées à ce point, fx l'angle quelle

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 8l

forme avec une direction quelconcpie, on devra avoir

2Pcosp = oj

et réciproquement, si cette équation a lieu pour toute direction , le point sera en équilibre. Si Ton multiplie tous les termes par une quantité arbitraire m , l'équation devient

2P/ncosfA = o.

Or m cos fx est la projection de la grandeur m portée, à partir du point donné , sur la direction que l'on considère , et projetée sur la direction de la force P; de plus, le point étant entièrement libre , m peut être considéré comme la distance de sa première position à une autre quelconque qu'il pourrait prendre ; et en la supposant infiniment petite, die sera ce que nous avons appelé la vitesse virtudle de ce point. Ainsi SPmcosp est la somme des moments virtuels des forces*, donc, si le point est en équilibre, cette somme est nulle, et réciproquement; ce qu'il fallait démontrer. On peut observer que, dans ce cas, on peut prendre, au lieu de la vitesse virtuelle, une quantité finie quelconque; et, de plus , que la somme des moments virtuels est rigoureusement nulle , et non pas seulement égale à une quantité infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.

Dans le cas où le point n'eât pas en équilibre, il suffirait, pour qu'il y fut, que Ton introduisit une force ^ale et opposée à la résultante. Or, la somme des moments serait alors nulle , et , de plus , deux forces égales et opposées , appliquées au même point , donnent évidemment des moments virtuels égaux et de signes contraires-, donc le moment virtuel de la résultante est égal, en grandeur et en signe, à la somme des moments ^virtuels des composantes.

.Dans cette relation , toutes les forces sont considérées en valeur absolue 5 et il est nécessaire d'examiner si elle se modifie lorsque les composantes sont susceptibles d'être

affectées d'un signe quelconque, comme lorsqu'il s'agit (l'une force P que Ton décompose en trois autres X, Y, Z, parallèles à des axes rectangulaires. Si d'abord on suppose ces trois forces positives, les variations dx^ dy^ dz seront en grandeur et en signes les vitesses virtuelles de ces forces respectives , et l'on aura

Si maintenant une quelconque d'entre elles, Y par exemple, est négative, la valeur absolue de la force sera — Y, mais aussi la vitesse virtuelle sera — dy, et le moment virtuel sera toujours exprimé par Ycî/ ; de sorte que réquation précédente est générale en considérant de la manière ordinaire les signes des composantes, ainsi que des coordonnées : c'est d'ailleurs ce que Ton trouverait directement en projetant sur la résultante la ligne brisée formée par Sx , cîy, d^ et la vitesse virtuelle.

Il est bon de remarquer que si les axes étaient obliques , XJx ne serait pas le moment virtuel de la force X, puisque dx ne serait pas la projection de la vitesse virtuelle du point sur la direction de X; il en serait de même des deux autres composantes, et l'équation précédente ne subsiste-^ r ait plus.

90. Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe , nous savons qu'il est nécessaire et suffisant pour 1 équilibre que la résultante soit normale à cette surface , et par conséquent que SPcos|!x soit nulle pour toutes les directions situées dans le plan tangent. On aurait donc encore, comme dans le cas précédent ,

2Pw cosfx = o;

mais on ne pourrait plus regarder m comme la distance de deux positions possibles du point , puisque l'extrémité de la ligne m ne se trouve pas sur la surface.

PREMIÈBE AîiNÉE. STATIQUE, 83

Mais , si l'on prend sur la surface même un point situé à une distance infiniment petite ds du premier, la direction de la droite qui les joint a pour limite celle d^une tangente quelconque à la surface, et par conséquent ZP cosp est infiniment petit; donc I]Pc}5 cos/ix est infiniment petit par rapport k âs\ei par conséquent, dans le sens ordinaire où Ton entend les équations infinitésimales , on a

1V$S CCS fi = o.

Donc , dans ce nouveau cas d'équilibre , la somme des moments virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements infiniment petits , compatibles avec les conditions de la question ; et réciproquement.

91 . Si le point est assujetti à rester sur une courbe fixe , il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la résultante soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale à zéro. D'où l'on conclut, comme dans le cas précédent, qu'en désignant par ds un arc infiniment petit de la courbe,

on aura

l9Ss cosfx = o,

en négligeant les infiniment petits du second ordre. Il est donc nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la somme ' des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points , compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.

Sî le point n'était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qail serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante fût normale. Les conditions que nous venons d'indiquer auraient donc encore lieu , mais ne suffiraient plus.