Observons encore que , dans le cas d'équilibre d'un

point posé sur une surface , la somme des moments virtuels

ne serait plus nulle pour les déplacements d'un point sui-

84 GOUKS DE MÉCANIQUE.

vant des droites inclinées au plan tangent , quoique ces déplacements soient compatibles avec les conditions de la question. Elle serait égale au moment de la résultante 5 or, celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur la surface. D'où Ton conclut que, dans l'équilibre d'un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le point se déplace sur la surface , et négative pour tous les autres déplacements qu'il peut subir.

93. Cas d'une droite rigide. — Examinons maintenant le cas de forces quelconques appliquées aux extrémités d'une droite inflexible 5 nous pourrons nous borner à considérer, à chacun de ces points, la résultante des forces qui y sont appliquées , puisque son moment virtuel est égal à la somme de ceux de ses composantes. Il faut donc démontrer que, dans le cas d'équilibre , la somme des moments virtuels de ces deux forces est nulle.

1^. Supposons la droite entièrement libre, et soient X, j^, -S , a;', y\ z' les coordonnées de ses extrémités M, M', et / sa longueur, on aura

[a: - x'Y -I- (r — yj 4- (2 - zj = /»; d'où

Jx, ^/, àz^ âx\ dy\ âz' étant les accroissements infiniment petits des coordonnées des deux extrémités, pour un déplacement virtuel quelconque.

Or, si l'on appelle « , 6 , y les angles formés avec les axes par la direction de la droite MM', on aura

ces a = j CCS 5 = j ces 7 =r *

l'équation précédente donne donc

Sx cosa + Sjr cosê -f- $z COS7 = ^^' ^^^a H- Sy cos6 + ^z' COS7 ;

PREMIÈRE AIHNëE. — STATIQUE. 85

c'est-à-dire que les vitesses virtuelles des exlrémités, estimées suivant la direction MM', sont égales. Or, pour qu'il y ait équilibre, les deux forces doivent être égales et dirigées, l'une suivant M'M, l'autre suivant MM'; donc leurs moments virtuels sont égaux et de signes contraires , et, par conséquent, donnent une somme nulle. Et il en serait de même de la somme des moments virtuels de toutes les forces , puisque cette somme est la même que celle des moments des deux forces qui leur ont été substituées.

2**. Supposons maintenant que les extrémités M, M' soient assujetties à rester sur des surfaces ou des courbes données. Il résultera de là de nouvelles forces qui seront normales à ces courbes ou à ces surfaces^ en faisant abstraction du frottement. En joignant ces forces incounues aux forces données , on pourra considérer la droite MM' comme entièrement libre ; et , s'il y a équilibre , la somme des moments virtuels sera nulle pour des déplacements arbitraires de MM'. Mais, si Ton veut que, dans cette somme, il n'entre que les forces données , il sera nécessaire et suffisant que le déplacement de chaque extrémité ait lieu sur la surface ou la courbe correspondante, pour que le moment virtuel de la force normale soit nul. D'où Ton conclut que

Si les forces appliquées aux extrémités d'une droite sont en équilibre , et que ces extrémités soient assujetties à rester sur des surfoces ou des courbes fixes, la somma des moments virtuels de ces forces est nulle pour tous les déplacements de la droite qui sont compatibles avec les conditions auxquelles elle est assujettie.

La réciproque est vraie ; mais , comme elle ne nous est pas nécessaire, nous ne la démontrerons pas ici \ elle se trouvera comprise dans celle qui se rapporte au cas général.

94. Démonstration générale du principe. — Considérons un système de points assujettis à des conditions quelconques exprimées par des équations entre leurs coor-

86 COURS DK MÉCANIQUE.

données, et sollicités par des forces quelconques. Le nombre des équations de condition devra être moindre que celui des coordonnées des points donnés, sans quoi ces points seraient fixes, et Féquilibre aurait lieu sans conditions entre les forces. Nous examinerons d'abord le cas où ces équations seront en nombre moindre d'une unité que celui des coordonnées des points du système. Il suffit alors de se donner la valeur d*une de ces coordonnées , pour que toutes les autres soient déterminées ; tous les points sont donc assujettis à se mouvoir sur des courbes données , et d'une manière déterminée par le mouvement d^un seul.

Quelles que soient les liaisons réelles qui assujettissent ainsi les points donnés M, M', M'', etc. , on peut les remplacer par d'autres quelconques qui permettraient identiquement les mêmes mouvements. Ainsi , on peut supposer les points M et M' liés par deux droites de longueurs constantes MN, M'N, assujetties à se rencontrer sur une surface donnée; ce qui détermine la courbe que le point N peut décrire sur cette surface. On peut de même lier M', M'' par des droites rigides M'N', M'^N', et assujettir le point N' à rester sur une surface donnée 5 on liera de même M'' à un autre point du système, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton arrive au dernier point. Ces nouveaux points N, N', N'^, etc. , ne pourront avoir qu'une position unique pour chacune des positions successives que l'on ferait prendre au système des points donnés j iJs ne peuvent donc se mouvoir que sur des courbes complètement déterminées. Actuellement, faisons abstraction des liaisons données pour ne plus considérer que le système des premiers points assujettis à rester sur leurs courbes fixes , et des nouveaux points assujettis à rester sur les leurs, également fixées, et liés aux premières par les droites rigides qui ont été introduites. En vertu de ce nouveau mode de liaison , les points donnés sont assujettis identiquement aux mêmes

PREMIBEE A2«?iÉE. — STATIQUE. 87

mouvements qu'ils pouvaient prendre en vertu des premières liaisons : on peut donc substituer ces nouvelles liaisons aux anciennes sans changer les conditions d'ëquilibrc, et Ton aura à considérer un système de points M, N, M', N', M'', N'', etc. , liés par des droites rigides et astreints h se mouvoir sur des courbes données, auxquelles on pourra supposer une résistance normale indéfinie.

Soient P', P', P'', etc. , les résultantes des forces appliquées respectivement aux points M, M', M'', etc. , dont les coordonnées sont x^y^ z, ^'jj^ ^\ ^'\y'\ ^"> etc.

Appliquons aux extrémités de MN [fig* 3o) deux forces égales dirigées suivant cette droite dans des sens différents , et donnons-leur une intensité Q et un sens tels, que le point M soit en équilibre par l'action des forces P et Q et la résistance de la courbe donnée. Cela est toujours possible si la droite MN n'est pas perpendiculaire à celle courbe, et c'est une condition qu'on pourra toujours remplir, puisqu'on est maître de choisir, comme on veut , les longueurs MN, M'N. On peut de même admettre que M' N n'est pas normale à la courbe qui contient M', et il s'ensuivra qu'aucune des deux lignes MN, M'N ne sera normale à la courbe que peut décrire le point N : car, si une droite de longueur constante se déplace de manière que ses deux extrémités parcourent des arcs infiniment petits de même ordre, et que l'un de ces arcs soit perpendiculaire à la droite donnée , l'autre le sera de même. Donc, puisque les droites MN, M'N ne sont pas perpendiculaires sur les courbes décrites par M et M', elles ne le seront pas non plus sur la courbe décrite par N. Nous choisirons toutes les autres longueurs de telle manière, qu'aucune des droites rigides qui lient les points entre eux ne soit normale sur les courbes que ses extrémités peuvent décrire.

Appliquons de même, suivant NM', deux forces Q' égales et contraires, et telles, que le point N soit en équi-

88 COUES D£ MÉGANIQUC.

libre, parTaction des forces Q, Q'5 appliquons ensuite, suivant M' N', des forces Q" égales et opposées, et telles, que le point M' soit en équilibre 5 et continuons ainsi jusqu'au dernier point» Les conditions d'équilibre ne sont pas changées par l'introduction des forces qui se détruisent deux à deux ^ et tous les points sont en équilibre, excité le dernier. La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre du système est donc celle de l'équilibre de ce point unique.

Pour employer des notations commodes, concevons sur le prolongement de la force P un point déterminé O, et représentons par p la distance OM. Faisons la même chose pour toutes les autres forces. Quand le point M se déplacera infiniment peu, sa distance au point fixe variera d'une quantité qui pourra être considérée comme égale à la projection de sa vitesse virtuelle sur la direction de P. L'accroissement àp de la distance de M au point sera positif si la vitesse virtuelle fait un angle aigu avec la direction de la force P; et négatif si cet angle est obtus: de sorte que cî^, dp\ âp'\...^ dq^ etc., sont les vitesses virtuelles des points d'application des forces P, P', P", . . . , Q, etc., estimées dans les directions de ces forces. Les conditions nécessaires et suffisantes d'équilibre, sur chacune des courbes et sur chacune des droites rigides , seront exprimées par les équations suivantes, en observant que les moments virtuels des forces qui agissent en sens contraires sur chaque droite inflexible sont égaux et de signes^ contraires :

F §p' ^q'Sq'-h- Q" dq" = o ,

— Q"^r/'-hQ'"^*7'''r=0,

PREMliftE AKNÉE. STATIQUE. 89

et il ne faut pas oublier que les vitesses virtuelles dp^ dp\ etc. , sont les mêmes que si l'on avait conservé le premier mode de liaison , puisque dans le nouveau les mouvements possibles sont restés identiquement les mêmes.

Le nombre de ces équations surpasse d'une unité celui des quantités Q, Q', QJ'^ etc. La première détermine Q^ substituant sa valeur dans la seconde, on aura Q', et en continuant ainsi , la dernière ne renfermera plus aucune des forces auxiliaires , et sera la condition nécessaire et suf* fisante pour l'équilibre du système. On l'obtient en ajoutant toutes les équations précédentes; les moments virtuels de chacune des forces auxiliaires Q , Q\ etc. , entrant chacun dans deux équations consécutives avec des signes contraires, se détruiront, et il restera

Donc , dans le cas que nous considérons, il est nécessaire et suffisant , pour l'équilibre du système, que la somme des moments virtuels des forces données soit nulle pour chacun des deux déplacements opposés, qui sont seuls possibles et qui donnc^nt des moments égaux et de signes contraires.

95. H ne reste plus qu'à démontrer que , quel que soit le nombre d'équatîous qui lient les coordonnées des points du système, et, par conséquent, quel que soit le nombre des déplacements compatibles avec ces liaisons, il est nécessaire et suffisant , pour que des forces se fassent équilibre sur ce système , que la somme de leurs moments virtuels soit nulle pour tous ces déplacements infiniment petits.

fin effet, considérons un quelconque de ces déplacements et établissons de nouvelles liaisons qui n'en permettent pas d'autres , si ce n'est le déplacement contraire correspondant à des variations égales et de signes contraires des coordonnées-, l'équilibre aura encore lieu s'il existait déjà, et, par conséquent, d'après ce qui précède, la somme

go COURS DE MÉCANIQUE.

des moments virtuels correspondants à ce déplacement est nulle.

Réciproquement, si cette somme est nulle pour tout déplacement possible, il y aura équilibre. En eflfet, si les forces pouvaient mettre le système en mouvement , tous les points se mouvraient sur certaines courbes que l'on pourrait supposer fixes sans altérer en rien ce mouvement; et Ton pourrait, de plus, supposer des liaisons qui permettraient sur ces courbes le mouvement qui a lieu, mais de telle sorte que le mouvement d'un seul point entraînerait celui de tous les autres. On rentrerait encore dans le premier cas quant aux liaisons, et la somme des moments virtuels serait nulle sans qu'il y eût équilibre, ce qui est contraire à ce qui a été démontré précédemment.

Donc enfin,

Quelles que soient les équations qui lient les coordonnées des points qui composent un système y auquel sont appliquées des forces quelconques , il est nécessaire et suffisant pour Véquilibre que la somme des moments virtuels de ces forces soit nulle pour tous les déplacements infiniment petits, compatibles ai^ec les liaisons du système.

96. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les courbes ne produisaient que des forces normales. Si elles pouvaient détruire des forces dirigées suivant la tangente , au moyen d'un obstacle au mouvement du point dans un sens seulement, l'équilibre pourrait avoir lieu sans que la somme des moments virtuels fût nulle; mais alors elle serait nécessairement négative. En effet, l'obstacle tient lieu d'une force dirigée du côté où le point peut se déplacer. En l'introduisant et supprimant l'obstacle , la somme des moments virtuels sera nulle. Or, si l'on ne considère que le déplacement virtuel compatible avec Thypotlièse de l'obstacle , le moment virtuel de la force introduite sera positif; donc la somme des autres sera négative. Elle serait nulle si Téquî-

libre avait lieu indépendamment de Tobstacle , parce que la force qui le remplacerait serait nulle.

97. Il suit du principe précédent que le moment virtuel de la résultante de forces quelconques est égal à la somme des moments virtuels de ses composantes^ car il y aurait équilibre entre ces dernières si Ton y ajoutait une force égale et opposée à leur résultante. La somme totale des moments virtuels serait donc nulle , et, par conséquent, la somme de ceux qui se rapportent aux composantes serait égale et de signe contraire au moment de la force qui leur fait équilibre , et qui est égale et opposée à la résultante. Cette somme est donc égale au moment de la résultante, puisque deux forces égales et contraires, appliquées à un même point , ont des moments virtuels égaux et de signes contraires.

98. Si Ton remplace chaque force par ses composantes parallèles à trois axes rectangulaires , son moment virtuel sera la somme de ceux de ses composantes. Soient X, Y, Z les composantes d'une force appliquée au point M dont les coordonnées sont a:, y, ^; et cîa:, dy^ dz les variations de ces coordonnées dans un déplacement infiniment petit du système. Les moments virtuels des forces X , Y, Z seront , comme nous l'avons démontré, Xcîa:, Ydy, Z Jz, et le moment de leur résultante sera

L'équation générale de l'équilibre d'un système quelconque de points sera donc

(i) 2 (X«îx -4- Y^/ -h Z^z) = o,

la somme 2 s'étendant à toutes les forces du système, et les variations des coordonnées de leurs points d'application pouvant avoir toutes les valeurs compatibles avec les équations qui lient ces coordonnées.