X-|-X:r-» Y-f-X-7-9 Z-f-;—-, x'-f-X —-;.... . dx dy dz r/x
et les équations exprimant les liaisons sont réduites à
En traitant cette question comme la précédente, on aura, pour déterminer l'équilibre , les équations suivantes :
^ ^ rfL\ , dV , dL"
dx / dx dx
^ dh\ ^ dV ^ dV
^^^■d^j-^^^^^^^nr^'"^"'
(4) ( / dL\ ^ dL\ ^ dL"
dz J dz dz
^, dL\ , dV ^ r/L"
Or, A ayant été pris avec la valeur qu'il avait d'après les équations (3) , il est clair que toutes les équations (4) sont satisfaites, en prenant pour ii, Xi, etc., les valeurs mêmes de X', X'^, etc. D'où Ton conclut, comme nous Pavons annoncé, que, si Ton supprime du premier système les liaisons qu'exprime Téquation L = o , et qu'on introduise en chaque point trois forces parallèles aux axes et égales au produit de X par les dérivées partielles de la fonction L par rapport aux coordonnées respectives de ces divers points, Téquilibre ne sera pas troublé ; et l'ensemble des forces qui remplaceraient les liaisons restantes est représenté par 1 eu-
n6 COURS DE MEhàNIQUE.
semble des termes des équations (3) qui proviennent des fonctions L', L", etc.
Si , dans le nouveau système , on supprimait encore les liaisons exprimées par une autre équation , on verrait de même qu'il faudrait introduire en chaque point des forces représentées par les termes des équations (3) qui renferment les dérivées partielles de cette équation ; car ces termes sont les mêmes dans les équations (3) et (4)^ 6t ainsi de suite.
On connaît donc ainsi les forces qui pourraient, sans rien déranger dans l'équilibre, remplacer Tune quelconque des équations de liaison.
Il faut remarquer, toutefois , que Féquation L = o pourrait résulter de liaisons matérielles très-variées , et les eflforts produits sur ces liens devront être calculés suivant leur nature. Ce que nous avons déterminé seulement, ce sont les forces qui en résultent sur les points dont les coordonnées sont x^y^ z^ x', y* ^ etc.
103. Deux systèmes de forces appliquées à des points liés entre eux d'une manière quelconque sont dits éqidvalents lorsqu'ils pourraient être détruits séparément par les mêmes forces \ et il est clair que la même propriété ne se conserverait pas en général , si la nature des liaisons changeait. Or il résulte du principe des vitesses virtuelles que la somme des moments virtuels de deux systèmes équivalents est la même , puisqu'elle est égale et de signe contraire à une même somme.
Si deux systèmes peuvent être détruits séparément par un troisième, il est évident que tout autre système qui détruirait l'un des deux détruirait l'autre , puisque la somme de leurs moments virtuels serait la même, en vertu de la première condition. Réciproquement, si la somme des moments virtuels de deux systèmes est la même , ils feraient évidemment équilibre aux mêmes systèmes.
PREMIÈEK ANNKR. — STATIQUE. 97
Application du principe des vitesses virtuelles à l* équilibre
d'un fil flexible.
104. L'ëquaiion que nous allons traiter dépend du calcul des variations , puisque nous devrons considérer tous les points du fil comme se déplaçant infiniment peu , et que Tintégrale qui exprime la somme des moments virtuels devant être nulle , elle aura sa dérivée nulle. Il s'agira donc de déterminer la forme de la courbe par la condition que la variation d'une intégrale définie, prise dans toute son étendue, soit nulle en passant de cette courbe à toute autre infiniment voisine ^ pourvu que tous ses points n'aient fait que se déplacer, et que les éléments infiniment petits qui la composent aient respectivement conservé leur grandeur. Or, ce problème est du genre de ceux que le calcul des variations a pour objet de résoudre.
Soient X ^5, Yds, Zds les composantes de la force qui sollicite l'élément ds^ le principe des vitesses virtuelles donnera l'équation
fds(X$x-^Y$jr^ZSz)z=zo,
cette intégrale étant prise dans toute Tétenduc du fil , et les variations dx, ây, âz étant telles, que Télément quelconque ds conserve la même longueur, c'est-à-dire que Ton ait *
^</5 = o, ou —-dSx'\'-f'dSr-h-T^^^=^o,
ds ds as
Cette équation a lieu pour tous les éléments, et Ton a, par conséquent, autant d'équations de condition que d'éléments. D'après la théorie précédente, on doit les multiplier par des coefficients indéterminés, variant de l'une à l'autre, et qui, par conséquent, dépendent de 5^ de sorte I. 7
gS COURS DE MÉCANIQUE.
qu'on peut les représenter tous par une fonction quelconque de 5) que nous désignerons par X ^ et , ensuite , on doit ajouter tous ces produits à la somme des moments virtuels 9 puis égaler à zéro les coefficients de toutes les variations. Cette somme sera une intégrale prise entre les mêmes , limites que la première 9 et Ton aura ainsi Téquation d'équilibre :
X, ôx, -4- Y, ^jr , + Z, «^2, -f. X, ^^2 H- Y, ^j'j -h Zj ^^2
^iji^i^ x%ytZt étant les coordonnées des extrémités, et Xj Yi Zi, Xj Yj Zs les composantes des forces qui y sont appliquées.
Mais on a
/^ dx , ^ ^ dx - /» «. , V dx
l—dSx=:\ — Sx^fSxd.l--, ds ds '^ ds
^ ds ds ^ ^ ds^
réquation précédente devient donc
(Xds — d.\^\ Sx -h (jds — ^.> j^) Sy
Sz
Il faut maintenant égaler à zéro les coefficients des varia-
PREMJÈRK ANNÉE. STATIQUK. qq
lions de tous les points. On devra donc avoir, pour un point quelconque du fil ,
dx dy dz
(i) X^J — ^.>— = 0, Yds—dA-f^o, Zds'^d.\4 = o, ^ ds ds ds
et , pour les points extrêmes ,
' x.+(xj)=o. v..(4)=., z.+(4;)=o.
Les équations (i) sont les mêmes que celles du n^ 85 , dans lesquelles T est changé en — X. Éliminant entre elles X, on aura les deux équations de la courbe , et la valeur de X s'ensuivra. Les équations (2) feront connaître les grandeurs et les directions des forces qui doivent être appliquées aux
extrémités.
On peut remarquer que l'équation précédente, fournie par le principe des vitesses virtuelles, serait la même si chaque élément, au lieu d'être lié aux autres, était entièrement libre , pourvu que sa première extrémité fut sollicitée
dx uV u2
par les forces X — 5 X -^^ X — 1 qui se réduisent à une force
tto us US
tangente égale à X, dirigée en sens contraire de Félémeni, et que la seconde extrémité fût sollicitée par une force tangente égale à X -I- rfX, et dirigée suivant le prolongement de Télément. D'où il résulte que l'indéterminée — X mesure en chaque point la tension du fil, ce qui s'accorde avec ce qui a été dit n° 85.
Remarques sur l'équilibre d'un système quelconque.
105. Lorsque l'expression S (X(îx -h Ycîy^ -f- ZJz) sera la variation d'une certaine fonction de a:, j, z, x\ y\
^tà
lOO COURS DE MÉGANIQUE.
z\ etc., traitées comme variables indépendantes, Téquation donnée par le principe des vitesses virtuelles montre que, dans la position d'équilibre, celte fonction est , en général , Un maximum ou un minimum par rapport h toutes les valeurs qu'elle peut prendre lorsque le système subit un déplacement infiniment petit quelconque, compatible avec ses liaisons^ le minimum correspond au cas de l'équilibre instable, et le maximum au cas de l'équilibre stable. Mais cette discussion nous écarterait trop de notre objet, et nous nous bornerons à examiner le cas simple d'un système quelconque de points sollicités par des forces parallèles proportionnelles aux masses.
Si Ton prend l'axe des z en sens contraire de la direction de ces forces , on aura
X = o, Y = o, Z=z — gdm ,
dm désignant la masse d'un quelconque des éléments. L'expression 2 (X(îa:+Y(3y-i-Z^z) devient alors — g'Zdmâz'^ et l'équation d'équilibre sera
IdmSzzzio, ou Slzdm =:o;
donc ^zdm est maximum ou minimum. Mais Hz dm est égal au produit de la masse du système par le z du centre des forces parallèles; donc ce centre est le plus haut ou le plus bas possible , lorsque le système est en équilibre. Le premier cas est relatif au minimum de l'intégrale de — gHdmdz\ il correspond à l'équilibre instable, et le second à l'équilibre stable. On en voit un exemple bien simple dans l'équilibre d'un cylindre elliptique posé sur un plan horizontal.
106. jiutre propriété de mxiximum ou de minimum. — Soient P, P', etc., des forces en équilibre sur un système quelconque; M, M', etc., leurs points d'application. Prenons à partir de ces points, et sur la direction des forces,
PAEMIE&E ANMKE. — STATIQUE. lOl
des longueurs MN, M'N', etc., proportionnelles a ces forces, et désignons-les par p^ p\ etc., de telle sorte que l'ou ait
Le théorème que nous voulons démontrer consiste en ce que la somme /?'■+- ^"-f-.., ou 2/?' sera un maximum ou un minimum, parmi toutes les valeurs qu'elle peut prendre lorsque, les points N, N', etc., restant fixes, les points M, M', etc., subissent un déplacement virtuel quelconque, compatible avec les liaisons du système.
En effet , soient L {fig- 3 1 ) une position infiniment voisine que peut prendre le point M; H sa projection sur la direction de la force P^ Q l'angle PML; faisons ML = i\ MH = dp.
Le principe des vitesses virtuelles donne pour tous les déplacements possibles 2Pcî/> = o^ et, par conséquent, eu multipliant tous les termes par A,
(i) , lp$pz=0,
équation qui équivaut à
d'où il suit que généralement Sp' sera un maximum ou uu minimum pour tous les déplacements infiniment petits des points M, compatibles avec les liaisons du système 5 car c'est avec cette dernière condition que les 3p sont entendus dans l'équation (i).
Pour reconnaître si 2/?' est un maximum ou un minimum, calculons exactement son accroissement. Si nous désignons par pi la valeur NL de p après le déplacement vir^ luel arbitraire, nous aurons
p]z= p- — 2pr cos 9 -f- r\
I02 COURS DK MECANIQUK.
d'où
L'accroissement de Sp' est donc
(3) (î2/?^= — 22/?rcos0-H 2r'.
Or le premier terme de celte expression n'est autre cliose que — 2 2 />(?;?, puisque l'on a
reos9=:6py
donc, si Ton avait rigoureusement l'équation (i) , âl,p* se réduirait à 2r* qui est essentiellement positive, d'où il suivrait que 2p* serait toujours minimum. Mais nous avons fait remarquer, dans la démonstration du principe des vitesses virtuelles, que Hpâp n'était pas généralement nul, mais infiniment petit du second ordre 5 et comme S r* est du nj-ême ordre, les deux parties de dUp* sont comparables^ et l'on ne peut rien dire d'absolu sur le signe du résultat. Cependant on peut faire quelques remarques importantes à cet égard.
Supposons d'abord que ^Pdp soit de même signe pour tous les déplacements virtuels, il faudra distinguer deux cas.
S'il est négatif, les deux termes de l'expression (3) seront positifs, et, par conséquent, 2/?* sera un minimum, quelle que soit la valeur du rapport A, depuis zéro jusqu'à l'infini.
S'il est positif, la première partie de cî2^' sera négative^ et comme elle varie proportionnellement à /r, on pourra donner à ce rapport une valeur assez grande pour que cette première partie l'emporte sur la seconde 2r^, quel que soit le déplacement virtuel, et cela aura lieu depuis celte valeur de /r jusqu'à l'infini : dans toute celle étendue, 2/?' sera maximum. Il pourra arriver qu'entre celte limite infé-
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. lo3
rieure de k et une autre valeur plus petite, la première partie de (3) soit tantôt supérieure, tantôt inférieure à la seconde^ entre ces limites, il n'y aura ni maximum ni minimum.
Mais ce qui est très-remarquable , c'est que , dans tous les cas, et lors même que ^l?dp n'a pas le même signe pour tous les déplacements virtuels, on peut donner au rapport /:, et, par suite, aux longueurs p, p\ etc., des valeurs assez voisines de zéro pour que la première partie de (3) soit incomparablement plus petite que 2r*. Il suffit, en effet, de supposer que p^ p* soient des infiniment petits du premier ordre, parce que la première partie de l'expression (3) deviendra infiniment petite du troisième ordre, et l'autre n'étant que du second, son signe prévaudra. D'où il résulte que Hp^ sera minimum , puisque son accroissement sera toujours positif. Cette dernière proposition est due à M. Gauss-, elle n'est qu'un cas particulier d'un théorème que cet illustre géomètre a donné dans le cas d'un mouve-^ ment quelconque. C'est là le cas où le mouvement se réduirait à zéro. On peut dire aussi que ce théorème est renfermé dans la proposition précédente, en vertu du principe de d'Âlembert, dont nous parlerons plus tard.
Mais il faut bien remarquer que ce n'est pas seulement dans le voisinage de Ar = o que 2p* sera nécessairement un minimum; il en sera ainsi depuis cette limite jusqu'à une certaine valeur finie de t, pour laquelle la première partie de (Î2/7* cessera d'être inférieure à la seconde pour tous les déplacements virtuels.
On peut observer encore que lorsque, pour une valeur de A, 2p* sera maximum, il suffirait de porter les quantités p dans le sens opposé pour que 2/;* devînt minimum; car alors cos 9 changerait de signe sans changer de valeur, et les deux parties de <îSp^ seraient positives. Il y aurait donc minimum en considérant cette même valeur de k avec
Io4 COURS DE MECANIQUE.
le système des forces égales et contraires aux premières, et qui seront en équilibre en vertu du principe des vitesses virtuelles.
