X -= sji ay — j^ -f- rtr arc cos

d'où

dx /t. a

a arc cos —

En considérant l'aire comprise entre l'arc, Tordonnée et la tangente au sommet, qui est Taxe des a:, on aura

A —S^y V2rtr — r' = -^ — "^ — =^ + -

On aura ensuite

Xx,z=z fxdysliay—f

-=- s dy[7.ay '—y'') + a/ arc ces dy s^T^ay — y""*

La première intégrale est égale à ay^ — ~ Quant à la seconde, nous aurons , en intégrant par parties ,

j arc cos — dy>J7.ay^ y^

==:arccos

= arc cos

^ —y \{y-' ^) sl^^ay—y^ , a' / « — jl

1 arc cos ^ I

C\ {y — <^)dy . a' a—y Jy J\

— I i ! arc cos . , = 1

J L 2 21 a sjiay — y^ \

^ [y-'a)^'^ay—y ' a-^y a^ I oL — yY

— ~ " arc cos 1 arc cos "^ ^

y' ay a^ ( a—yY ^

^{y--)sl^-y-t^rcco.'LiiZ

+ 7- f arc cos '-^---^ ) — -^ + ^ -|- c.

fi^yy y__,^ « / 4 2

PREMIKBE ANNEE. — STATIQUE. I29

Substituant celte expression dans la valeur de A Xi , nous aurons

AX| — r T ûfy — -Ti — I — ■ — arc cos

La constante arbitraire est nulle, en considérant comme égal à zéro Tare dont^ cosinus est i .

La valeur de j^i sera donnée par la formule suivante :

A^. = 7/r^^V2«r— r'=T/(r— «•+-«)^rV2flr— r'

= — i.(2flr— rM'H — ^-^ — . ^\ -^ — ^-+-7-arccos ^•

oci et j^i sont donc déterminés.

On aurait à effectuer des intégrations du même genre , si Ton considérait un segment placé différemment par rapport à la cycloïde.

133. Surfaces de réi^olution. — Soit d'abord la surface sphérique engendrée par le cercle dont l'équation est

on aura entre les limites x^etx^

A = !i'Kfxds=z!i'KKfdx=2itK(x — X,), Ax, = 2nfa:xds=: 2 7r/ xRrfx = 7rR(x» — x]);

d'où