MI MO ^ MO
1) 1 MI MI da w^ ly • 1
et 1 on peut remplacer -— r par ^^r ou — Donc 1 action de
'^ '^ MO ^ \0 a
la couche aura pour expression
P étant la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en M.
Les composantes de cette action , parallèlement aux axes positifs des x , /, ^ , s'obtiendront en la multipliant par les cosinus des angles que forme avec ces axes la direction intérieure de la normale. Désignant par a , & , e les demi-axes de Fellipsoïde, et par x ^ y^ z les coordonnées de M, ces cosinus ont pour valeurs
-— Px —Pj — Pz
Les trois composantes auront donc respectivement pour
l84 COURS DK MÉCANIQUB.
expressions
la valeur de P* étant
On peut observer que, d*après les égalités — = -^ = — »
les expressions des deux dernières composantes se déduiraient de la première en changeant x^\a en r et 6 , ou en r et c.
Calcul des composantes, de i attractixyn d'un ellipsdide^^
sur un point extérieur,
113, Soient A , B , C les demi-^xes d'un eUipsoïde homogène, A étant le plus petit, et posons
Pésignons par oc^ë^y les coordonnées d'un point extérieur^ il s'agit de calculer les composantes X , Y, Z de l'attraction de rellipsoïde sur ce point,, auquel nous supposons l'unité de masse.
Déconoiposons ce corps en couches infiniment peu épaisses, par des ellipsoïdes semblables. Soient a et a — da les demiaxes des X des deux surfaces qui terminent une couche quel-^ conque, les autres axes s'ensuivront^ et, lorsque nous aurons calculé les composantes de l'action de cette couche, il suffira de les intégrer par rapport à a , depuis a = o jusqu à a = A, si l'ellipsoïde est plein. Dans le cas où il s'agirait d'un solide creux terminé par deux ellipsoïdes semblables ^
PBEMIXKB ÀVlfiK. STATIQUE. l85
on intégrerait depuis la valeur de a relative à la surface intérieure jusqu*à a = A.
Substituons à la couche en question une couche terminée par des ellipsoïdes semblables entre eux, homofocaux à ceux qui terminent la première , et tels que le plus grand passe par le point M.
Soient a', i', c' et a' — da'^ V — dtl^ c' — de' les demi* axes de ces deux ellipsoïdes, on aura les relations suivantes :
da da! a h c
les composantes de Faction de cette couche sur le point M seront
Si on les multiplie par -7-77-7' on aura les composantes de
Faction de la couche en question ^ et Ton trouvera ainsi , en
■M da' da
remplaçant —p par — ?
Posons
dX=^^^p/a^,^jr^,
, , V^beda dZ z= - li^ffy -^^-ry.
— — « , d où a z=z aiir^ ;
et , en verlu des éqaaiions (i) ,
Téquation (2) donnera
Ainsi a et, par suite, a', b\ c' dépendent de a.
Il reste à exprimer P" en fonction de m , et les composantes élémentaires ^X , dY^dZà seront ramenées à cette seule variable.
Or, on a
DiiFérentiant l'équation ( 3 ) , pour exprimer da au moyen de du^ et ayant égard à la valeur de P", on trouvera
d'ot
ou
P'2^ = a'^du^
Rcmplaça^nt b ^ c^ a'^ b\ c' par leurs valeurs en a et 2/ , a
disparait, et il vient, en introduisant la masse M = ^ irp ABC,
3Mya u^du
^' (i -hX»a')»(n-V««»)'
3 M/6 u}du
^' (H-Va»)"^(i-hV«a»)^
Si l'on intègre ces valeurs depuis m = o jusqu'à u = •— >
Â' étant le demi-axe des x de Fellipsoïde homofocal passant par le point donné, on aura les composantes de Tat*traction totale \ leurs expressions seront
3 M/a /»A' u^du
(i-f-v««ni
3 M/g /*Â^ w»£/tf
A 3 M/7 /*A' a^^tf
/A' tf»</i
A' étant donné par l'équation suivante :
cette équation ne peut donner qu'une seule valeur positive pour A". Les deux valeurs négatives se rapportent aux hyperboloïdes homofocaux.
l88 COURS DE MÉCANIQUE.
Si le point (i se trouve à la surface même de l'ellipsoïde , on a A' = A, et la seconde limite des intégrales est i : ce qui donne pour les composantes de Faction sur un point de la surface de l'ellipsoïde,
3 M/g /» ' u^du
3 M/6 /»" u'du
