M/6/ >A >AA
<') i^=--iVÂïr^^"^T--A-^VAV
SM/v/ XA >AA' \
On fera A' = A si le point est la surface même de l'ellipsoïde. Si X = o, Fellipsoïde se réduit à une sphère , et les formules (7) coïncident avec celles que l'on connaissait pour ce cas.
i 75. Ellipsoïde de résolution allongé. — L'ellipsoïde sera encore de révolution si A = B, mais il sera allongé vers les pôles ; on aura alors X = o , et les formules ( 5 ) deviendront
Jr^' u' du (n-x"«»f.
Or, on a
" U^dll uJl-^V'u') l , ,,, / :
et Tintëgrale qui entre dans Z s'en déduira en la multipliant par V et difiérentiant le produit par rapport à X'; on trouvera ainsi
f u'du 1 r ^ v„ 1
c/o (x -hV»«'f ^ L v/i+V'it'J'
et , par suite ,
^ SM/afX'A, / V^A' , /va ,, / '
3M/6rVA / v^. /VA , /
L^ellipsoïde se réduira encore à une sphère en supposant C = A ou )/ = o; les formules (8) se réduiront à |, et, traitées par les procédés ordinaires , elles reproduiront encore celles qui conviennent à ce cas particulier.
Nous allons maintenant faire connaître les méthodes au moyen desquelles on résolvait le même problème, avant que celle de M. Chasles fût connue.
jàutres méthodes pour calculer l'attraction des
ellipsoïdes,
176. Le calcul direct de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point est beaucoup plus facile quand ce point est dans son intérieur ou à sa surface que quand il lui est extérieur. C'est le cas que Ton a traité d'abord^ on a ramené ce calcul à des quadratures simples , et les géomètres ont dirigé leurs efforts vers la réduction du second cas
au premier. Ils ont découvert deux théorèmes qui remplis** sent cet objet : Tun , qui porte le nom de Maclaurin , quoiqu'il n'ait été démontré par ce géomètre que dans un cas particulier 5 l'autre , qui est dû à Ivory . Nous allons exposer ces différentes théories qui résolvent aussi complètement que possible ce problème , si important dans la théorie du système du monde. Poisson, après beaucoup d'efforts, est parvenu à faire directement le calcul de l'intégration pour le point extérieur ] mais nous ne ferons pas connaître ses recherches sur ce point, parce que les calculs sont trop compliqués, et qu'ils ne nous paraissent pas très-importants pour la question en elle-même.
Soit l'équation de l'ellipsoïde
JC> Y* Z^
Soient a , S , y les coordonnées du point intérieur attiré fx, auquel nous supposerons une masse égale à l'unité *, p la densité de la matière homogène qui compose l'ellipsoïde; 5 , >} , Ç les angles que fait avec les axes la direction d'un rayon vecteur quelconque mené par le point it.\ dtù xm angle solide infiniment petit dans la direction de ce rayon, et son sommet en /:a.
Partageons la portion de l'ellipsoïde comprise dans cet angle solide , par des sphères ayant leurs centres en fx et des rayons r croissants par différences infiniment petites dv^ l'expression d'un quelconque de ces éléments de volume sera r'rfwJr; et l'attraction étant supposée en raison inverse du carré de la distance , son action sur le point fx aura pour expression
Faisant la somme des actions de tous les éléments qui composent l'angle solide depuis le sommet |ui jusqu'à sa rencon-
PREMIÈRE ANNÉE. — STATI«»UE. Iq3
tre avec la surface de Tellipsoïde, on obtiendra, en désignant le rayon julM par r,
f^rdtù.
Les trois composantes de l'action de cette portion du solide seront
ypr cosÇrfw, /pr cos>3£/w, /pr cos^d(,i.
Soit maintenant r' la valeur négative du rayon pM' de la surface de l'ellipsoïde , correspondante aux mêmes angles ^y yj, ^. En prolongeant en sens contraire le premier angle solide, on aurait à faire un calcul analogue au précédent; seulement les angles relatifs à sa direction seraient les suppléments de I , y? , ^, et la valeur absolue du rayon vecteur serait — r' 5 de sorte que les composantes de la force produite par la portion de Tellipsoïde comprise dans ce second angle solide auront pour expressions
ypr'cosÇr/w, fpr'cosndoij ^pr' ces Çrfw.
En les ajoutant aux premières , on aura
/p(r-|-r')'costcfw, /p (r -i- r') coSïïrfw, /p(r H- r')cos Çflfw,
et si l'on fait la somme d'expressions de ce genre en prenant pour dtù tous les éléments d'une demi-sphère quelconque ayant son centre en yi et pour rayon Tunité, on obtiendra les composantes X, Y, Z de Faction de rdlipsoïde entier sur le point (ut. Pour avoir les valeurs de r et /•', il faut rapporter l'ellipsoïde à des coordonnées polaires, au moyen des formules
xz=iai -^ r ces Ç , j = 6 -t- /• cos yj , z = 7 4- r ces Ç ,
ce qui donne pour équation de Fellipsoïde
194 COURS DE MÉGANIQUe.
En posant
cos' Ç cos* >i cos' Ç a^ b^ c^
OL cos % 6 cos V) 7 cos ^ ^ "-- = ^,
on reconnaît de suite que les deux valeurs de r données par Téquation ci-dessus, pour une valeur des angles Ç, yj, Ç, sont de signes contraires, puisque p et l sont essentiellement positifs; et Ton aura
Si maintenant l'on observe que, pour deux directions contraires , - est le même , au signe prés , et que . par consé-
Y t . g cos S g cos n g cos C i a
(Tuent , les produits > 5 sont les mêmes en
grandeur et en signe pour ces deux directions, on recon^
naîtra qu'au lieu de prendre pour les directions juiM de Fangle solide celles qui sont d'un même côté d'un plan passant par fx, on peut les prendre tout autour de ce point, pourvu qu'on divise par 2 le résultat. Nous aurons donc, en considérant que les sommes S se rapportent à toutes les directions autour du point [i ,
Parmi les sommes partielles dont se composeront les valeurs de X, Y, Z, quand on aura substitué À q sa. valeur, se
VREMIK&E ANNÉE. — STATIQUE. igÔ
iroaveront les trois suivantes :
i|-l COS S COS ndbi ^ry C08 { COS }^df» m^ cos n COft Ç//ft>
qui sont évidemment nulles comme composées d'éléments, deux à deux égaux et de signes contraires; car, en conservant les mêmes valeurs quelconques à deux des trois angles, choisis convenablement , le troisième peut avoir deux valeurs supplémentaires ; et , quant au dénominateur, il restera le même dans les deux cas. On aura donc , d'après cette remarque ,
/po^"^ ces' Ç dx»i /p ^ V^ COS* »É^w
Pour effectuer ces calculs, il faudrait exprimer l'un des trois angles ^ ? >? ? ^ au moyen des deux autres ; mais il vaudra mieux introduire les deux angles que Ton emploie le plus ordinairement dans les coordonnées polaires , et qui sont l'angle formé par le rayon vecteur avec l'un des axes , par exemple Taxe de j:, et celui que fait avec l'axe desy la projection du rayon vecteur sur le plan des j et z. Désignant le premier par 6 et le second par ^p, on aura
cos I =: cos , cos >] = sin G cos >[/, cos Ç = sin sin ^.
Nous calculerons d*abord la valeur de X 5 celles de Y et Z s'en déduiront par de simples changements de lettres. Dans ce nouveau système de variables , on aura
f/w = sinQdQd-^y et
fpa. /• /• cos^0sinBd9d^
i* 9 sin' 9 cos* ^ sin* G sin'\|« ^
- a^ I I cos^
Tinlégrale par rapport à ^ est prise entre les limites o et 2 w,
196 COURS DE MKC^MQUK.
et celle par rapport à , entre o et tt. Quant à la première , il suiiira/de la prendre entre o et - ? puis de quadrupler le
TT
TT
résultat; pour la seconde, on la prendra aussi entre o et -
et Ton doublera le résultat.
Commençons par effectuer l'intégration par rapport à i|/, et posons pour cela tang if; = u , d'où
n^ I du
Sin';^ = 5 ces' 11= -f ^^^ = ;•
On aura ainsi
TT
du
0+ô'cos^ô)+6'(â'sin^0+c'cos'0)M' na^ bc
2 v'(a' sin* ô 4- 6* ces* 9) (a' sin' 4- c' ces* 0)
Il restera donc à effectuer Tintégration par rapport à 0, ce qui n'est pas possible sous forme finie si les trois axes de rellipsoïde sont inégaux. Pour déduire la valeur de Y de celle de X , on observera que si l'on avait introduit l'angle du rayon vecteur avec l'axe des j au lieu de l'axe des jr , dans le système des coordonnées polaires, le calcul relatif à Y n'aurait différé de celui que nous venons de faire que par le changement réciproque des lettres a et è ; la même remarque s'applique à c, et Ton aura, en conséquence, les formules suivantes :
Jo vfa'sin'
TT
cos'0 sinOdB
TC
Jo
TT
sin'
' 4- ^' ces'
0) («' sin'
r' cos'
cos'ô
sin 0^/0
sJÇb^
sin'
a^ ces'
0)(^^sin'
c^ cos^
cos'0
siD0â?0
, ^ , P'^ cos'0sin0û?0
Jo v(<^'sin'0 4- ^'cos2 0) (c'sin'0 4- ^'cos' 0)
PRKMIÈRK ANKLK. STATIQUE. 1 y^^
On donnera à ces expressions la forme trouvée précédemment , et posant cos = « , elles coïncideront ainsi avec les formules (6) ,.dans lesquelles a^è ^y désignent les coordonnées d'un point quelconque de l'intérieur, ou de la surface derdlipsoïde.
Ces valeurs de X , Y, Z étant respectivement de signes contraires à a, 6, y, chacune des composantes tend à rapprocher le point de Torigine. On remarquera encore que ces valeurs ne changeraient pas si Ton multipliait les quantités a^ b ^ c par un même nombre. L'attraction n'est donc pas changée par l'addition ou la soustraction d'une couche comprise entre la surface de Tellipsoïde proposé et une surface semblable plus grande ou plus petite, pourvu que le point fx soit toujours dans son intérieur*, car nos calculs sont fondés sur cette supposition. D'où l'on conclut que le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables dont les axes coïncident en direction, n'exerce aucune action sur un point matériel placé dans l'intérieur de sa plus petite surface.
Maintenant que le problème est résolu pour un point intérieur à Tellipsoïde ou sur sa surface , il suffit d'y ramener le cas d'un point extérieur pour que le problème proposé soit complètement résolu. C'est ce que Maclaurin a essayé de faire au moyen d'un théorème qui a conservé son nom, quoiqu'il ne l'ail pas démontré avec toute la généralité nécessaire. Il avait été établi péniblement par d'autres géomètres; de sorte que l'on pouvait en faire l'usage que nous allons indiquer. Mais, comme sa démonstration n'était pas simple , on a continué à chercher à perfectionner cette importante théorie, et M. Ivory a découvert im autre théorème très-élégant qui remplissait le même objet d'une autre manière, et dont il déduisait même celui de Maclaurin dans toute sa généralité. x\près lui , M. Rodrigues a trouvé une autre démonstration analytique fort simple de ce der-
nier théorème, et enfin M. Chasles en a donné une plus simple encore et tout à fait géométrique , que nous avons déjà fait pressentir et que nous allons faire connaître.
177. Théorème de Macïaurin. — Ce théorème a pour objet de comparer les actions de deux ellipsoïdes homofoeaux , homogènes et de densités quelconques sur un même point extérieur à Fun et à l'autre. A cet effet, on partagera chacun d'eux en couches infiniment minces, par des surfaces ellipsoïdales semblables à la surface qui le termine et respecti venaient homofocales. Nous avons démontré (n^ 165) que deux couches homologues de ces deux corps exercent sur le point extérieur des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces couches , et , par suite , à celles des ellipsoïdes proposés. Il résulte de là qu'en conxposant toutes ces actions élémentaires qui auront respectivement un rapport constant et une même direction , on aura deux résultantes de même direction, et ayant entre elles ce même rapport. D'où résulte le théorème suivant :
Deux ellipsoïdes homofoeaux homogènes exercent sur un même point extérieur quelconque des actions de ménie^ direction et proportionnelles aux masses de ces corps.
Cette proposition aura encore lieu lorsque la surface d'un des ellipsoïdes passera par le point même , et Ton voit facilement que pour calculer Faction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur, il suffira de déterminer Tellipsolde homofocal passant par ce point , auquel on donnera la même densité qu'au premier. Les formules (6) feront connaître les composantes de son action sur ce point, et il suffira de les multiplier parje rapport du volume de l'ellipsoïde proposé à celui du second pour avoir les composantes de l'action du premier. Nous allons effectuer ce calcul.
178. ^application du théorème de Maclaurin. — Nous avons démontré précédemment ce théorème, et nous allons montrer maintenant l'usage que l'on en peut faire pour
PBKMIÈEE ANHÉE. — STATIQUE. I99
obtenir raction d*un ellipsoïde sur un point extérieur, connaissant son expression pour un point intérieur.
Soient A , B , C les trois demi-axes de l'ellipsoïde donné , Â', B', C ceux de Tellipsoïde homofocal , passant par le point extérieur (a^ê^y). Les composantes de l'action de ce dernier sur ce point se calculent directement, sans difficulté, et sont
p'fl^*
Si Ton observe que l'on a
et qu'on pose
ee qui donne o et -r-, pour limites de u ^ si , ensuite , on mul-
ABC tîplie les trois composantes X', Y', Z' par ■ / > on aura ,
d'après le théorème de Maclaurin, les composantes de rattraction de l'ellipsoïde donné ^ et l'on retrouvera ainsi les formules (5).
179. Théorème d'Ivoiy, — Ce théorème a aussi pour objet de ramener l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur
un point extérieur, à celle d'un autre ellipsoïde sur uu poini de son intérieur. 11 n'offre aucun avantage sur celui de Maclaurin*, mais, comme nous l'avons dit, son auteur Ta fait connaître à une époque où l'autre n'était pas encore bien rigoureusement, ou du moins, bien simplement démontré 5 et il a été considéré par les géomètres comme une découverte importante.
Soient a , 6, y les coordonnées d'un point extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont A , B , C 5 la composante X de son £^ttraction sur ce point sera
(x — Qf.) (Ixdy dz
les intégrales s'étendant au volume entier. Intégrant par rapport à x, et désignant par Tj, r^ les distances du point attiré aux points extrêmes du filet de rellipsoïde dans lequel on a fait l'intégration, on trouvera
=-/p//.^..(i-iJ
Concevons maintenant un ellipsoïde homofocal avec le premier, passant par le point donné, et cherchons son attraction sur le point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous prendrons le rectangle dy' dz\ dont les points seront les correspondants de ceux de dydz^ et nous intégrerons dans l'étendue du filet du second ellipsoïde, qui se projette suivant //j'J>z' sur le plan YZ. Nous trouverons , pour la composante de l'attraction de ce dernier corps sur le point correspondant au point donné ,
Les rayons t\ et r^ sont les mêmes que pour le premier ellip-
PREHIÉBE AîfIfÉE. STATIQUE. 20 f
solde, puisque leurs extrémités sont respectivement correspondantes de celles des autres.
Or, dj'dz' : dydz :: WQJ \ BC ^ et cette proportion ayant lieu pour les portions des intégrales relatives à deux filets correspondants quelconques, aura lieu pour les intégrales elles-mêmes ; d'où résulte
