IAÔ, ^'+|A^', è"-4-|Ar, et par

cH-|Af, c'+jAc', c''4--iAc'^

On pourra ainsi remplacer les équations (3) par les suivantes :

/(aAft+fl'A^'+a'A^>''-h|A«A6-|-|Aû'AÔ'H-|Aa"AÔ")

H-«'(«Ac4-«'Ac'4-a"Ac"4-^AtfAc4-jAfl'Ac'-h|Afl"Ac^)=o,

.g. , z'(^Ac-f-^>'A<r'-f- ^>"Ac"+|A^Ac-f-|A^»'Ac'+|A^"Ac")

^ ^ ^-f.x'(6Aa-+-6'Afl'+Z»"Art"H-|AAA«-+-iAÔ'Aa'+|AÔ"Afl")=o,

a:'(cAa-hc'Afl'+c"Art"4-7AcAfl4-|Ac'Aû'-f-|Ac"Afl")

-h/(cA^»-f-c'A^'-hc"A^"-|-lAcA^4'}Ac'A^>'-|-iAc"Aft")=o.

Nous poserons , pour abréger,

d'où résultera , d'après les équations ( 5 ) ,

Cela posé, les équations (6) qui sont équivalentes aux équations (3) , s'écriront ainsi :

qz' — ry = o, (9) ^rx' — pz'—o,

p/— qx' = G.

PREMliaE ANNÉE. — STATIQUE. 245

Or il est facile de reconnaître que ces équations se réduisent à deux *, car, si l'on multiplie la première par p^ la seconde par (f^ la troisième par r, et qu'on les ajoute, on aura une équation qui pourra être substituée à l'une des trois; et comme elle est identique, les trois équations se réduisent à deux. Le nombre des solutions est donc infini , et le lieu des points qu'elles représentent est une droite passant par le point de rencontre des axes X', Y', Z'.

Les équations (9) sont donc les équations, par rapport aux axes X', Y', Z', de l'axe autour duquel il faudrait faire tourner le système pour Tamener dans la position où il arrive quand le point O restant fixe, les cosinus a, i, c, a', etc., prennent les accroissements Aa, A6, etc.

Il est donc démontré que :

Tout déplacement d'un système rigide peut être produit par un moui^ement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position quil doit ai^oir, suii^i d'un mous^ement de rotation autour d^un axe passant par ce dernier point y et indépendant du point choisi.

Les cosinus des angles de l'axe de rotation avec les axes X', Y^, Z', sont proportionnels à /?, q^ /', et ont par conséquent pour valeurs

slp-'-^q'-^r^ s/p^-hq^-i- r^ slp'*'^q'+ r

Le même axe fait avec les axes des x ^ y^ z des angles dont les cosinus seront, par suite,

ap -h bg -h cr a'p -{- b' q -^ c' r a" p '\- b" q -^ c' r

216. Valeur de la rotation, — Il suffit de connaître Fangle dont tourne la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque sur Vaxe de rotation. Nous prendrons à cgt effet uu

point situé sur Fuu des trois axes , à la distance i de Torigine O : considérons-le par exemple sur Taxe des z» La distance de ce point à Taxe est le sinus de l'angle de cet axe

avec OZ , ou - — -, la droite qui joint la première

et la seconde position du même point est \/A jr*-f- Aj^*-f- A2', les quantités Aj?, Aj^, Az étant données par les équations (2) dans lesquelles AÇ, Ayj, A^, x\ y* sont supposés nuls , et z'= I ", ce qui donne , pour la longueur de cette droite ,

Mais cette même longueur divisée par la distance du point à Taxe de rotation donne le double du sinus du demi-angle de rotation , que je désignerai par o) ; on aura donc

2 Sm — « :=: ' ^

mais on aurait de même trouvé , en choisissant le point sur les axes des x* ou y'^

-4-Aè'^

s/p'-hr"

^Aa'

H-Aâf'^

" H- Afl"'

^sjp-

d'où résulte

A«'-f-Aû'^-+-Aa"' A^*4-A^'='4-Aè"» Ac'-h Ac'»-hAc

Afl'^-I- Aa'»-|- A«"'H- AZ»'4- A^'='+ A*"'H- Ac' + Ac"-f- Ar"»

L'angle co sera donc exprimé par ]a formule suivante, au

PAEHIERE «WICEE. STATIQUE.

moyen de» données immédiates :

f — —p Vil à'-l-i "'Va fl"'-(-ûi'-t"4 *"-t- a l''"-t- A f'i- ic"-(- 4t"*

217. Les déplacements de tous les points ont des projections égales sur l'axe de rotation. — En effet, concevons un plan iïxe perpendiculaire à cet axe; tous les points du système s'en éloignent ou s'en rapprochent également par la Iranslation commune. Or la rotation qui suit ne cliauge pas leur distance à ce plan qui est perpendiculaire à l'axe. Donc les déplacements de tous les points donnent une même projection sur l'axe, lien résulte que si, par un même point de l'espace, on menait des droites parallèles et égales aux déplacements de tous les points du système, les extrémités de toutes ces lignes seraient dans un même plan perpendiculaire à l'axe-, et, par conséquent, il suffirait, pour avoir la direction de cet axe, de mener par un même point des droites égales et parallèles à trois déplacements , non parallèles à un même plan ; de faire passer un plan par leurs extrémités qui ne seront pas en ligne droite, et d'élever une perpendiculaire à ce plan.

Si l'on commence par donner au système un mouvement de translation parallèle à l'axe et égal à la projection des déplacements réels sur l'axe, le système ne devra plus se mouvoir que parallèlement à un plan perpendiculaire à cet axe; d'où résulte cette proposition :

Tout mouvement d'un corps solide peut être produit par deux mouvements successifs; le premier perpendiculaire à un plan, et le second parallèle à ce même plan.

218. Mouvement d'un système parallèlement à un plai — Nous avons démontré , par une construction très-simpl que quand ce mouvement ue consiste pas en une simp

34tJ COUaS DE MKCjltlIQUE.

Iranslation , il peut se réduire à une rotation. C'est aussi ce que le calcul démontre facilement.

En effet, en prenant les axes des x, y^ x', y' dans le plan donné, les équations générales (i) peuvent être mises sous la forme connue

a désignant l'angle de l'axe des x' avec l'ase des x. Or il est facile de voir qu'il existe un point qui a la même position avant et après le déplacement; car il suffit de déterminer x' , y' par les conditions Aj:;=^o, Ajj'^o, qui donnent

Ces équations déterminent un seul système de valeurs de x'^ y', et, par conséquent, un seul point du système ayant la même position après et avant le déplacement. Les coordonnées de ce point ne peuvent jamais être infinies, parce que leur dénominateur commun est

(Acos«)'+(isina)',

et ne peut jamais être nul, à moins toutefois que l'on n'ait

ce qui supposerait que l'angle a est resté le même, et que, par conséquent, le mouvement consiste dans une simple translation. D'où se conclut cette proposition;

Tout déplacement d'un corps, dans lequel ses points restent dans des plans parallèles à un plan fixe, et <jui ne consiste pas dans une simple translation, peut eut produit par une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce plan.

PREMIÈRE AlfNÉE. — STATIQUE. 249

219. Tout déplacement peut être produit par un moui^ement hélicoïdal. — En effet, tout déplacement d'un corps peut être produit par une translation suivie d'une rotation autour d'un axe de direction fixe. Or cette translation peut être remplacée par deux autres successives: Tune parallèle à l'axe et de grandeur invariable; l'autre perpendiculaire à Taxe et dépendant, ainsi que la position absolue de Faxe^ du point choisi pour déterminer la translation. Cette dernière translation et la rotation déterminant un mouvement parallèle à un plan perpendiculaire à Taxe, peuvent être remplacées par une simple rotation autour d'une parallèle à cet axe. Donc :

Tout déplacement d'un corps peut être effectué en le liant à une droite fixe et le faisant glisser le long de cette ligne f puis tourner autour d'elle ^ et ces deux mou^ s^ements successifs peuvent être remplacés év^idemment par un moui^ement hélicoïdal.

Cette proposition est démontrée ici pour un déplacement fini quelconque. Elle n'avait été considérée précédemment que dans le cas , le plus généralement utile , d'un déplacement infiniment petit.

220. Les quantités p^g^r ont entre elles des relations qui peuvent servir quelquefois à la simplification des formules, et que nous allons faire connaître. Soit O (fig- 5i) le point de rencontre des axes mobiles X'Y'Z'; supposons-le fixe, et menons trois axes OX, OY, OZ parallèles aux axes fixes. Soit OI Taxe autour duquel s'opérerait la rotation qui amènerait le système dans la position déterminée par les accroissements A a, Ai, etc.*, les cosinus des angles de OI avec les axes X', Y', Z' sont proportîoanels à p^ q^ r. Concevons que trois axes, coïncidant d'abord avec X, Y, Z, soient liés à X', Y', Z' et entraînés avec eux. Soient Xi YiZi les positions de ces nouveaux axes après le déplacement effectué. Prenons sur OXj OXj les longueurs OA,OAi égales à 1 5

25o COURS DE MÉCANIQUE.

le point qui était en A avant la rotation, sera arrivé en Ai, et par conséquent AAi fera un angle droit avec Taxe 01. Or les axes X'Ï'Z' dans leur nouvelle position font avec OXi les mêmes angles qu'ils faisaient primitivement avec OX, puisque OXi qui leur est lié coïncidait d'abord avec OX j les cosinus de ces angles sont donc a , 6 , c. Ces mêmes axes font avec OX des angles dont les cosinus sont a-f-Aa, i-hAi, c-hAc. Ces derniers sont les projections de OA sur les axes X' Y'Z', et les premiers les projections de OA' sur les mêmes axes; de sorte que Aa, Ai, Ac ne sont autre chose que les projections de la droite A'A sur les axes X' Y' Z', et, par conséquent, les cosinus des angles que la direction A''A fait avec les axes X', Y', Tl sont proportionnels à Aa, A 2», A c, et respectivement de mêmes signes. Donc, puisque les directions 01 et A' A sont perpendiculaires entre elles, on. aura

p£ia -i- qàb -\- ràc= o.

En considérant les axes des Y et Z au lieu de Taxe des X, on aura deux équations analogues *, ce qui donne les trois équations suivantes :

[ pàa -\- q àb -f-rAc =0, (il) J /?Aa'-|-yA6'-f- rAc' = o,

( pàa''-hq^b"-h ràc''=o.

Si maintenant on fait pour les axes des x\ j' ^ z' ce qu'on vient de faire sur ceux des x^ y^ z, c'est-à-dire si l'on prend sur chacun de ces axes un point à la distance I de l'origine, et que l'on exprime que la droite qui joint la première et la seconde position de chacun d'eux est perpendiculaire à 01, on aura trois équations nouvelles.

En prenant, par exemple, le point sur OX', les projections de son déplacement sur les axes X, Y, Z seront Afl, A«', Art", et seront proportionnelles aux cosinus des angles

que fait avec X, Y, Z, la direction suivant laquelle le point s'est déplacé. Si on les multiplie respectivement par les cosinus des angles que fait 01 avec ces mêmes axes, la somme de ces produits sera nulle, puisque l'angle des deux directions est droit. On obtient, de cette manière, les trois équations suivantes :

(ap •+■ ô^ -h cr) Aa -h («'/? -f- 6' 7 -f- c' r) Aa' -f- {a'p H- b''q H- c'V) àa" = o,

{ap -h bq-^- cr) ^b -h [a' p H- b' q -h c'r) Ai' -»-(û> -h b"q-\-c"r) A^' = o,

{ap -^bq -h cr) ^c -{- {a' p -h b* q 4-c'r)Ac' [a"p -hb"q-h c" r) Le" = o.

221 . Directions sur lesquelles les projections de tous les déplacements sont égales. — Nous avons déjà reconnu que les projections de tous les déplacements sur l'axe sont égales; il n'est pas inutile de montrer comment cette question pourrait être traitée directement.

Soient X, (Ut, V les angles que forme avec les axes x\ y\ z' une direction jouissant de cette propriété. Les composantes du déplacement d'un point quelconque , parallèlement aux mêmes axes, étant

[ ûAo: -f- û'A/ -h fl"Az, (i3) < ^Ajr-4-^'Ajr-h^"A«,

( cLx 4- c'Aj H- <?''Az,

la projection de ce déplacement sur la direction dont il s* agit, sera

(ûAar + fl'A/ H- fl" Az) cosX -h (^Aa? + ô'Aj+ Z>"Az)cosfA 4- (cAx -h <î'A7 -h c" Az) ces V,

et il faut déterminer cos X , cos j/ , cos v de telle sorte, que cette quantité soit constante, quelles que soient les valeurs données aux quantités x', j', z' . Or il est nécessaire et suf~

252 GOUKS DE MECANIQUE.

fisant pour cela que les coefficients de ces trois variables indépendantes, dans Texpression ci -dessus, soient nuls quand on y remplacera Ax, Ay, ^z par leurs valeurs données par les équations (2). On trouve ainsi les trois équations

{aàa'ha'^a'-{-a''Aa'')cos'k^i-{b^a-hb'^a'-^b"^a")cos^li -h (cAtf H- c' A«' -I- c"^a") ces v = o ,

{a^b-^a'^b''\'a''àb'')cos'k-h{bAb'hyàb'-hb"^b'')cos^^ -|-(cA^ + c'A6'-t-c"Aô")cosv = o,

{a^c -h a'^c-^- a"Lc")co%\ + (^ Ac + ^'Ac'-h 6"A4-")cospt + (cAc-H c'Ac' 4-c"Ac'')cos V = 0.

Ces équations déterminent les rapports des trois quantités cos X, cos |ùi, cos V. Or il est facile de voir que ces rapports sont précisément ceux des quantités p^ q^ r\ car, si l'on remplace les premières par les secondes dans les dernières équations , elles deviennent des identités en vertu des équations { r 2) . Donc la direction unique déterminée par les équations ( i4) coïncide avec celle de Taxe de rotation; ce qu'il s'agissait de vérifier.

Tous les déplacements ayant des projections égales sur l'axe , il s'ensuit que des déplacements faisant avec Taxe des angles égaux différents d'un angle droit sont égaux, et réciproquement. Cette condition renferme le cas de déplacements parallèles.

222. Équations de Vaxe de rotation et de glissement, — Les points de cet axe se distinguent de tous les autres par cette propriété, que leurs déplacements sont parallèles à la direction de cette même ligue. Or les cosinus des angles que fait avec les axes XYZ la direction du déplacement d'un point quelconque, sont proportionnels à Aj:, Ay, Az-, et ceux des angles que fait Taxe de rotation avec ces mêmes axes sont proportionnels à

ap -\- bq -\- cr, a' p ^ b' q -\- c r^ a"p -^ b" q '\- c" r.

PREMIKRE ANNÉE. — STATIQUE. a53

Les points de l'axe cherché sont donc déterminés par les

équations

(.3) Ax Ar Az

ap-i- bq -^ cr a' p -^ b' q -\- c' r a" p -f- ^" y -f- c" r

et si Ton y remplace Aj:, Aj^, Az par leurs valeurs données par les équations (2), on aura deux équations du premier degré entre x\y'^ z' ^ et les données, qui représenteront la droite cherchée rapportée aux axes X' Y'Z'. Nous allons réduire ces équations à Fexpression la plus simple; pour cela , nous commencerons par mettre les précédentes sous cette forme,

(a + 1 Au) {ap -^bq-^ cr) [a' -f- \ Aa') {a' p -J^ b' q -{- c' r) ^ [a" + \ An") («'> -h b"q H- c" r)

En ajoutant les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs , on aura encore une fraction égale. La somme des dénominateurs, en vertu des équations (12) se réduira à /?. La somme des numérateurs sera , d'après les équations (2), h-\- qz' — ry\ en posant

(/i -h -i- A^) A? -h («' + 7 Aa') Atî -h {a" -h \ Aa") AÇ = h.

Les fractions (i3) sont donc égales à •

En faisant relativement aux lettres è et c des calculs analogues à ceux que nous venons de faire relativement à a, on trouvera que les fractions (i3) sont égales aux nouvelles expressions

/ -h rx' — pz' k -^ px' — q^

les quantités A, i\ h étant déterminées par les équations

2l54 COURS DB MlécANIQUB.

suivantes :

A =r (a -h I A«) AH 4- (û' -H I Aa') A« -^ («" + I Afl'') AÇ,

A = (c-i-{àc) A|-t-(c'-l-iAc')A>,4-(c" 4-|Ac") AÇ. Les équations de l'axe seront donc

h^ qz' — r/ i -h rx' — pz! k -+- py* H- qx^

Ces fractions sont égales à celle que Ton obtiendrait en multipliant les deux termes de la première par p, de la seconde par q^ de la troisième par r, et ajoutant termes à termes ces nouvelles fractions 5 ce qui donne

ph -H qi -4- rk p^-hq'-+- r" '

Or, d'après les valeurs de A, «', A, on trouve, en tenant compte des équations (ii),

ph -i- qi 4- rk = [ap -+- bq -^ cr) AÇ -H (^V ~+" ^'^ -+" ^'O ^'ï

Mais le second membre de cette équation, divisé par

\/p^ -h q^ -h r^ •) serait la projection du déplacement de l'origine sur la direction de l'axe de rotation. Si donc on désigne cette projection constante par y, on aura

ph H- qi + r/- = i» ^p* -h y' H- r^»

Les équations des projections de l'axe sur les trois plans coordonnés X' Y' Z' seront donc

h -hqz'—ry __ i-^-rx'—pz' ^ k-^py—qx' __

P q r ^p^^çi^/

OU enfin

223. Si, dans tous les calculs précédents on suppose les déplacements infiniment petits et exécutés dans un temps ù^t tendant vers zéro, tous les accroissements tendront aussi vers zéro , et les équations que nous avons obtenues donneront des relations entre les limites des rapports des accroissements des variables ou entre leurs difTérentieiles. On les déduira des premières en négligeant les infiniment petits du second ordre, et changeant la caractéristique A end. Mais pour que Thomogénéité soit en évidence ^ p^ q^ r devenant des quantités infiniment petites, nous les remplacerons, dans les formules précédentes, par pdt^ qdt^ rdt. Au reste, les équations que nous allons obtenir pourraient être déduites directement des équations (i) par des diflérentiations et des calculs analogues à ceux que nous avons faits dans le cas des déplacements finis. Les déplacements et leurs composantes Ax, A^, A2, étant divisés par A^, donneront à la limite les vitesses et les composantes des vitesses — » -T-9 -rî et, comme les vitesses et les déplace-

ments se composent et se décomposent suivant les mêmes règles, on voit sans peine que toutes les propositions trouvées sur les déplacements, étant considérées à la limite, fourniront des propositions analogues sur les vitesses des points du système. Nous allons examiner rapidement ces diverses propositions^ mais, auparavant, nous croyons devoir rappeler quelques formules élémentaires que nous

25b COURS DE MÉGANIQUE.

pourrions regarder comme connues , mais dont il importe de fixer le sens avec précision.

Révision de quelques formules élémentaires de géométrie

analjiique.

^SA. Angles formés auec les axes par une droite perpendiculaire sur deux autres. — Soient (aSy) , (a' 6' y') les angles formés par les directions des droites données avec les axes positifs des or, j)^, z^ et X, fx, v les angles que forme avec ces mêmes axes la direction de la perpendiculaire; on aura les deux conditions

cos a cos X + cos 6 cos pt -f- cos 7 cos v = o , cos a' cos "k -h cos 6' cos fA -4- cos 7' cos v = o.

Ces deux équations déterminent les rapports des trois cosinus inconnus , et donnent

cos > : cos p : cos V : : cos ê' cos 7 — cos 7' cos 6

: cos 7' cos a — cos a! cos 7 : cos a' cos 6 — cos 6' cos a;

et comme la somme des carrés des trois cosinus est égale à l'unité, on aura, en posant d'abord

(cos é' cos 7 — cos 7' cos 6 )' 4" (cos 7' cos a — cos ot! cos 7 )' -f- (cos otf cos 6 — cos 6' cos a )^ = D%

cos 6' cos 7 — cos 7' cos 6

cos> =

cos 7' cos a — cos a! cos 7 cos(.= —L ^^ ?,

cos a' cos 6 — cos 6' cos a cos«= ^^ ,

le dénominateur devant être pris avec le même signe pour les trois cosinus , qui doivent être dans le même rapport que leurs numérateurs. Quant à la valeur de D', elle peut

PREMIÈRE AlfNÉE. STATIQUE. '25']

se mettre sou5 la forme

(cos' a -H cos' 6 ■+• cos' 7 ) { cos' a' -h cos' 6' -f- cos' 7') — (cos a cos a' 4- cos 6 cos 6' + COS7 cos 7')' ;

elle est donc égaie à

ï — ces' V ou sin' V,

V étant l'angle des deux droites-, on a donc

cos "k =dz -. — — ( cos 6' cos^ — cos 7' cos 6 ), sm V ^ '

cos e* = dz -: — 7: (cos 7' cos a — cos a' cos 7 ) , sin V ^ ^

cos V = ± -: — — { cos a' cos 6 — COS 6' cos a) . sin V '

On trouve ainsi deux directions opposées; et, en effet, rien jusqu'ici n'a déterminé lequel des deux sens on voulait considérer sur la perpendiculaire.

225. Distinction du sens de la perpendiculaire à deux directions, — Concevons par l'origine deux droites parallèles aux directions déterminées par les angles (aSy), (a'6'7'); prenons sur la première un point quelconque : ses cooitlonnées x^y^ z seront proportionnelles aux cosinus des angles a, 6, y, et , respectivement , de mêmes signes : par ce point, menons une parallèle à la direction déterminée par les angles a', 6', y', et concevons un point en mouvement sur cette dernière direction. Le rayon vecteur mené de l'origine à ce point partira de la direction (aêy) et ira en se rapprochant de la direction \a! S'y') qui passe aussi par Torigine.

Supposons maintenant un observateur placé dans la perpendiculaire au plan des deux droites, les pieds appuyés sur ce plan; le mouvement du rayon vecteur lui paraîtra s'exécuter de gauche à droite ou de droite à gauche, suivant qu'il sera placé d'un côté ou de l'autre du plan. Nous I. 17

avons distingué ces deux sens en appelant direct celui où le mouvement s'effectue de gauche à droite , et rétrograde celui où il s'effectue de droite à gauche; et nous nommons direction de Vare du plan des deux droites dans lequel s'effectue le mouvement, celle de la perpendiculaire dans le sens pour lequel ce mouvement est direct.

Les valeurs des cosinus des angles X, j;., v que fait la perpendiculaire avec les axes de coordonnées sont , d'après la formule précédente, dans laquelle on remplacera cosa, cos 6 5 cos y , par x ^ J^ ^ •>

Y cos 7' — Z COS G' cos A = —, 9

z cos a' — X cos 7'

COS IL = r- 5

X cos 6' — Y cos Cf!

cos V = ; 5

la valeur de p étant

si [y cos 7' — zcos6')^-l- (2 cos a' — a?cos7')'H« (xcosê' — yco%a'Y)

de sorte que p n'est autre chose que la perpendiculaire abaissée de T origine sur la droite menée par le point x, /, z^ dans la direction («'S'y'). Il ne s'agit plus que de savoir quel est le signe qu'il faut donner à p pour que les angles X, /Jt, V se rapportent à la direction de l'axe du plan, telle que nous l'avons définie. Remarquons d'abord que si dans un plan de direction quelconque, que nous ferons passer, pour plus de simplicité, par l'origine, un rayon vecteur se meut autour de ce dernier point dans un certain sens, et que l'on considère la projection mobile de ce rayon vecteur sur un autre plan: Taxe de ce dernier mouvement sera celui des deux directions de la perpendiculaire à ce nouveau plan qui fera un angle aigu avec la direction de Taxe du premier mouvement.

PREMIÈRE AZfIfÉE. STATIQUE. nSc)

Cela posé, considérons d'abord la projection du rayon vecteur sur le plan XY, et désignons par 6 l'angle que sa direction forme avec celle des x positifs, de telle sorte que

l'axe positif des y corresponde à 9 = -• Le mouvement sera

direct relativement à l'axe des z positifs , si va en croissant ^ et, dans le cas contraire, il sera direct par rapport à Taxe des z négatifs. Et Ton sait d'ailleurs qu'un angle croît ou décroit toujours en même temps que la valeur algébrique de sa tangente.

Or la projection sur XY du rayon vecteur mené au point (a:, j^, z) fait avec Taxe des x un angle dont la tangente a

pour expression générale -• Si le point x, y^ z s'avance

dans la direction (a' 6' y') d'une quantité quelconque m, cette tangente devient

f -{' m CCS 6' jr 4- w ces af '

son accroissement est donc

m [x ces ê' — y ces a.' ) x^ -f- inx ces a'

et, comme on peut supposer m assez petit pour que le dénominateur soit positif , le signe de cet accroissement sera le même que celui du numérateur, ou de x cos S' — j^cos a'. Ainsi , la projection du rayon vecteur sur XY aura un mouvement dont l'axe sera l'axe des z positifs, si l'on a

X cos 6' — y cos a' ^ o ;

et, par suite, l'axe du mouvement dans l'espace et l'axe des z positifs feront un angle aigu. De même, les projections sur YZ auront un mouvement direct par rapport aux

d6o COURS DE MiCÀiriQUE.

axes des x et des y positifs , si Ton a

y cos 7' — 3 cos 6' ^ o , z cos a' — j: cos 7' > o .

Dans le cas où une de ces inégalités serait de sens contraire 5 il serait direct par rapport à l'axe négatif^ et Taxe du mouvement ferait un angle obtus avec Taxe positif correspondant.

On voit donc que les cosinus des angles que fait Taxé du mouvement que nous considérons , avec les axes positifs or, y^ z , sont de mêmes signes respectivement que les numérateurs des valeurs trouvées précédemment 5 que , par conséquent, on doit prendre p positivement 5 ce qui donne les formules suivantes :

/ , r <îos 7' — z cos 6' cos >. = 9

, . j z cos a' — X cos 7' (i) <cosa= —^

X cos 6' — X cos a'

cos V

Si maintenant on remplace x^y^ z par les quantités proportionnelles , et respectivement de mêmes signes , cos 0?, cos ê , cos y, on aura

cos \ = -r— rr (cos 6 COS 7' — COS 7 COS €') ,

smV ' ' "

( 2 ) { cos u. =r -r-^-i (cos 7 COS a! — COS a COS 7' ) ,

\ / » • smV ^ ' ''

cos V = -r-zr. (cOS a COS 6' — COS 6 COS a' ) ,

smV " •

V désignant encore l'angle des deux directions.

Ces formules se rapportent à l'axe du mouvement exécuté dans le plan des deux directions («,6,7), (a^, 6', /)

PREMIÈRE ANHÉE. — STATIQUE. 26 1

par un rayon vecteur tournant autour de leur point de rencontre, en partant de la première et se rapprochant de la seconde. Si Ton faisait une construction analogue , en substituant chacune des deux directions à Tautre, on aurait un mouvement en sens inverse^ et, en effet, les formules précédentes des cosinus changeraient évidemment de signe sans changer de valeur absolue.

Si les deux directions données étaient rectangulaires, on aurait

ces X = cos 6 ces 7' — cos 7 cos 6',

(3) ^ cos /Jt = cos 7 cos a' — cos a cos 7',

cos V =r cos a cos ê' — cos 6 cos a'.

226. Si l'on prend , à partir de Torigine , une longueur q sur la direction a', 6', y', on aura, en désignant par jc', y', z' les coordonnées de son extrémité ,

x'= q cos a', /' = ^ cos 6', z' = q cos 7' ;

el les formules (1) deviennent

yi' — zy = pq cos \ y zaf — xz' = pq cos ft, xf — yaf = pq cos v .

Or, d'après ce que représente p, pq est Taire du parallélogramme construit sur les deux droites menées de Forigine aux points xyz^ x'y z'. Désignant cette aire par P, on donc aura les trois équations suivantes :

(4) P cos \ = /z' — zj% P cos fA = zx' — xzfy P cos V = xy — x^\

X, |ut, V se rapportant à l'axe de l'aire décrite par un rayon vecteur passant par l'origine et marchant de xjz vers x^y z' par le plus court chemin. Et, si sur la direction de cet axe on prend une longueur qui représente l'aire P, ces dernières expressions représentent en grandeur et en signe les projections de celte longueur sur les axes des coordonnées.

203 COURS DE MléCANIQUE.

227. Formules pour la transformation des coordonnées, — Proposons -nous de passer d*un système de coordonnées rectangulaires x ,^ j^ z h un système quelconque de coordonnées obliques x\y\ z' ayant même origine; et supposons, comme nous le ferons toujours, que la disposition des axes soit telle que, si un rayon vecteur se meut autour de l'origine dans les trois angles des axes positifs , en partant de l'axe des x, et marctant vers l'axe des j^, puis vers celui des z pour revenir à l'axe des a:, les directions des axes positifs soient respectivement les axes de ces trois mouvements. Soient a , a', a" les cosinus des angles que la direction des x* positifs fait avec les directions respectives des x^ j^ z positifs 5 6, &', b" les cosinus relatifs à la direction des j^' positifs 5 et c, c', c" ceux qui se rapportent à la direction des z' positifs.

Considérons un point quelconque M {fig* Sa) , dont les trois coordonnées x\ y\ z' soient représentées par AP, PQ , QM 5 abaissons MR = x , perpendiculaire sur YZ , et joignons RA. Ce polygone fermé étant supposé projeté sur AX , donnera

aa/ -4- by^ -\- cz' — :c == o ,

pourvu que les quatre coordonnées x', /', ^', x soient positives. Si l'une quelconque d'entre elles, par exemple j', était négative, le côté du polygone qui doit être pris en valeur absolue serait — y' \ mais, comme il serait alors parcouru dans le sens des j^' négatifs, le cosinus qui le multiplie changerait de signe et serait — J ; le terme que l'on doit écrire est donc toujours by'^ et l'équation est générale, en regardant comme négatives les coordonnées dirigées en sens contraires des axes déterminés par les cosinus donnés.

On trouverait deux autres équations analogues , en considérant les coordonnées j* et z. Les équations générales de

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. sGS

transformation seront donc

ix r= aa/ + bjr' -+■ cz\

et Ton aura les conditions nécessaires

si les nouveaux axes étaient rectangulaires, on aurait de plus

(3) ) ac H-flVH-/i"c" = o,

( bc-hb'c'-hb"c''z=o,

de sorte qu'on ne pourrait prendre arbitrairement que trois des neuf quantités a, è, c^ a', i', c'; a'', i", c".

Les deux systèmes étant rectangulaires, on peut passer du second au premier par des formules semblables 5 de sorte que les équations (i) , (2) , (3) entraînent les suivantes :

ia/ =zax'^ a' y -^ a'^Zy / z=zbx-^b\r^b''z, z' z= ex -\- €^ y -\-^c" z ;

/ rt' + ^2 -t- c^ = I ,

iaa' -h ^^' 4- fc' := o, ««'' ^ bb" -f. ce" =r G,

Heciproquement , ces équations entraîneraient les prc-

264 COUBS DE MIÉCÂNIQUE.

mières^ et lesdeux systèmes (1) 5 (a), (3)> et (4) 5 (5), (6) sont, par conséquent, identiques.

Les quantités abc^ a'V c\ a"h"c^^ satisfont à d'autres relations importantes , qui pourraient se déduire des précédentes , en laissant d'abord une ambiguïté qu'on ne fait disparaître qu'avec un peu de peine. Nous allons montrep comment on peut les obtenir d'une manière beaucoup plus simple, et sans aucune incertitude sur les signes.

Nous remarquerons d'abord qu'il y a deux suppositions à faire sur F ordre des axes positifs des deux systèmes de coordonnées, qui sont désignés par les mêmes lettres. S'ils sont dans le même ordre, on pourra faire coïncider les directions des x\ y' ^ z' respectivement avec celles des jc, y^ z positifs. S'ils sont en ordre inverse, lorsque les directions des x^ et des^^ seront amenées à coïncider avec celles des x et des y positifs, les directions des z^ et des z positifs seront directement opposées.

L'axe des x^ étant perpendiculaii'e au plan des axes des r' et des z' ^ les angles qu'il fait avec les trois axes des a:, y, z se détermineront d'après, les formules (3) du n° 225; il faudra d'ailleurs s'assurer si les axes des .r', y\ z' sont dans le même ordre que les premiers. Dans cette hypothèse, Taxe des x' positifs est l'axe relatif au mouvement d'un rayon vecteur partant de AY^ et se rapprochant de hU \ les angles a, ê, y*des formules (3 ) se rapportent donc a AY', et ont pour cosinus h^ h\ V \ a', 6', y' se rapportent à AZ', et leurs cosinus sont c, c', c"\ ce serait l'inverse si l'ordre des trois axes était inverse.

Si donc on remplace, dans les formules (3), cos X, cos/x, cosv, para, a', a"^ on aura, dans l'hypothèse d'une disposition semblable dans les deux systèmes d'axes,

a = b'c" - (/ h\ a' = cb" — bc\ a'' = bc' — cb'y

et, dans le cas d'une disposition inverse,

a = </b''-'b' c\ à' = hc" — ch\ a" = cW — hd,

équations qui ne diffèrent des premières que par le change ment de signe des seconds membres.

En agissant de la même manière pour les axes des y^ et des z\ on aura des équations semblables^ de sorte que les neuf quantités ahc^ a* h' c\ a"b^' c" sont liées par les relations suivantes, dans le cas où la disposition des deux systèmes d'axes est la même :

ia=b' c" — c' h\ a! = cW' — hc% a" z=i bc' -^ cb\ b = (/a'-- a!c\ b' = ac" — ca\ b" = ca' ^ ûc', c = a'b" — b'a\ c' z=z ba" — ab\ c" = ab' — ba'.

Dans le cas où la disposition des axes serait inverse, il faudrait changer les signes des seconds membres de ces neuf équations.

228. Les nouveaux axes x', /', z'^ au lieu d'être déterminés par neuf quantités entre lesquelles il existe §Jx relations, pourraient l'être par trois seulement, et nous allons faire connaître les formules données à cet effet par Euler.

Nous supposerons que les nouveaux axes aient la même disposition que les premiers , et nous les déterminerons en donnant l'angle ^ [fig» 53) que forme avec Taxe des x positifs la trace AR du plan Y' X' sur XY -, Tangle 6 que forme le plan X' Y' avec XY, qui est aussi celui des axes AZ, AZ'^ et enfin l'angle (p que forme AX' avec ARj mais il est essentiel d'indiquer avec précision le sens dans lequel chacun de ces angles est estimé.

Nous compterons l'angle ^ dans le sens du mouvement direct de AX vers AY, et il pourra varier de o à 2 tt -, mais à laquelle des deux directions opposées x\R, AR' se rapportera-t-il.^ Pour la déterminer, concevons un mouvement

a66 COUBS DE MÉCANIQUE.

direct autour de AZ qui amène AX en AR et A Y en A Y,; puis un mouvement direct autour de AR qui amène AZ à coïncider arec AZ', ce qui aura lieu, ou lorsque le système aura tourné de llangle 0, qu'on supposera toujours moindre que ;r, ou lorsqu'il aura tourné de 2 7i — 0-, or il n'y a qu'une des deux directions AR, AR' pour laquelle Tangle de rotation soit 6, et c'est celle-là que nous choisissons pour la détermination de l'angle (p.

On voit, d'après cela, qu'on passerait des premiers axes aux nouveaux, en faisant tourner, dans le sens direct, le système des premiers d'un angle ^ autour de AZ 5 les faisant tourner ensuite d'un angle 6 autour de AR , et enfin d'un angle ç autour de AZ'. Après le premier mouvement, les axes seront dans la position AR, AYj, AZ, et nous désignerons par .^1,^1, z les coordonnées comptées sur leurs directions. Après ce second mouvement, ils ont la position AR, AYj, AZ', et nous désignerons par Xi, j^j, 5' les coordonnées correspondantes. Enfin, après le troisième mouvement, ils coïncideront avec les axes AX', AY', AZ', pour lesquels les coordonnées sont x\y\ -s'.

Nous pourrons ainsi passer des premiers axes aux nouveaux au moyen de trois transformations dans lesquelles un axe étant immobile, on n'a besoin de faire usage que de la transformation des coordonnées dans un plan.

Or on sait que, pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires u, ^ à un système rectangulaire u', y>* semblablement disposé, c'est-à-dire tel , que quand la direction des u' positifs coïncide avec celle des u positifs, il en soit de même des directions des s^ et v' positifs , on a les deux formules

uzzzu' ces a — v' sin a

p = m' sin a -f- v* ces a , a désignant l'angle dont il faut faire tourner l'axe des u

dans le sens de u vers p' pour qu'il coïncide avec l'axe des m' positifs. Ces formules varieraient dans les signes si la disposition des axes ëiait inverse. D'après cela, on aura les équations suivantes :

x=a:^coS'^ — JrlSin^|;, j,=^2COsQ — z'sinO, ar,z=:x'cos<j) — /'sinep, /=:J;^sin^p^-/,cos^!/, z =jasinG4-s'cos9, jri=a/ sin^-hf' cos<f.

Eliminant les intermédiaires ^i, J^i, y», on obtient les formules cherchées :

X zzzœ! (cos 9 ces ^ — sin y sin ^ cos 0) -h /' (— sin f cos ^ — sin Ap cos «p cos ô) -h z' sin np sin ,

(8) l^ y :==ix* (cos ç sin >(/ + sin y cos ^ cos 0)

+ X* ( — sin (j) sin >p -h cos ^ cos f cos ô) — z' cos i]> sin , z -=. x' sin sin y -h y' cos f sin 4- z' cos ô.

La comparaison d€s formules (i) et (8) conduit aux équations suivantes , qui ont la même généralité que celles d'où on les déduit :

fl = — sin (p sin ^ cos ô -|- cos <p cos \|; , h :=! — cos ç sin ^|; cos — sin y cos ^|/ , c ■=. sin sin >j; ,

a' = sin «p cos ^ cos -i- cos (p sin \p , 6' = cos <p cos ^ cos — sin <p sin \p , c' = — sin cos ^ ;

a'^ = sin sin <p, b" = sin cos y, c" = cos 0.

Ces équations entraînent les suivantes, qu'il est bon de noter :

rang ? = ^ 9 tang ^ =

368 COUBS DI HÉCANIQUE. . .

Du mouvement infiniment petit d'un système rigide.

229. En difierentiaDt les équations (i) du n" 214 par rapport à ï, et supposant x', y', z' constants, on ohlîenl

\dt de dt ■' dt ^ dt

Ce sont les valeurs des composantes parallèles X, Y, Zde la vitesse d'un point quelconque du système ayant pour coordonnées invariables x', y', z' par rapport aux axes X', Y', Z'.

On les obtiendrait en divisant les équations (2) du même numéro par At, et passant à la limite des rapports lorsque Attend vers zéro.

230. Composantes de la vitesse dans le sens des axes mobiles. — En multipliant les seconds membres des équations (i), respectivement par « , a', a", et les ajoutant, on aura la composante de la vitesse dans le sens des x'; ou aura , de même, les composantes dans le sens des y" et des a*. Désignons-les par m, i», iv, et soient h, i, h les composantes de la vitesse de l'origine mobile, suivant ces mêmes directions; c'esl-à-dîre posons

PRKMliRB ANNEE. STATIQOE- 269

nous trouverons

i« = A -h ^z' — ry' y V =^ i -\- rj/ — pz'y w z=:k-\- py -^ qx'y

P) ç^ r étant donnés par les équations

pdt= cdb ^t/db'-h c"db\ qdt=: adc -\- a' de' + a" dc*\ rdt == hda + h'da' + b"da'i.

Les premiers termes h^ i^ k sont les composantes de la vitesse du mouvement commun de translation ^ de sorte que les composantes dues au mouvement de rotation autour de l'origine supposée immobile , sont

qz — O^, ra/ — pz\ pf — qx' .

231 . Axe instantané de rotation. — Les points dont la vitesse est nulle dans le mouvement autour de l'origine supposée fixe , seront donnés par les trois équations suivantes , qui se réduisent à deux :

(4) qz'--rx' =:Oy rx'—pz'^zOy p/ — qx' =z o.

Ils forment une droite qui passe par l'origine, et qui fait avec les axes x\ y\ z* des angles dont les cosinus sont

mp IJiq

y//?' -i- ^' ■+• ''' slp^-h q'^-h r^ ^p^-^q^-h

les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble.

On la nomme axe instantané de rotation y parce qu'on peut supposer que le mouvement s'effectue autour d'elle pendant un temps infiniment petit \ les erreurs qui en résultent n'étant que des infiniment petits du second ordre , pour les points situés à une distance finie de cet axe.

Il résulte de là que tout mous^ement infiniment petit autour d'un point fixe peut être considéré comme ayant lieu autour dun axe passant par ce point.

Et, par conséquent,

Tout mouvem.ent infiniment petit dun corps peut être considéré comme résultant d'un mouy^ement de translation et dun moui^ement de rotation autour dun axe fixe,

232. Expression de la vitesse angulaire. — Dans ce mouvement autour d'un axe fixe, la vitesse angulaire est égale à la vitesse d'un point quelconque, divisé par la distance de ce point à Taxe. Si Ton choisit à cet eflet le point situé sur Taxe z' à la distance i de l'origine, ses coordonnées seront

les composantes de sa vitesse , parallèlement à ces axes, seront, d'après les formules précédentes , ^, — p^ o ^ sa vitesse

sera donc s/p^-^q^* Sa distance à Taxe sera le sinus de

l'angle de cet axe et de l'axe z'^ ou Donc la

vitesse angulaire o) aura pour valeur

(6) û) = V^^yM^~^M^-

233. Sens de la rotation. — Il reste à déterminer le sens de la rotation du système, ou, ce qui est la même chose, le sens de la rotation qui s'effectue dans un plan quelconque perpendiculaire à Taxe. Il suffit, pour cela, de reconnaître si la direction de l'axe de cette rotation correspond aux signes supérieurs ou aux signes inférieurs des expressions (5). Nous considérerons, à cet effet, le plan mené par l'origine perpendiculairement à Taxe, et nous allons chercher la direction de l'axe de la rotation effectuée dans ce plan par la droite menée de l'origine à l'un quel-

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 7.'] l

conque des points de ce plan, ayant pour coordonnées x' y' z' , Ce point, à partir d'une quelconque de ses positions, se meut dans la direction de sa vitesse, qui fait avec les axes X'Y'Z' des angles dont les cosinus sont proportionnels à M , P', tv 5 de sorte que , pour avoir Taxe de la rolîon du rayon mené de l'origine à ce point, il sufSt de recourir aux formules (2) du n^ 225, en remplaçant la direction (aêy) par celle du rayon, et la direction (a'6'y') par celle de la vitesse. D'où il suit que les cosinus des angles que fait la direction de l'axe de la rotation avec celles des x', y\ z' seront de mêmes signes que les expressions

y w — z' p, z' u — X* w, x' V — y uj

et il n'y a plus qu'à reconnaître si les signes de ces expressions sont les mêmes que ceux de /?, ^, r, ou contraires. Nous prendrons, pour plus de simplicité, 2'= o-, d'où

résulte

« = — ry' f V = rx' ;

et la troisième expression devient

Elle est donc de même signe que r; et, par conséquent, ce sont les signes supérieurs qui doivent être pris dans les expressions (5).

Ainsi les cosinus des angles formés avec les axes X'Y'Z', par la direction de Taxe de rotation, sont en grandeur et en signes

il)

\l p' -^ q' -^ r"" \/'p- -h q"" -h r' \Jp^-hq''-h

En multipliant la vitesse angulaire \//?*-h7*H-r* par ces trois cosinus, on aura ses composantes suivant les axes

X', Y', Z. Leurs valeurs en grandeur et en signes seront donc

234. jixe instantané de glissement et de rotation, — La proposition établie dans le n° 219 ayant lieu pour tout mouvement du corps , aura lieu lorsque ce mouvemenl sera infiniment petit-, et l'on retrouve cette proposition, démontrée d'abord géométriquement :

Tout mouv^ement infiniment petit d'un corps peut être produit par un moui^ement de rotation autour €Ïun axe fixe, suiui ou précédé d*un mouv^ement commun de glissement le long du même axe.

Cet axe instantané de glissement et de rotation peut encore être envisagé autrement. En substituant, comme nous l'avons déjà dit, aux espaces infiniment petits parcourus par les points du système dans un même temps, les vi* tesses mêmes de ces points , on a l'énoncé suivant :

Les vitesses de tous les points d'un corps à un instant quelconque pcuv^ent être considérées comme résultant de la composition de vitesses égales et parallèles à une même droite ^ et des vitesses qu^ auraient ces points dans un certain moui^ement de rotation autour d'un axe parallèle à cette même droite.

La composante parallèle à l'axe n'est autre chose que la projection de la vitesse de l'origine mobile sur l'axe; la vitesse angulaire du mouvement de rotation est v/^'-f- 9*+ r^'i et la direction de cet axe est celle qui fait avec les axes des x\y\ z' des angles dont les cosinus sont proportionnels à ^, y, r et de mêmes signes que ces quantités.

235. Équations de Vaxe instantané de glissement et de rotation. — Les équations de Taxe de glissement et de dotation données, dans le n^ 222, pour un mouvement fini quelconque, se changeront dans les équations cher-

PBEMIKRE ANNEE. STATIQUE. 2^3

chées en divisant les deux membres par At et passant aux limites. Les quantités p^ q^ r se changeront en celles que nous désignons actuellement par ces mêmes lettres^ h , i\ k deviendront les composantes de la vitesse de l'orîgîne dans le sens des axes X', Y', Z', que nous représentons encore par ces mêmes lettres; enfin , v, qui représentait le déplacement de l'origine estimé dans le sens de l'axe, devîendrgfla vitesse de cette origine estimée suivant cette même direction ou la vitesse de glissement. Nous la désignerons par la même lettre, et par y', xi"^ -o'" ses composantes suivant les axes X', Y^, Z'. Les équations de Taxe instantané de glissement et de rotation seront donc, par rapport aux axes mobiles ,

iqz' — rjr' z=zyj* —A, rx' — pz' = y — I ,

On aurait les équations de cet axe par rapport aux axes fixes en substituant à .r', y'^ z' leurs valeurs en or, y^ z. L'axe est ainsi déterminé à chaque instant par rapport au corps et à la position absolue , en supposant que les quantités Ç, >?, Ç, a, i, c, a', etc., soient des fonctions données du temps.

L'équation de la surface, lieu de ces axes par rapport au corps, s'obtiendraGt en éliminant le temps entre les trois équations de l'axe en x\ j\ z\ et les équations de la surface, lieu de ces axes dans l'espace, s'obtiendraient en éliminant le temps entre les trois équations de l'axe en x^ y^ z,

236. Déplacement virtuel d'un coi*ps solide. Équations d'équilibre. — Les formules (3) du n*^ 230, qui expriment les composantes de la vitesse. d'un point quelconque d'un corps solide en mouvement, donnent immédiatement les composantes des vitesses virtuelles des divers points de ce corps ^ et l'application du principe général de la statique I. i8

274 COURS DK MÉCANIQUE.

fera connaître les équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre de forces appliquées à un corps solide entièrement libre. En effet , lorsqu'un système rigide passe d'une position donnée à une autre infiniment voisine, tous les points peuvent être considérés comme décrivant des droites infiniment petites d'un mouvement uniforme et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces droites , que Ton a nommées , pour cette raison , vîtes Ms virtuelles. Les composantes de ces vitesses virtuelles , ou de ces déplacements virtuels, sont donc les produits du temps B employé à les parcourir par les composantes de la vitesse données par les formules (3). La somme des moments virtuels des forces ayant pour composantes (X, Y, Z, X', ï', Z', etc.), sera donc

Or, pour qu'il y ait équilibre , il faut , d'après le principe des vitesses virtuelles, que cette somme divisée par soit nulle, quel que soit le déplacement; c'est-à-dire quelles que soient les six quantités /z, i", A, /;, ^, /•, puisque l'on suppose le corps entièrement libre. Il est donc nécessaire et suffisant que les coefficients de chacune de ces indéterminées soient nuls, ce qui donne les équations

v(/Z — z'Y)=:o, 2{z'X — a:'Z) = o, - ^(jc'Y — /X) = o.

On peut supposer les axes des a:', y\ z' placés d'une manière quelconque dans l'espace. On peut donc les faire se confondre avec les axes donnés des x^y^ z. Les trois dernières équations deviennent alors

2(jZ — a5Y) = o, 2(zX — arZ)=o, 2(jrY — jX) =0.

On retrouve ainsi les six équations déjà démontrées n° S0(*) .

■ n i I p.»««l«.p^ .11. <l » I ■ I I » I I 11 I I p ■ M II . Il- I 1 11 11

(*) On peut consulter, sur le mouvement géométrique d'un corps solide, un Mémoire assez étendu de M. G. Rodriguez , postérieur à celui de M. Poinsot {voyez le Journal de M. LiouYÎlle, tome V).

PaiMliRE ANNÉE. STATIQUE. 2-^5