CHAPITRE IIL
DE LA VITESSE ET DE LA DÉVIATION DANS LE MOUVEMENT COMPOSÉ D'uN POINT.
237. Lorsqu'un point a un certain motivement continu par rapport à un système rigide, et que ce système a lui-même un mouvement continu dans l'espace, le point est dit avoir un mouvement continu composé des deux autres. Et nous avons remarqué (n*' 204), qu'en partant d'une époque quelconque, on aurait la position du point après un temps quelconque, en laissant se mouvoir le système pendant ce temps, le point y occupant toujours la même position; puis faisant mouvoir le point dans ce système immobile pendant ce même temps, de manière à y prendre la position relative qu'il doit avoir. On pourrait aussi commencer par faire mouvoir le point dans le système laissé immobile, puis donner au système le mouvement qu'il doit avoir pendant le même temps, le point y conservant toujours la même position relative.
La manière la plus commode de déterminer ces deux mouvements consiste à prendre trois axes rectangulaires liés invariablement au système- La position relative du point se détermine par ses coordonnées par rapport à ces axes, et le mouvement du système par les positions successives de ces mêmes axes. Si l'on connaît les deux mouvements composants, les coordonnées du point par rapport aux axes mobiles sont des fonctions connues du temps, ainsi que les coordonnées de Forigine mobile et les inclinaisons de ces axes sur des axes fixes.
Cela posé, nous allons chercher comment on peut déterminer, dans le mouvement résultant, ou composé, du point, les deux éléments importants que nous avons considérés dans
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le mouvement en général , savoir, la vitesse et la dévialion.
238. F^itesse dans le mouvement composé, — Soient M la position du point à une certaine époque •, MU la trajectoire du point du système qui coïncide avec M à cette époque; Ml la position de ce point après un temps infiniment petit 6; MiV la position qu'occupe après ce temps la ligne liée au système rigide et sur laquelle reste le point mobile, autrement dit la trajectoire relative; MjM' l'arc que ce point a parcouru sur cette courbe, depuis l'époque où M, était en M, c'est-à-dire pendant le temps Q, M' sera la position du mobile après ce temps, et sa trajectoire absolue sera une ligne MM'T passant par M et M'.
Si maintenant on joint les points MM' M, par des droites, et que l'on fasse tendre vers zéro, ces droites auront pour limites de leurs directions les tangentes aux trois courbes MU, MT et MiV, celte dernière étant prise dans sa position limite, c'est-à-dire quand Mi est en M. Les rapports des côtés du triangle MM' Mi auront les mêmes limites que les rapports des arcs MMi, Mj M', MM' qui sont parcourus dans le même temps 6, le premier par le point du système qui coïncidait avec le mobile , le second par le mobile dans son mouvement relatif, le troisième par le mobile dans son mouvement composé. Or, si Ton divisait ces trois arcs par 0, les trois quotients auraient pour limites les vitesses dans ces trois mouvements , prises à l'époque où le mobile est en M. Les rapports des côtés du triangle MMi M' ont donc pour limites les rapports de ces vitesses.
Pour énoncer simplement la solution qui résulte de là pour la question que nous nous proposions, formons le parallélogramme MMi M' K. Le côté MK, parallèle à Mi M', aura pour direction limite celle de la trajectoire relative en M, et le parallélogramme tend à être semblable à un parallélogramme dont les côtés adjacents seraient les lan-
PaEMiÈRS ANNÉE. STATIQUE. 2']']
gentes en M à la trajectoire relative du mobile et à la trajectoire du point coïncident du système, et auraient des longueurs proportionnelles aux vitesses de ces points sur ces courbes.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
La 'Vitesse du mobile dans son moui^ement composé est représentée j en grandeur et en direction^ parla diagonale du parallélogramme dont les deux côtés adjacents représenteraîentj en grandeur et en direction j la vitesse relative du mobile et la vitesse du point coïncident du système.
On peut donc dire, d'après là définition donnée n^ 193 de la composition des vitesses, que :
La vitesse, dans le moui^ement composé^ est la résultante des vitesses dans le mou^^ement relatif et dans le maui^ement du point coïncident du système,
239. ntesse relatii^e. — Soient MUTV {fig. 55) le parallélogramme construit sur les lignes MV, MU tangentes en M , la première à la trajectoire relative , la seconde à la trajectoire du point M appartenant au système; les longueurs MV, MU représentant les vitesses sur ces deux trajectoires. Nous venons de voir que la diagonale MT représentera en grandeur et en direction la vitesse du mouvement absolu du point dans l'espace.
Mais si l'on prend sur le prolongement de MU , MU' égal à MU, MV sera la diagonale du parallélogramme construit sur MU' et MT. On peut donc énoncer ce théorème :
La vitesse relatii^e d'un points par rapport à un système rigide en moui^ement, est la résultante de sa vitesse absolue et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système.
240. Dé\^iation dans le moui^emeut composé. — Soient M la position du point mobile à une époque quelconque ; MV la ligne sur laquelle il se meut dans le système , ou sa
trajectoire relative; MU la ligne que décrit le point M du système. Supposons qu'après un temps infiniment petit 6 le mobile soit en m sur sa trajectoire relative , et le point M du système en M, . Soient MT, MTj les parties des tangentes à ces courbes qui seraient décrites uniformément dans le temps Ô avec les vitesses qui ont lieu en M dans les mouvements sur ces courbes.
La déviation dans le mouvement du point, par rapport au système après le temps 9, est T/n; elle est Tj Mi dans le mouvement du point M du système,
La diagonale MT' du parallélogramme TMT^ T' donne la direction de la tangente à la courbe décrite par le mobile dans Fespace *, et sa grandeur représenterait la vitesse sur cette courbe, si l'on prenait MT, MT^ pour représenter les vitesses sur les deux autres; et, par conséquent, MT' est Tespace que décrirait dans le temps 6 un point qui se mouvrait sur cette tangente avec la vitesse que le mobile a en M sur sa trajectoire absolue.
Il suit de là que , pour avoir la déviation du mobile dans son mouvement composé ou absolu , il suffit de joindre le point T' à la position qu'occupe ce mobile après le temps S sur sa trajectoire absolue, ou, en d'autres termes, à la position qu'il occupe effectivement dans l'espace. Or c'est ce qu'il est très-facile de déterminer d'après ce que nous avons établi précédemment sur le mouvement des systèmes.
Pour cela , nous laisserons d'abord le système immobile pendant le temps 6 ; le point M arrivera ainsi à la position m dans le système , et nous supposerons qu'il y reste lié fixement. Maintenant, nous laisserons le système se mouvoir comme il doit le faire effectivement pendant le temps 0, et nous décomposerons ce mouvement en une translation commune, qui amène M en Mj, et une rotation autour d'un certain axe Mjl dont la direction, ainsi que l'angle de rotation, ne dépendent que du changement de
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direction des lignes du système. Cet axe peut être confondu avec Taxe instantané, lorsque est infiniment petit; et l'angle décrit autour de Mil peut être considéré comme le produit du temps 9 par la vitesse angulaire correspondante à la position M. Or il est facile de suivre le point m, entraîné ainsi par le système auquel il est lié.
Eu effet, opérons la translation MM| au moyen des deux translations MTi , TiM,. Par suite de la première, la droite MT vient en TiT'^ par suite de la seconde , elle vient en Ml /:x, T'fx étant pris égal et parallèle à Ti M,. Menant ensuite fjLfx' parallèle et égal à T/w, p' sera la position de m après la translation. Effectuant maintenant la rotation autour de Ml I , le point fx' décrira un arc de cercle /x' M' perpendiculaire au plan IMi yi'y et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée de fx' sur Taxe Mil. Alors toutes les choses se trouvent telles qu'elles doivent être dans le mouvemerit réel après le temps Q-^ M' est la position absolue qu'occupera le mobile : et, par conséquent, T' M' est la dé- "viatîo/i cherchée.
Or, en considérant le polygone fermé T'|ULfJt' M', on voit que la ligne T'M' est la résultante des lignes T'/x, /j^x', fil' M' prises dans les directions suivant lesquelles elles sont décrites en partant de T'. La première n'est autre chose que la déviation Ti Mi, transportée parallèlement à ellemême, sans changer de grandeur ni «le sens-, la seconde est la déviation T/n, semblablement transportée. Quant à la troisième ligne p' M', sa direction a pour limite la perpendiculaire au plan mené par la direction limite de Mi I, qui est celle de l'axe instantané, et par la direction limite de Mi/x', qui est celle de Mi/i, vu que jul/ia' est un infiniment petit du second ordre, et M, |!x' du premier. Ainsi la ligne fx'M' peut être considérée comme perpendiculaire au plan qui contient des parallèles à Taxe instantané de rotation et à la direction MT de la vitesse relative du mobile.
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Il est essentiel de remarquer que le sens de cette direction est celui du mouvement de rotation. De sorte que si oa la considérait comme axe dVn mouvement direct de rotation exécuté dans le plan auquel elle est perpendiculaire, le sens de ce mouvement serait de Taxe instantané vers la direction de la vitesse relative.
Il ne reste plus qu'à trouver la mesure de la grandeur [JL^ M'. Si l'on désigne par w la vitesse angulaire du système 5 par i^r la vitesse relative , et par cî l'angle de la direction de cette vitesse avec celle de l'axe instantané, le rayon du cercle décrit par fx' sera Mi fx' sin (î, qu'on pourra remplacer par Mifxsinc? ou ôf^^sin^; l'angle au centre sera 00) , et l'on aura , par conséquent ,
La question est donc entièrement résolue , et le résultat peut s'énoncer comme il suit :
La déuiation dans le mouvement composé d'un point est la résultante de trois lignes. Les deux premières sont les déi^iations dans le moui^ement du point relatif au sys- Jèmcj et dans le mouvement du point du système qui coïncide avec ce mobile à l'instant que l'on considère. La troisième est perpendiculaire à un plan parallèle à l'axe instantané du système et à la vitesse relative du point, et dans le sens du mhuvement de rotation. En d'autres termes, elle est dans la direction de l'axe du mouvement qui amènerait par le plus court chemin la direction de l'axe instantané "vers celle de la vitesse relative du point. La grandeur de cette troisième ligne est le produit du carré du temps infiniment petit que F on considère par la vitesse angulaire du système, et par la projection de la vitesse relative sur un plan perpendiculaire à l'axe instantané.
