Il est bon de remarquer que la vitesse dans le mou
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2l8l
veraent composé ne dépend que des vitesses, du point mobile relativement au système, et du point coïncident du système; tandis que la déviation dans le mouvement composé n'est pas déterminée par celles qui ont lieu dans ces deux mouvements. Il n'en serait ainsi que dans le cas où le mouvement du système se réduirait à une simple translation. SMl y a une rotation, il en résulte une influence qui ne peut plus être négligée , parce qu'elle est du second ordre infinitésimal, et que, dans la mesure de la déviation qui est du second ordre , on ne peut négliger que les quantités d'ordre supérieur au second.
^2. Cas particuliers, — i^. Si le mouvement du système se réduit à une translation, suivant une loi quelconque, la vitesse angulaire devient nulle, et la troisième composante disparait. Dans ce cas,»la déviation résulte de la composition de celles qui se rapportent au mouvement relatif et au point appartenant au système.
^^. Si la translation avait lieu dans une direction constante et avec une vitesse constante , la déviation du point du système serait nulle, et, par conséquent, la déviation dont le mouvement absolu du mobile serait identique à celle du mouvement relatif.
3^. Si le mouvement du système sa réduit à une rotation autour d'un axe , le point appartenant au système décrit un cercle autour de cet axe. Si Ton suppose, de plus, que le mouvement soit uniforme, la déviation de ce point est dirigée vers le centre de ce cercle, et n'est autre chose que la déviation centripète.
243. Dé{^iatioti dans le mouvement relatif. — On déduit de la proposition précédente un corollaire très-important. Dans tout polygone fermé, un côté quelconque, pouvant être regardé comme la résultante de tous les autres, il s'ensuit que dans le polygone T'/jl(x'M', la ligne /xfx' est la résultante des trois lignes |uiT', T'M', M'|!x', décrites en
partant du point fx. Dans ce mouvement , la déviation TW est prise dans sa véritable direction \ mais la déviation Tj Ml ou T^fjL est en sens inverse, et la direction M'/x' est opposée à celle que cette même droite avait dans le cas précédent. D'où résulte ce théorème important :
Si un point a un moui^ernent absolu dans Vespace et que Von considère son mouv^ement relatif à un système rigide qui a lui-même un mouv^ement absolu / c^est-à^dire si l'on considère la suite des positions que ce point occupe dans ce système, à chaque instant, et quun observateur qui croit le système immobile, regarde comme des positions ahsoluesf la désfiation du mouvement sur cette trajectoire apparente, ou relative, est la résultante de trois lignes qui sont : 1^ la déviation dans le mouvement absolu; 2.^ la déviation, pjise en sens. contraire, dans le mouvement du point coïncident du système; 3*^ une ligne égale au produit du carré de l'intervalle de temps infiniment petit par la ^vitesse angulaire, et la projection de la vitesse relative sur un plan perpendiculaire à F axe instantané. La direction de cette ligne est perpendiculaire à un plan mené par cet axe et la vitesse relative, et dans le sens contraire au mouvement de rotation. En d'autres termes, elle est celle de l'axe de la rotation qui amènerait la direction de la vitesse relative vers celle de l'axe instantané , par le plus court chemin.
Démonstration analytique des propositions précédentes.
244. — Il n'est pas inutile de voir comment le calcul conduit aux propositions que nous venons d'établir.
Considérons trois axes rectangulaires OX', OY', OZI faisant partie du système rigide en mouvement 5 et soient J , yj, ^, les coordonnées de l'origine O. On aura, entre les coordonnées :r',j', z' du point mobile par rapport à ces
axes, et ses coordonnées x^ y^ Zy par rapport à des axes fixes , les équations connues
i:r = I H- ax^ -h hy' y == 73 -h a V -h Vf -h c'z\ ^ = Ç -h a"x'-^ hy-h c"z'',
cz\
on trouve, en les différentiant,
dx d^ , da dt dt dt
^dh
at
dx' , dy
dt dt
dz'
dt
dy dfi , da' , db' , de' dt dt^ dt -^ dt ^ dt
.dx' ..dy ,dz'
de"
dz dTC, ,da" ,db"
dt dt ^ dt -^ dt dt
dx' dy' dz'
+ a"— ^b" — -+- c" — • ^ dt ^ dt ^ dt
Les premiers membres de ces équations sont les composantes de la vitesse absolue du mobile, parallèles aux axes X, Y, Z.
Les quatre premiers termes des seconds membres de ces
équations sont les valeurs que prendraient —5 -f» -r si
^',y', 2' étaient constants; ils représentent donc les composantes parallèles à X, Y, Z de la vitesse du point du système qui coïncide avec le mobile, à Tinstant que Ton
dx' dy' dz'
considère. Si maintenant on observe que-p-> -7-9 -7- sont
* dt dt dt
les composantes parallèles à X', Y', Z' de la vitesse relative, ou apparente, du mobile dont nous représentons les coordonnées relatives par a:', y', 2', on reconnaîtra immé-
284 COUBS DE MÉGANIQUE.
diatement que les trois derniers termes des formules (2) représentent les composantes de cette vitesse relative, parallèles aux trois axes fixes X, Y, Z. On retombe ainsi sur cette proposition, déjà démontrée géométriquement :
La vitesse dans le mouvement composé cTun point est la résultante de la vitesse de ce point par rapport au $y$' tente, et de la vitesse du point coïncident du système.
D'où l'on conclut encore que
La vitesse relatii^e du point est la résultante de sa vitesse absolue, et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système .
245. Différentiant de nouveau les équations (2), nous obtenons
dt'
di'
dt'
dt'
■'dF)
fdx^ da dy^ db dz^ dc\ \dt dt Ht dt dt dt) '
dt' \dt^ ^ dt^
d'à/ IF
dt'
dt"" d^z'
d^c It'
dx'da' dy db' dz' d(/\ i^ 2 I I— -— I 1 9
dt dt dt dt dt dt j
dH
d'à'' dt^
de
lit
dt' dt' dt'
'da/ da " df db"
dt dt
dy^db^ d^d^\ dt dt ^ dt )
Si l'on suppose toutes ces expressions multipliées par - 5
PREMliRE AKNBE. STATIQUE. 385
les premiers membres des équations (3) seront les composantes de la déviation, correspondante à rintervallc 0, dans le mouvement absolu du point, estimées parallèlement aux axes X, Y, Z.
Examinons maintenant les trois parties dans lesquelles nous avons décomposé les seconds membres. La première exprime dans les trois équations les valeurs que prennent
respectivement -j-j-j -7-^? --y lorsqu on suppose x\y\ z'
constants 5 c'est-à-dire lorsqu'on suppose le point {xyz) lié invariablement au système. Ainsi , après l'introduction du
facteur - 9 les premières parties en question sont les compo-
santés de la déviation du point du système qui coïncidait avec le mobile : les secondes parties sont les composantes de la déviation dans le mouvement relatif du point, estimées de même parallèlement aux axes X, Y, Z. Il ne reste donc plus qu'à interpréter les dernières parties, et à reconnaître de quelle ligne elles sont les composantes par rapport à X, Y, Z.
Pour cela nous chercherons les composantes de cette ligne par rapport à X', Y', TJ \ ce qui se fera en ajoutant les projections des premières composantes sur ces nouveaux axes; on obtient ainsi, en négligeant le facteur 6', les trois expressions suivantes :
dz' dy dx^ dz' d/ dx'
(^) '^dF-'lT' 'dT-PlT' PdF^'^dT'
et \\ suâGit de déterminer la ligne dont elles sont les projections sur X', Y', Z'.
Mais, d'après les formules (4) du n® 226, on voit que, si par le point O on mène deux droites 01, OV, dont les composantes soient, pour la première, p^ 9, r, et pour la se-
j daf dy dz' ^ • //v / 1
conae, 7-' ;t-» -r"> ^^s expressions (4) représentent les
projections de Taire du parallélogramme construit sur ces deux lignes, sur les plans des oc!^y\ z' : elles sont donc proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec X', Y', V Taxe de cette aire , et leurs signes se rapportent à la direction de l'axe de la rotation qui amènerait 01 vers OV par le plus court chemin.
L'aire de ce parallélogramme peut être remplacée par le produit de ses deux côtés adjacents et du sinus de leur angle : de sorte que la ligne dont les expressions (4) sont les projections , et qui est dirigée suivant Taxe de rotation qui vient d'être défini , est égale à 6> ^^ sin d , w étant la vitesse angulaire , Vr la vitesse relative du mobile , et $ l'angle de la direction de cette vitesse et de l'axe instantané. En multipliant cette valeur par 6', on aura la troisième composante de la déviation dans le mouvement a1;)solu du mobile. On obtient de cette manière l'expression déjà donnée
ô^w.fr sin J".
On retombe ainsi sur la proposition démontrée n®240, et l'on en déduirait semblaUement l'expression de la dévialion dans le mouvement relatif du point.
Remarque, — Lorsque le mouvement du système rigide est connu, c'est-à-dire lorsque ^^rt^t^^a^b^c^a'^b'^ c', al'^ y\ d' sont des fonctions données du temps , il est facile de voir comment on peut déduire le mouvement relatif d'un point, de la connaissance de son mouvement absolu, et réciproquement. En effet , si Ton connaît x^j^zen fonction de f, les équations (i) donneront x\ y\ z' ; et réciproquement elles donneront x^y^ z A l'on connaît x',y', z' en fonction de r.
PÛBMliEB ANiriE. — STATIQUE, 287
Si Ton connaît seulement une des deux trajectoires, absolue ou relative, on en déduira facilement l'autre. Si , par exemple, l'on donne deux équations entre JC, j', z seulement, qui déterminent la trajectoire absolue du mobile, il suffira d'éliminer x^ y^ z^t entre ces deux équations et les équations (3), et Ton aura deux équations entre ^', j^', z' seulement, qui seront celles de la trajectoire relative. Il en serait de même si Ton donnait d'abord deux équations entre x'^ y\ z\ et qu'on demandât celles de la trajectoire absolue.
Il est facile de généraliser ces considérations en substituant à un point un système rigide dont le mouvement pourra être déterminé par trois de ses points , ou de toute autre manière. On verra facilement que son mouvement relatif peut être déduit de son mouvement absolu , et réciproquement. Nous nous écarterions de notre objet en entrant dans plus de détails à cet égard.
Autre manière d'envisager le mouvement relatif.
246. Dans ce qui précède , nous avons considéré le mouvement relatif comme un des mouvements composants d'un corps, ou d'un point matériel. Nous avons cherché comment les données de ce mouvement pouvaient servir à déterminer , soit la vitesse , soit la déviation dans le mouvement absolu; et il a été facile de déduire de là Texpression de ces mêmes quantités dans le mouvement
relatif.
Mais on peut aussi se proposer directement l'étude du mouvement relatif, et l'on peut, pour cela, procéder de plusieurs manières. La marche que nous choisirons est celle dont l'idée générale se reproduit identiquement dans les
288 GOUBS DE MÉCANIQUE.
questions les plus diverses , et qui ramène le plus naturellement à la considération du mouvement absolu.
Elle cousiste à laisser s'effectuer les deux mouvements, puis à lîer entre eux le point ou le corps avec le système par rapport auquel on le considère , et à donner à leur ensemble un mouvement qui ramène ce dernier à sa première position.
De cette manière, le corps aura toujours les positions relatives qu'il doit avoir dans le système en question qui se trouvera rendu immobile. Et il sufGt d'ajouter un mouvement de plus à ceux auxquels le corps est assujetti 5 savoir, le mouvement d'ensemble qui ramène constamment le système de comparaison dans sa première position. On voit ainsi qu'en ajoutant un nouveau mouvement au corps , et cherchant le mouvement absolu résultant, ce dernier sera précisément le mouvement relatif, tel qu'il aura lieu dans le système , et que l'on se propose d'étudier. Toute la question consiste donc dans la détermination précise du mouvement à introduire, puisqu'après cela on rentre dans la considération ordinaire du mouvement absolu. Telle est la méthode depuis longtemps suivie, et que nous allons appliquer aux deux questions principales qui se rapportent au mouvement d'un seul point.
247. Vitesse dans le niouuement relatif, — Soient M {fie' ^4) "^6 position quelconque du mobile, M' celle qu'il aura après un temps infiniment petit, Mi celle qu'occupera après ce même temps le point du système qui coïncidait avec lui en M. Joignons ces points par des droites, et formons le parallélogramme MMjM'K. Considérons maintenant le point M' comme lié au système, et ramenons ce dernier dans sa première position. Il suffira de donner à l'ensemble un mouvement de translation qui amène Mj en M , et M' en K ; puis un mouvement de rotation autour
PREMIÈRK ANNKE. STATIQUE. 289
de M, quî ne pourra changer la nouvelle position du point M' que d'une quantité infiniment petite du second ordre ^ puisque MK. est du premier. Nous pourrons donc négliger cette quantité et supposer que M' reste en K. Or, les directions des trois droites MK, MM', MM, ont pour limites celles des tangentes aux trajectoires, relative et absolue, du mobile, et à celle du point coïncident du système, et les rapports de ces trois droites ont pour limites ceux des vitesses sur ces trajectoires. D'où Ton conclut , comme précédemment, que :
La vitesse relatii^e est la résultante de la vitesse absolue, et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système.
248. Déviation dans le nious^ement relatif, — La quantité à calculer étant du second ordre infinitésimal , nous ne pourrons plus négliger, comme nous venons de le faire , le mouvement de rotation qui introduit une quantité du second ordre.
Soient M (^fig. ^i) la position du mobile à un instant quelconque , M' celle qu'il occupe après un temps infiniment petit 0, et T' celle qu'occuperait sur la tangente à la trajectoire un point partant de M en même temps que le mobile, et se mouvant uniformément avec la vitesse que celui-ci a en M*, T'M' sera la déviation dans le mouvement absolu. Soit de même Ti Mi la déviation après le temps .9, dans le mouvement du point du système qui coïncidait avec le mobile en M. Les longueurs MT', MTi pourront être prises pour représenter les vitesses en M sur ces deux trajectoires.
Or, pour avoir la déviation dans le mouvement relatif, il faut commencer par mener en M la tangente à la trajectoire relative, supposer un point qui s'y meuve uniformément avec la vitesse relative pendant le temps 0, tan- I. 19
290 COURS DE MÉCATVIQUi:.
dis qu'elle est entraînée par le système avec lequel elle est fixement liée , puis joindre le point où il est ainsi parvenu avec le point M' 5 celte droite sera , en grandeur et en direction , la déviation dans le mouvement relatif.
Gela posé , considérons le point M' comme lié au système, et ramenons celui-ci dans sa position primitive; la déviation relative se sera transportée dans une position qu'il est très-facile de déterminer.
Donnons d'abord au système les deux mouvements de translation Mi Tj et Ti M qui ramènent le point Mi à sa première position M. En menant M.' m' égal et parallèle à TjM, m' [IL égal et parallèle à MiTi , on aura la position de M' après les deux translations.
Lorsqu' ensuite le système tournera autour de l'axe instantané passant par M avec la vitesse angulaire co pendant le temps 0, le point |ul décrira un arc infiniment petit fxfx', que nous déterminerons tout à l'heure, fx' sera la position du mobile lorsque le système sera revenu à sa première position.
Dans cette situation, la tangente à la trajectoire relative sera dans la direction Mf', et la longueur même Mt'sera l'espace parcouru uniformément avec la vitesse relative, pendant le temps 9, dans lequel les longueurs MT', et MT, égal à T' «', sont parcourues sur les tangentes aux deux autres trajectoires; d'où il suit que la déviation relative sera t' [i! ,
Mais t' fjL'.est la résultante des trois lignes f' m' ou T' M', w'^ou Ml Tj, et enfin fxjx'. La première est la déviation dans le mouvement absolu ; la seconde , la déviation , prise en sens contraire , dans le mouvement du point coïncident du système.
Quant à la troisième ligne (x (jl^ décrite par le point fi tournant autour de l'axe instantané MI , nous commence-
PREMIÈRE ANKÉE. — STATIQUE. 2Ç)1
roiïs par remarquer qu'elle peul être remplacée par celle que décrivait le point t\ qui n'est distant de /x que d'un infiniment petit du second ordre. Sa direction est donc perpendiculaire au plan IM^' mené par Taxe instantané et la vitesse relative , et le sens que l'on doit prendre est celui de la rotation elle-même. Sa valeur est le produit de T angle de rotation tùQ par la distance de /' à ]V1I, ou par le produit de Mt' par sin IM/'; et comme M^' = 0^'^, t^^ désignant la vitesse relative, l'arc /uta' a pour valeur Ô'wf^^ sin IM«', Q^ négligeant les quantités infiniment petites d'ordre plus élevé. On retombe donc sur les résultats précédemment obtenus, et l'on retrouve la décomposition de la déviation relative, telle qu'elle est énoncée dans le n° ^4^.
