IV. , R , R
si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si la force était répulsive; ce que Ton pourrait effectuer en changeant seulement R de signe. Les termes qui proviens dronl de celte force dans l'expression ILdx -\-Ydy -\-Zdz seront donc, dans le premier cas,
R r (^ '-Jr)dx-h [b -—y) dy -+- {c ^ z) dz l
Or on a d'où
{a — x) dx -^ [b — j) ^J + (c — z) dz = — rdr,
ce qui réduit l'expression précédente à — Rcfr. Elle devrait être changée en 4- R û?r dans le cas d'une force répulsive.
Si l'on fait le même calcul pour les forces R', R", etc. , relatives aux autres centres fixes , on trouvera
Xdx -H Ydr -4- Zdz =:zpKdr::ç:^'dr'zfzK'' dr
ce qui est une différentielle exacte relativement aux variables indépendantes a: , ^, z , puisque R est une fonction de r, R' de r', etc.
On aura donc
m (i^' — A') = ZfZ f Kdrjf. f R'^r'qp...,
To, t'^ , etc., étant les valeurs de r, r', etc. , correspondantes à la première position. D'où l'on voit que l'accroissement du carré de la vitesse est égal à la somme des ac-» croissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile , pendant qu'il passe de l'une des positions à l'autre.
301 . Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plan fixe, et dépendant uniquement de la distance à ce plan , les mêmes conséquences auraient lieu parce que ce n'est, à proprement parler, que le cas particulier où l'un des centres se serait transporté à l'infini dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s'y rapporte.
L'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la
forme
X cos a 4- j cos 6 4- « cos 7 — /> =r o ,
a, 6, y étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, et p la longueur de cette perpendiculaire. Soit u la perpendiculaire abaissée sur ce plan , du point dont les coordonnées sont x, j^, z, on aura
u:=: X COS (Â-h y cos 6 4- z cos 7 — /?.
Les composantes de la force U qui agit sur ce point seront
UcOSa, UcOSê, UCOS7, ou — UcOSa, — UCOSS, — UCOS7.
Les termes que cette force -introduira dans l'expression JLdx -^-Y dj -^Tjdz seront, dans le premier cas,
U [dx cos oL-^- dy cos 6 -|- rfz cos 7) , ou J5du ;
et, dans le second, — \idu\ ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de a:, y, z, puisque U n'est fonction que de u seulement.
Si la force était toujours dirigée vers le plan , elle changerait de sens lorsque le point changerait de côté par rapport à ce plan 5 les cosinus de a, 6, y changeraient alors de signes , et il faudrait y avoir égard. Il faut encore observer que la valeur de u est positive quand le point n'est pas du même côté que l'origine, et négative quand il est du même côté, de sorte que les accroissements de u sont toujours positifs dans le même sens.
Quand il s'agira de la pesanteur, et que les espaces parcourus seront très -petits par rapport au rayon de là terre, la force peut être considérée comme perpendiculaire à un plan horizontal; mais elle est constante de grandeur et de direction , de quelque côté que soit situé le point par rapport à ce plan. En le prenant pour plan dels x etj^, et pre-
PBEHIERE ANNÉK. STATIQUE. 867
nant l'axe des z en sens contraire de la pesanteur, on a
X = o, Y=:o, Z=r — gm.
L'équation (i) devient
d.v"^ dz
dt " dt
d'où
en désignant par /i la hauteur de z correspondan le à la vitesse'^-. Les surfaces, dont l'équation générale était F{a:,y, ^) = o, sont ici des plans horizontaux, et Ton voit qu'un point matériel libre , ou assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe , et qui part d'un point quelconque d'un pPan horizontal donné, avec une certaine vitesse^ parviendra à un plan horizontal quelconque avec un^ vitesse qui ne dépendra nullement de la courbe qu'il aura suivie pour y arriver, mais seulement de la distance de son point de départ à -ce plan.
