IH = P, IK=Q, GH = KX

il vient

ao:bo::q:p,

ce qui montre que les deux segments dans lesquels la résultante divise AB sont réciproquement proportionnels aux deux forces \ ou que les produits de chaque force par le segment adjacent sont égaux.

Les deux forces P, Q pouvant être représentées par ces deux segments , leur résultante , qui est leur somme , le sera elle-même par la longueur AB 5 de sorte que chacune des trois forces sera représentée par la partie de la droite AB, comprise entre les directions des deux autres.

Ije point O jouit de la propriété remarquable de ne dépendre nullement de la direction absolue des deux forces ; il reste le même, pourvu que celles-ci restent parallèles et de même sens, et que les points d'application restent les mêmes ; les deux forces peuvent même changer de grandeur, pourvu qu'elles conservent le même rapport. Ce point est celui que nous appellerons spécialement le point d'application de la résultante.

Si Ton désigne par R la résultante, la proposition qui vient d'être démontrée est exprimée par les relations sui-

vanles :

R = P-hQ,

p:Q:R::OB:Oà: ab.

Elles équivalent à trois équations distinctes, et donnent lieu à divers problèmes très-simples que nous nous dispenserons d'examiner. Il suffira toujours, pour les résoudre, que Ton connaisse trois des six quantités P, Q, R, OA, OB, AB.

30. Supposons maintenant les deux forces P, Q dirigées dans des sens différents , et soit P > Q.

Décomposons la force P [fig> 9) en deux autres parallèles et de même sens , dont Tune soit égale et directement opposée à Q -, cela est possible , d'après la proposition précédente, et l'une de ces composantes détruisant la force Q, la seconde restera seule, et sera, par conséquent, la résultante cherchée. Son point d'application sera en dehors de AB , et du côté de la plus grande force P 5 elle sera égale à P — Q , et son point d'application X sera déterminé par la proportion

ax : ab :: Q:R;

et comme

on aura

AX = p4q>< AB -

Ainsi , en exceptant le cas où P = Q , deux forces parallèles, et de sens contraire, ont toujours une résultante, qui leur est parallèle, dirigée dans le sens de la plus grande , en dehors des directions des deux forces , et du côté de la plus grande; elle est égale à leur différence, et chacune de ces trois forces est proportionnelle à la distance des deux autres. Le point X , situé sur la droite qui joint les points d'application des deux forces , est encore indépendant de la

direction et de la grandeur absolue de ces forces •, et c'est encore lui que nous désignerons sous le nom de point d'application de la résultante.

Si les deux forces étaient égales , l'inconnue ÀX deviendrait infinie , ce qui annonce une impossibilité. Il n'y a donc pas alors de résultante , et il est facile de s'en convaincre directement. En effet , supposons que les deux forces égales P et Q [fig* 10) aient une résultante , et faisons tourner le système entier de deux angles droits autour du milieu O de ÂB, de manière que les deux forces P et Q se remplacent Tune l'autre, et, par conséquent , donnent encore la même résultante. Leur résultante primitive sera transportée symétriquement par rapport au point O, si elle est dans le plan des forces; et, dans le cas contraire , elle ne sera pas dans un même plan avec sa première position. Or, si ces deux forces pouvaient se remplacer Tune l'autre, il y aurait équilibre entre l'une des deux et l'autre , prises en sens contraire , ce qui est absurde , puisque ces deux dernières ne seraient pas directement opposées.

Un pareil système de forces a été nommé couple par M. Poinsot, qui en a fait un élément essentiel de la mécanique.

31 . Les coordonnées du point d'application de la résultante peuvent facilement être calculées, d'après celles des points d'application des deux forces parallèles.

Supposons d'abord ces deux forces de même sens , désignons-les par P', P ;/ ; soient M', M" (fi g* n) leurs points d'application , M â celui de la résultante qui sera situé entre les deux; et z\ z f \ z t les coordonnées parallèles à l'axe des z, de ces trois points.

On aura , par ce qui précède ,

Or, quels que soient les signes des coordonnées, on a la pro-

portion générale

L'équation ci-dessus devient donc, en remplaçant M'M t et M t M" par les quantités proportionnelles ,

P'(* l -*') = P"(*' r -* l ), ou

ou enfin , en désignant par R la résultante ,

Rz.^PVH-P'V.

Cette équation fait donc connaître z^ et Ton trouverait semblablement les deux autres coordonnées x t et jr t du point d'application de la résultante.

Si les deux forces P', P" sont de sens contraire , soit, par exemple, P' 7 la plus grande, le point d'application M t (fig. 12) sera en dehors de M'M", et du côté de M"; on aura alors

Mais on a généralement

donc

P'( Z| -V) = P"(z,-z"), ou

(P"— P')z, = P'V — PV;

et, en désignant par R la résultante qui est dans ce cas P"— F,

Rz,=:P"z" — PV.

On aurait deux équations semblables , pour les coordonnées parallèles aux deux autres axes; et l'on connaîtra

encore les coordonnées x u /,, z x du point d'application de la résultante.

32. Moments* — Les équations d'où nous venons de tirer les coordonnées du point d'application de la résultante, expriment un théorème qui sera généralisé tout à l'heure, et qui est d'une application continuelle. Chacun des termes qui les composent est le produit d'une force par la coordonnée positive ou négative de son point d'application , par rapport à un plan quelconque. Un pareil produit se nomme le moment de cette force par rapport au plan.

D'après cela , les équations précédentes expriment que le moment de la résultante de deux forces parallèles est égal à la somme des moments des composantes quand elles agissent dans le même sens ; et à leur différence quand elles sont de sens contraire. Dans ce dernier cas , le moment qui a le signe — est celui de la force qui est de sens contraire à la résultante.

Pour réduire ces deux énoncés à un seul , il suffit d'employer la considération des signes pour les forces parallèles , et de regarder comme positives celles qui agissent, par exemple , dans le sens de la résultante , et comme négatives celles qui agissent en sens contraire.

Cela posé, en appelant moment le produit d'une force, positive ou négative , par sa coordonnée , de signe quelconque , on aura la proposition générale suivante :

Le moment de la résultante de deux forces parallèles quelconques est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

33. Cas d 9 un nombre quelconque de forces parallèles. — Considérons maintenant un nombre quelconque de forces parallèles, non situées dans un même plan; et d'abord supposons-les toutes de même sens. En composant deux d'entre elles en une seule , puis cette nouvelle force avec une troisième , et continuant ainsi jusqu'à la dernière

des forces données , on obtiendra une résultante parallèle aux forces et égale à leur somme. Sa direction passera par un point qui ne dépendra que de la position des points d'application des forces données et du rapport de ces forces , mais nullement de leur grandeur absolue ni de la direction à laquelle elles sont parallèles. Tout cela résulte immédiatement de ce qui a été démontré sur la composition de deux forces parallèles .

Si les forces ne sont pas toutes dirigées dans le même sens , on composera en une seule toutes celles qui sont dans un même sens, et le système sera réduit d'abord à deux forces respectivement égales à la somme de celles qui tirent dans chacun des deux sens. Elles se composeront généralement en une seule égale à la différence, tirant dans le sens de la plus grande, et dont le point d'application ne dépendra que des positions des points d'application de toutes les forces et du rapport de ces forces. Ce point remarquable se nomme centre des forces parallèles .

Si les deux résultantes partielles étaient égales, mais non directement opposées , le système n'aurait pas de résultante-, il se réduirait à un couple, et il n'existerait plus de centre des forces parallèles. Si elles sont égales et opposées, il y a équilibre.

34, Théorème des moments des forces parallèles, — La proposition que nous avons démontrée tout à l'heure pour deux forces parallèles s'étend facilement à un nombre quelconque. Pour plus de simplicité , partageons le système de toutes ces forces en deux autres , dont le premier renferme toutes les forces P', P", P w , etc., qui sont dirigées dans un même sens \ et le second, toutes les forces Q', Q", Q"', etc., dirigées dans le sens opposé. Soient R la résultante des forces P', P y// , etc., et S celle des forces Q', Q", etc.

En composant d'abord P' et P", on a une résultante P t dont Je moment, par rapport à un plan quelconque, est

égal à la somme des moments de P' et P", d'après ce qui a été démontré précédemment. Composant ensuite P t et P'" en une nouvelle résultante P„ le moment de cette dernière sera égal à la somme de ceux de P â et P w , et, par conséquent, à la somme des moments de P ; , P", P'". En continuant ainsi, on arrive évidemment à cette conséquence, que le moment de la résultante R est égal à la somme de ceux des forces du premier groupe P', P' 7 , etc. De même, le moment de la résultante S est égal à la somme des moments des forces Q', Q", Q v/ , etc., du second groupe, qui sont toutes dirigées en sens contraire des premières.

Or, si les deux forces R, S ne forment pas un couple, elles se réduisent à une seule force qui sera la résultante définitive du système proposé , et dont le moment sera égal à la somme algébrique des moments de R et S, en considérant comme positive celle qui est dirigée dans le même sens que la résultante , et comme négative celle qui est dirigée en sens contraire. ' Supposons , par exemple, que cette dernière soit S , et que les coordonnées des points d'application de R et S soient respectivement r, s ; le moment de la résultante du système sera

Rr — S*;

c'est-à-dire qu'il sera égal à la somme des moments des forces qui sont dirigées dans le même sens que la résultante, moins la somme des moments des autres. D'où Ton voit que cet énoncé se simplifiera, en attribuant implicitement le signe — aux forces dirigées en sens contraire de la résultante , et Ton obtient ce théorème général :

Le moment de la résultante d'un système quelconque de forces parallèles est égala la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à un plan quelconque.

On peut remarquer qu'on peut aussi bien convenir de donner le signe implicite — aux forces dirigées dans le sens de la résultante, en y comprenant cette dernière, pourvu

30 COURS DK MÉGANIQUE.

qu'on donne le signe -f- à celles qui sont de sens contraire \ car cela ne ferait que changer de signe tous les termes des équations.

35 . Coordon n ées du centre des forces parallèles . — Le théorème des moments donne immédiatement l'expression des coordonnées du centre des forces parallèles , au moyen de celles des points d'application des forces données , et des valeurs positives ou négatives de ces forces. Il suffit de con- , sidérer successivement les moments par rapport aux trois plans coordonnés rectangulaires ou obliques. Soient P, P', P", etc., les valeurs algébriques des forces du système; x, y, z, x\ y\ s', etc., les coordonnées de leurs points d'application 5 R la valeur de leur résultante générale , et x t , y t , z x les coordonnées de son point d'application y c'està-dire du centre des forces parallèles ; on aura les quatre équations suivantes pour déterminer R et .r^ y t , z t :

Rr, = pjr + py + r/H-.. . ,

Rz,=P;5-hPV+-P'V-H....

Il faut excepter, comme nous l'avons dit , le cas où le système se réduit à un couple 5 ce qui aura lieu si l'on a R = 0, sans qu'il y ait équilibre. Nous nous bornons , pour le moment, à cette simple indication; nous aurons bientôt l'occasion d'entrer dans plus de détails à cet égard.