COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DES COUPLES

30. La considération des couples est due à M. Poinsot, qui a fait connaître les lois remarquables de leur composition et leur usage dans la mécanique. Nous ne ferons, à

PREMIÈRE ANNEE. — STATIQUE. 3l

cet égard , que reproduire la théorie de cet illustre géomètre.

On nomme bras de levier d'un couple la perpendiculaire comprise entre les directions des deux forces qui le composent, et aux extrémités de laquelle on peut supposer ces forces appliquées. Le moment d'un couple est le produit de l'une de ces forces par le bras de levier.

Il y a à distinguer deux sens pour les couples qui sont dans un même plan. A cet effet, on imaginera que l'on fixe le milieu du bras de levier de chacun d'eux, et que ces bras de levier prennent le mouvement que tendent à leur imprimer les forces qui sont appliquées. Il peut y avoir deux sens différents pour ces mouvements, et les couples pour lesquels ils seront les mêmes seront dits couples de même sens.

Pour désigner d'une manière commode le sens d'un couple., nous concevrons, par le milieu de son bras de levier, une perpendiculaire à son plan , du côté où un observateur, placé le long de cette ligne , les pieds contre le plan , verrait le mouvement s'exécuter de gauche à droite. La direction de cette perpendiculaire , prise à partir du plan , est ce que nous nommerons la direction de Vaxe du couple.

Cela posé, nous allons démontrer ce premier théorème.

37. Un couple peut, sans changer d'action , être transporté d'une manière quelconque , pourvu que son axe reste parallèle et de même sens, et que son nouveau bras de levier soit lié invariablement au premier.

Le plan du couple reste alors parallèle à lui-même, mais les forces peuvent changer de direction. Nous examinerons d'abord le cas où elles restent parallèles à ellesmêmes.

Soient AB, A'B' (Jîg. i3) les deux bras de levier, qui sont

alors parallèles , et P, AB le couple proposé •, appliquons en A', ainsi qu'en B', deux forces P', P" égales et parai-

lèles à P et de sens opposés $ l'ensemble de ces six forces produira évidemment le même effet sur le système que les deux premières, puisque les quatre autres se détruisent deux à deux. Or les deux forces égales et de même sens , appliquées en A et B', donnent une résultante parallèle et de même sens égale à leur somme , et appliquée au milieu O de AB', qu'on supposera lié invariablement à ces deux points *, de même les forces appliquées en B et A ; donnent une résultante appliquée au milieu de A'B, supposé lié aux points B et A'. Ces deux résultantes sont égales, de sens opposés , et appliquées au même point ; car les lignes AB', BA', diagonales du parallélogramme ABA'B', se coupent en leur milieu : elles se détruisent donc, et il ne reste

que le couple P', A'B', qui n'est autre chose que le couple primitif transporté parallèlement à lui-même.

Considérons maintenant le cas où le second bras de levier A'B' ne serait pas parallèle au premier. Nous pourrons, d'après ce qui vient d'être démontré, transporter le couple proposé parallèlement à lui-même , de manière que le milieu de son bras de levier coïncide avec le milieu O de

A'B' (fig* i4)î et il reste à démontrer que le couple P, AB aurait la même action sur le système , si on le faisait tourner dans son plan , de manière que son bras de levier AB vînt coïncider avec A' B' qu'on supposerait lié invariablement avec le système. Pour cela, appliquons en A' ainsi qu'en B' deux forces P', P ;/ perpendiculaires à A'B', égales à P et en sens contraire l'une de l'autre $ ces quatre forces ne changeront rien à l'action du couple proposé, puisqu'elles se détruisent deux à deux. Mais les deux forces égales P, P", que l'on peut supposer appliquées au même point D lie au système, donnent une résultante dirigée suivant la bissectrice DO de leur angle, qui est égale et opposée à celle des forces P, P' 7 , appliquées en C : il ne reste

donc plus que le couple P', A'B'.

PREMIÈRE ANNÉE. — STÀÏÏQUE. 33

Donc l'action d'un couple reste la même quand on le transporte de manière que son axe reste parallèle à luimême et de même sens, et que son nouveau bras de levier soit lié invariablement au premier.

38. Un couple peut toujours être remplacé par un autre de même sens, situé dans le même plan et ayant même moment.

Soit un couple quelconque P, AB (fig* i5); prolongeons son bras de levier d'une longueur quelconque BC, et appliquons aux points B, C des forces égales et opposées Q," Q', telles que l'on ait Q X BC = P X AB -, ces quatre forces ne changeront rien à l'action du couple proposé. Mais les deux forces P, Q' appliquées en A et C , auront une résultante égale à leur somme , et appliquée en B , en vertu de l'égalité précédente. Cette résultante sera égale à la somme des forces P, Q ; appliquées à ce même point en sens contraire; ces forces se détruisent, et, par conséquent, il ne

reste plus que deux forces formant Un couple Q, BC de même sens et de même moment que le couple proposé. Et comme on peut ensuite le transporter de manière que son axe reste parallèle à lui-même, on arrive, en réunissant ces divers résultats, à la proposition suivante :

Un couple peut être remplacé par tout autre dont l'axe est parallèle au sien, et de même senSj et dont le moment est le même.

L'action d'un couple est donc complètement déterminée par la direction de son axe et par son moment. Nous supposerons dorénavant que le moment soit représenté par une longueur portée sur là direction de l'axe $ à partir de son origine ; de cette manière , les couples seront figurés géométriquement, comme les forces, par une ligne donnée en grandeur et en direction. Seulement, dans le cas des couples, cette ligne pourra être transportée parallèlement à elle-même d'une manière quelconque, tandis que, dans le 1. . 3

cas des forces , elle ne peut l'être que le long de sa propre direction.

Si le moment d'un couple est égal à zéro , il faut que la force ou le bras de levier soit nul , et, dans les deux cas , il y a équilibre.

Composition des couples.

39. Cas où leurs axes sont parallèles. — Ces couples, ayant leurs plans parallèles, peuvent être tous ramenés dans un seul plan; et, en leur conservant respectivement les mêmes moments , on peut leur donner à tous un bras de levier égal , et les placer de manière que tous les bras de levier coïncident. Les forces relatives aux couples de même sens coïncideront alors en direction , et celles qui se rapportent aux couples de sens différents seront directement opposées aux premières. À chacune des. extrémités du bras de levier commun , elles se composeront en une seule égale à la différence entre la somme de celles qui agissent dans un sens et la somme de celles qui agissent en sens contraire, et dirigée dans le sens de la plus grande de ces deux sommes. Ces deux résultantes formeront donc un couple ayant le bras de levier commun , et pour moment le produit de l'une de ces résultantes par ce même bras de levier : ce moment sera donc évidemment égal à la différence entre la somme des moments des couples agissant dans un sens et la somme des moments des couples de sens opposé , et il agira lui-même dans le sens de la plus grande de ces deux sommes ; ce que nous exprimerons en disant, pour abréger, que son moment est la somme algébrique des moments des couples composants , en regardant comme positifs ceux des couples qui agissent dans un sens , et comme négatifs ceux des couples qui agissent en sens contraire. Ce couple résultant pourra , d'ailleurs , être transporté et transformé d'après les

principes précédents. Ce résultat peut s'énoncer de la manière suivante :

Pour composer des couples dont les axes sont parallèles, on transportera tous ces axes de manière quils aient leur origine en un même point; on les composera comme s'ils représentaient des forces en grandeur et en direction; et la résultante ainsi obtenue représentera en grandeur et en direction Vaxe du couple résultant.

40. Cas des axes non parallèles, — Considérons d'abord deux couples seulement, et ramenons leurs axes à avoir leur origine en un même point A. Soient AB, AC {fig. 16) ces axes en grandeur et en direction. Les plans de ces couples couperont le plan BAC suivant deux droites AM, AN respectivement perpendiculaires à AB, AC et passant au point A. Donnons aux deux couples des bras de levier AM, AN respectivement égaux à AB, AC, qui représentent leurs moments ; les forces appliquées à ces bras de levier auront alors une même intensité égale à l'unité. Enfin, transportons ces couples de manière quils aient chacun une force de même sens appliquée en A. Les droites MA, NA, qui représentent les moments des couples, sont disposés de manière que si l'on fait tourner leur système d'un angle droit autour de A, de manière que AM vienne coïncider avec AB, AN coïncidera alors avec AC; et la diagonale AO du parallélogramme construit sur AM et AN coïncidera avec la diagonale AD du parallélogramme BACD.

Cela posé, transportons le couple qui est sur AB de manière que son bras de levier soit le côté ON; une de ses forces détruira celle qui est appliquée en N, et les quatre forces se réduiront à un couple ayant pour bras de levier OA, et dont Taxe sera dirigé suivant la diagonale AD du parallélogramme BACD, qui est perpendiculaire au plan du couple et située du côté convenu. De plus , les forces qui constituent ce couple résultant étant égales à celles des

deux autres, son moment devra aussi être représenté par stn bras de levier AO , ou par son égal AD •, d'où résulte ee théorème :

Deux couples, dont les axes ne sont pas parallèles* se composent en un autre dont l'axe est représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les axes des deux couples composants.

On pourra composer ainsi un nombre quelconque de couples, et Ton renfermera les deux cas dans une seule proposition qui s'énoncera comme il suit :

Pour composer un nombre quelconque de couples dont les axes ont des grandeurs et des directions quelconques , il faut transporter ces axes parallèlement à eux-mêmes, de manière qu'ils aient tous leur origine en un même point, et les composer comme s'ils représentaient des forces en grandeur et en direction. La résultante, ainsi obtenue , sera, en grandeur et en direction, l'axe du couple résultant.

Toutes les questions relatives à la composition et décomposition des forces appliquées en un même point se reproduiraient ici pour les couples. On aurait le théorème du parallélipipède des axes comme on a eu celui du parallélipipède des forces, et les relations entre les axes composants et Taxe résultant seraient les mêmes qu'entre les trois arêtes d'un parallélipipède et sa diagonale ; nous ne croyons pas nécessaire de revenir sur ces détails.

Conditions d'équilibre des couples.

41. Si les axes des couples sont parallèles, c'est-à-dire si ces couples sont dans un même plan ou dans des plans parallèles , la condition nécessaire et suffisante pour leur équilibre est que la somme algébrique de leurs moments soit nulle , puisque cette somme est le moment du couple résultant.

Si les axes des couples ne sont pas parallèles , il faudra ,

d'après l'identité de la composition des axes et de celle des forces , que les sommes algébriques des projections des axes sur trois droites non situées dans un même plan , soient séparément nulles. Si tous les axes étaient dans un même plan , il suffirait que ces sommes fussent nulles relativement à deux droites non parallèles situées dans ce plan. Ce cas est celui où les plans de tous les couples sont perpendiculaires à un même plan.