rc rfe parabole. — Soient
j 2 = a/?x , ydy = /?rf.r , on aura
en supposant que l'arc commence au sommet , et , par conséquent, devienne nul pour jy = o ; on trouvera ensuite
On connaîtra donc ainsi x l etyi.
131 . Aire du triangle. — On prendra l'origine à l'un des sommets , et l'axe des x perpendiculaire à la base. Les
droites dont les deux autres côtés font partie auront des équations de la forme
y = mx , y = m' x.
Soient a la base et h la hauteur, Taire du triangle sera
, , , ah .,
égale a — ? et 1 on aura ensuite
— x { = (/?/' — m) fx*dx = (m' — m )-~rt
^,= iK.-»,>)/^= ( -^^
Faisant x = h et désignant par p l'ordonnée * h du
milieu de la base , il vient
*i = -5-> Ji = -5-9 — = y 5. x y n
La dernière équation montre que le centre de gravité se trouve sur la droite qui joint le sommet au milieu de la base ; et la première* indique qu'il est situe aux deux tiers de cette ligne à partir du sommet , ou au tiers à partir de la base.
132. Aire du cercle. — Soit y 2 = R 2 — x* l'équation du cercle, et cherchons le centre de gravité de l'aire comprise entre deux parallèles à l'axe des jr y correspondantes aux abscisses x , x. Nous aurons , en désignant les aires par la lettre A ,
Ax t z=f2xs/W—x'dx = — \{K>—x>y+\(R>--xï t y; supposant x = R , il vient
et
A = R 2 arccos — - — x y R* — x\-
Si , de plus , x = o, on aura
ttR* 4R
Si, au lieu d'un segment, on considère un secteur, la question se ramène de suite à trouver le centre de gravité d'un arc de cercle. En effet, le secteur peut être considéré comme la limite d'une infinité de triangles égaux ayant leur sommet commun au centre. Les centres de gravité de ces éléments sont équi distants et situés sur un arc de cercle compris entre les mêmes rayons que le premier, et décrit du
même centre avec un rayon égal à -«-• Le centre.de gravité
du secteur sera donc le même que celui de cet arc.
133. Aire de la parabole. — Soit y 1 = zpx, on aura , en considérant l'aire comprise entre l'axe des x, l'ordonnée et l'arc partant du sommet ,
A = — ^ — x 7 > A.r, = f xydx = \)7.p J x* dxz=. — - — x 2 >
Ay l = ±fy i dx=pfx<lx=: — ', d'où
134. Aire de la cycloïde. — L'équation de Ja cycloïde rapportée à son sommet est
x -= yJiar — > 2 -+- a arc cos >
]3o COURS DE MECANIQUE.
tournant autour de l'axe des x. On aura
ydy=:pdx 9 ds =r - — >
A = y Srtr JF+? = ^ Lr>+pV+ c,
A*, = yfxydy ^/7 7 +7 , = p fy % dy )/r 7 + p'
= p [jir'+pr -i/'lr»+/» , )W]
Si l'aire commence à partir du sommet de la parabole', on aura
137. Considérons encore la surface de révolution engendrée par la cycloïde tournant autour de sa tangente au sommet ; son aire aura pour expression
L'abscisse de son centre de gravité sera donnée par l'équation
Ax, = 2 7T J xyds = 2 ir fiïâf xy* dy =z^Tzs/Ti \\xy* — \Jy 1 dx) ;
mais
donc
Ax f = j tt*/ ^2«r 4- ^ ^2a (3^ -+- 4«) (a« — / ) T -f- C
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. l3l
Si Taire commence au sommet , on a
x t esl donc déterminé.
Si l'on fait y = 2 a , on trouve
iÔTTfl 2 8a
A = — ^ — > Xt = 7va p-
Exemples relatifs aux volumes.
138. Pyramide triangulaire. — Prenons l'origine au sommet de la pyramide, et l'axe des x perpendiculaire à la base. Soient b Taire de cette base , et A la hauteur de la pyramide-, on aura
b r h , bh ' b r* % , m*
V = — d'où
D'ailleurs les centres de gravité des sections parallèles à la base sont en ligne droite , et , par suite , celui de la pyramide est sur cette même droite, qui joint le sommet au centre de gravité de la base. La valeur de x t montre qu'il se trouve aux trois quarts de cette ligne à partir du sommet ; et comme on a choisi une base quelconque, le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est le point de rencontre de toutes les lignes qui joignent un sommet au centre de gravité de la base opposée.
139. Cône à base quelconque. — Si Ton considère d'abord une pyramide polygonale , on peut la partager en pyramides triangulaires , et Ton reconnaît sans peine que son centre de gravité est sur la ligne droite qui renferme
l32 COURS DE MÉCANIQUE.
ceux -des sections parallèles à la base , et qu'il se trouve aux trois quarts de cette ligue à partir du sommet. Cette proposition étant indépendante du nombre des côtés de la base s'applique à un cône dont la base est une courbe plane quelconque.
