Ellipsoïde. — Soit l'équation
on aura
V = ^/(«» — x*)dx, Yx t =:~f(a* — x*)xdx;
d'où
f(a} — x 7 )xdx
.f{a 7 —x 7 )dx '
Xi est donc indépendant des axes £, c. Si l'on fait commencer le segment à partir du centre , on aura
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. l33
si l'on fait x =; a , il vient
x, ==|fl.
142. Secteur sphérique. — Les formules que nous avons données en coordonnées polaires s'appliquent avec avantage au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d'un axe, que nous choisirons pour axe des z. On suppose que le poids spécifique p dépend du rayon vecteur p et nullement des angles et <p : si les limites du premier de ces angles sont O et 0, celles du second o et 2 7r, et celles du rayon, R et R, on trouvera
o,— COSG) /
P = 2?r (cosG — cos G) I Pf*dp>
Ps, = w (sin a G — sin a G ) / />p s rfp.
JR.
On ne peut effectuer les, intégrations que quand on con* naît la fonction p. Dans le cas où p est constant, on a
P = 2 Itf (COS Q — COS G) 5 -y
Pz,=rir/>(sin a G — sin'Go) — -\
d'où
__ 3 (cos G -+• cos Q ) (R 4 — RJ)
Si R = o et O = o, on trouve
*,= — (i -H cos G).
Équilibre d'un fil pesant
Chaînette. — On appelle ainsi la courbe formée par un fil flexible dont deux points sont fixes , et qui est soumise à
l34 COURS DE MÉCANIQUE.
Faction seule de la pesanteur. Toutes les forces étant parallèles , la courbe sera comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes B et B'. Nous prendrons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires , dont l'un AY vertical et en sens contraire de la pesanteur. Nous supposerons le fil homogène , et nous représenterons par e son poids pour l'unité de longueur; d'où il suit que es sera le poids d'un arc de longueur ir, et que l'on aura
Cela posé, les équations générales se réduiront à
d'où l'on déduit immédiatement
i) T — = c, T-f- = s* 4- ce', -£- — - s + c'. ds ds dx c
La première de ces équations montre que la composante horizontale de la tension est la même en tous les points. En diflerentiant la dernière , on trouve
ou
en posant
dp dx
Tx- p -
On obtient, en intégrant cette équation ,
/.(/? + ^l -f-/? 2 )= - X -h OLj
PRIMIÈBB AHHKB. — STATIQUE. Î35
d'où
tx
p 4- ^i -+-p*=ze e Résolvant par rapport à p et le remplaçant par -y- 5 il vient
(«* SX \
et la troisième des équations ( 1) donne , par suite y
(ex , ex \
en intégrant — > on obtient
/ tx ex \
c t étant une nouvelle constante arbitraire. Les quatre constantes c, c', Ct, a se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés , et a une longueur donnée, et que, de plus , les arcs 5 se comptent à partir du point 6' par exemple.
Nous prendrons, pour plus de simplicité, l'origine des. coordonnées en B'> et nous désignerons par a et & les coordonnées de B, et par l la longueur totale du fil donné.
Faisant successivement x = o, y = o, puis x=a>x = b dans l'équation de la courbe , on obtient
/ «e as \
d'où
l36 COURS DB MÉCANIQUE.
L'équation qui exprime que 5 est nul pour x = o est
et pour que s soit égal à / pour x = a , il faudra qu'on ait
/«e as \
ou, en substituant la valeur de c' tirée de l'équation précédente ,
ajoutant et retranchant les équations (3) et (4) > il vient
éliminant a entre ces deux équations , en les multipliant membre à membre , on obtiendra, en prenant les racines carrées,
at ou , en posant — = z ,
La valeur de z peut se déterminer par l'intersection de la courbe y = e' — e~ z avec une droite ayant pour équa-
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l37
tion
On peut encore résoudre l'équation en z par la méthode ordinaire des substitutions successives. Connaissant z et par suite c , on connaîtra et au moyen d'une quelconque de deux équations qui viennent d'être multipliées entre elles , ou mieux encore , au moyen de l'équation que Ton obtient en les divisant. Cette équation donne , en prenant les logarithmes de ses deux membres ,
, l-hb as
