aH
Connaissant a , l'équation e" — e~*=2c' donnera c'$ et enfin c, sera connu par l'équation
143. Les constantes étant déterminées, il est facile de connaître les coordonnées du point le plus bas. En effet, pour ce point on a
dy sx sx
— =o, OU h a = a,
dx c c
d'où
OU
sx ca
(-a = o, et x=z
Si l'on prend pour axe des y la verticale qui passe par
c et
ce point, il suffira de changer x en x ? et l'équation (2) deviendra
ex tx
l38 COURS DE MÉCANIQUE.
Le second membre ne changeant pas , quelque signe que Ton donne à x, il s'ensuit que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des y, c'est-à-dire à la verticale qui passe par le point le plus bas.
Si l'on change y enj'-hc, , c'est-à-dire si l'on prend pour origine le point de cette verticale qui est au-dessous du
point B' de la quantité — c t , et que l'on pose - = m , l'équation de la courbe prend la forme plus simple ,
Si les deux points B', B sont à la même hauteur, on a
et, par suite,
2aH = o;
l'abscisse — ma du point le plus bas est donc égale à - > comme cela était évident à priori. L'équation qui déter-
mine z devient = — ? et celle de la courbe ne dif-
fère pas de l'équation (5). La valeur de a étant > est
égale à — z $ et la constante c 1 = sera égale à
144. La chaînette jouit de la propriété remarquable, que son centre de gravité est situé plus bas que pour toute autre courbe isopérimètre , ayant les mêmes extrémités.
En effet, l'ordonnée du centre de gravité du périmètre de l'une quelconque de ces courbes est
jfyby*
PRE M liaE ANNÉE. STATIQUE. l3o,
et Ton doit avoir
les limites de ces intégrales étant les abscisses des deux points de suspension. Or, la recherche du minimum de la première intégrale , en ayant égard à la condition exprimée par cette équation , conduit à l'équation d'une chaînette , comme on Fa vu dans le calcul des variations.
145. Nous allons démontrer maintenant quelques propriétés géométriques de la chaînette. L'équation
donne les suivantes :
d'où Ton conclut
dx
x* m\ dx 1 m 3
Soient R le rayon de courbure , N la longueur de la normale, (à l'inclinaison de la tangente sur l'horizontale; on aura
j = 9 R = ~ = mséc 2 <*, N = — = R.
cosw m m
On trouvera encore
ds = dx i/
dy l d*r ,
i H- -7— = m — ^- dx 9 dx 2 dx*
l4o COURS DE MÉCANIQUE.
d'où
dy
s • =z m — , dx
en prenant le point le* plus bas pour origine des arcs. On déduit de là
s 7 dy 7 y 7
m 7 clx 7 m 7
donc
m étant l'ordonnée à l'origine.
On obtient encore facilement les formules suivantes :
jn y-*-s m m __ y— s
d'où Ton tire x en fonction de y et 5 , et par suite en fonction de 5, puisqu'on a
Si du pied P (/î#. 33) de l'ordonnée d'un point quelconque M , on abaisse sur la tangente MQ une perpendiculaire PQ , on aura
PQ = y cos w = m ; donc
MQ = s/y 7 — m 7 z= s.
Ainsi le point Q appartient à la développante de la chaînette-, QP est la tangente à cette courbe, et comme sa longueur est m et par conséquent constante, cette développante n'est autre chose que la courbe appelée tractrice. Pour avoir son équation , il suffirait donc d'exprimer cette dernière condition , qui conduit entre les coordonnées u , f, à l'équation
du A /m 7
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. H^l
On y parviendrait encore par les formules qui déterminent les coordonnées du point Q de la développante d'une courbe quelconque, en exprimant que MQ == 5 ; ces formules , qu'on obtient immédiatement , sont
dx dy
u = x — s—> vz=y — s— • as as
En éliminant a:, y, s au moyen des équations relatives à la chaînette , et qui donneront d'abord x et y en fonction de 5, on trouvera l'équation finie de la tractrice. On la trouvera aussi en intégrant l'équation précédente, et l'on obtiendra
/ , / m -+- si m* — v* \ uz=z — Vm'— v 2 -+• ml.l — ]•
Il ne faut pas ajouter de constante, parce qu'on doit avoir à la fois u = o , v=m. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des y qu'elle touche en B (fig. 34) ? et a pour asymptote l'axe des x.
En remplaçant u et v> par x , y, on a pour équation différentielle de la tractrice,
d'où
et
dx y m 2 — y 2
dy~~ X
ydx = —dy \Jm 2 —y 2 ,
f ydx=- f dysjm 2 — ?.
Donc , si l'on décrit de A comme centre avec m pour rayon, un quart de cercle ABC , les aires BIN , BMPA seront équivalentes-, et Taire entière comprise entre la courbe et les
1^2 COURS DE MÉGANIQUE.
axes sera égale au quart de cercle, ou à — -*-• Si l'on cherche
la valeur du rayon de courbure OM = R et de la normale MU = N , on trouve
Jm 7
