VT

et , par conséquent , O est sur la perpendiculaire à AX élevée par le pied T de la tangente.

Autre hypothèse sur la force.

146. Examinons maintenant la courbe que formerait le fil si la force verticale était proportionnelle à la projection horizontale de l'arc, et non à l'arc lui-même. Ce cas est, à peu de chose près , celui des ponts suspendus.

Soit £ la force rapportée à une projection horizontale égale à l'unité} Y ds étant la composante verticale de la force appliquée à Tare ds dont la projection est dx^ on aura

Y ds = — c dx \ et comme X = o , les équations d'équilibre seront

d'où

as as dx c

c et c' étant deux constantes arbitraires.

La première de ces équations montre encore que la composante horizontale de la tension est constante.

PREMIERE ANNEE. — STATIQUE. ifô

Intégrant la dernière, et prenant pour origine l'un des points fixes , on aura

La courbe formée par le fil est donc une parabole dont Taxe est vertical. Les constantes c , c' se détermineront en exprimant que la courbe passé par le second point , et que sa longueur est égale à une ligne donnée.

Supposons, par exemple, que les deux points donnés soient sur une même horizontale; soient 2a leur distance, et l la longueur de la courbe.

L'équation de la courbe sera satisfaite par y = o , x = 2 a , ce qui donne

ta , 1» % / ta

l-<r = o, dou c = 9

et , en substituant ,

y = ;r;(* 2 — 2ax )>

et changeant x — a en x ,

d'où

/ a 7 1* c / ta . j

Cette équation déterminera c , et , par suite , c' ; elle se résoudra par approximation , et le calcul sera très-simple dans le cas où la flèche de Tare compris eutre les deux points fixes sera très-petite par rapport à la corde ia % En effet,

lAA GOUBS DE MÉCANIQUE.

— sera très-petit, et l'on pourra développer en séries trèsconvergentes les différentes parties du second membre de r équation. On aura ainsi

c % f as I i 1 a 2 \ , a 3 s 2

/ = 2a + if!i!. d . où e=s "& .

c * sJ{Zl—7.a)

447. Dans les ponts suspendus, les forces ne sont pas réparties sur toute l'étendue de la chaîne , mais sont appliquées à un nombre limité de points dont les projections horizontales sont équidistantes. On a alors un polygone dont les sommets jouissent de la propriété remarquable d'être situés sur une même parabole. En effet , désignons par a l'inclinaison d'un côté quelconque sur le plan horizontal , par m la tension horizontale; supposons qu'il y ait un côté horizontal, et prenons son milieu pour l'origine des coordonnées, et soit Ay la différence des ordonnées de deux sommets consécutifs correspondante à la différence constante A x de leurs abscisses; nous aurons

d'où

tang a = — i l et tang a = — \

" Ax

g Aj" =r - {x -f~| Aj:) Ax,

et, par suite,

tx %

Or, x = — donne y = o •, donc

Je

et, par conséquent,

équation d'une parabole dont le sommet est sur la verticale menée par le milieu du côté horizontal , et renferme tous les sommets du polygone situés de part et d'autre du côté horizontal. Il en serait de même s'il n'y avait pas de côté horizontal.

Autres exemples de systèmes flexibles en équilibre.

148. Cherchons encore la courbe formée par une voile flexible , soumise à l'action du vent. Nous supposerons que cette voile soit rectangulaire, que deux côtés opposés soient fixes et perpendiculaires à la direction du vent; et nous partirons de la loi suivante, que la pression d'un fluide en mouvement sur un élément fixe d'une surface est proportionnelle à l'étendue de sa surface, et au carré de la vitesse du fluide estimée dans le sens de la normale à cet élément.

D'après cela , si l'on fait une section dans la voile par un plan perpendiculaire aux côtés fixes , on aura une courbe dont on pourra considérer tous les éléments comme sollicités par des forces normales proportionnelles à leurs longueurs et. aux carrés des cosinus des angles formés par la direction du vent avec la normale à la courbe. Donc, d'après les propositions démontrées n 08 86 et 145, cette courbe sera une chaînette, pour laquelle la pesanteur agirait dans le sens même du vent.

Si, au lieu d'un courant d'air, on avait un gaz en équii. 10

libre , la pression serait normale , et égale pour des éléments égaux. Donc, d'après le n° 86, la courbe serait alors un arc de cercle.