Équilibre d'un corps qui peut tourner autour d'tin

PREMIÈRE ANNEE. STATIQUE. l5t

axe fixe, — Considérons maintenant un corps solide percé d'un trou cylindrique , au travers duquel passe un cylindre fixe d'un diamètre à peu près égal. Supposons ce corps sollicité par deux forces situées dans un plan perpendiculaire à Taxe du cylindre , et cherchons les conditions d'équilibre, en ayant égard à la force de frottement. Concevons que tout le système soit réduit à la section par ce plan perpendiculaire, ou, en d'autres termes, que le corps n'ait pas d'épaisseur sensible.

Soit C (fig- 36) le point de contact du cercle fixe ayant son centre en O, et du cercle mobile appartenant au corps. Il doit y avoir équilibre entre les deux forces données P, Q et la force de frottement F appliquée en C tangentiellement au cercle. Il est donc nécessaire et suffisant que les deux forces P, Q aient une résultante passant en C et faisant avec la normale un angle moindre que celui du frot-> tement.

Ainsi , lorsque les forces données auront une résultante qui passera par un point quelconque C du cercle appartenant au corps , et fera avec sa normale un angle égal ou inférieur à celui du frottement, le corps sera en équilibre si l'on fait en sorte que le contact avec le cercle fixe ait lieu au point C.

En considérant le cas extrême où l'équilibre est au moment de se rompre, la résultante R des forces P et Q fait avec la normale au cercle un angle égal à l'angle du frottement; la pression normale exercée sur le cylindre fixe est

R la projection de la résultante R sur le rayon, ou ■•

elle est donc toujours moindre que la résultante R. La force tangentielle appliquée au cylindre fixe s'obtiendra en multipliant la pression par le coefficient f, et sera, par

conséquent, égale à ■ . Leur résultante ne sera autre

l52 COURS DR MECANIQUE.

chose que R, comme cela devait être évidemment, puisque la résultante R des forces données est détruite par la résistance du cylindre fixe.

154. Équilibre d'un corps sur un plan incliné. ~ Supposons un corps pesant posé sur un plan incliné à l'horizon, et sollicité par une force P comprise dans le plan vertical , passant par le centre de gravité du corps , et la normale au plan incliné. Réduisons tout le système à la section faite par ce plan , et cherchons la condition d'équilibre en tenant compte du frottement.

Soient IV (fig* 37) la verticale menée par le centre de gravité du corps, PI la direction de la force P, Q le poids du corps, et a l'inclinaison du plan LA sur le plan horizontal AB $ il faut exprimer que leur résultante est détruite par la résistance normale du plan AL et par le frottement. En désignant par l'angle de la force P avec le plan incliné , la pression exercée sur ce dernier sera égale à

Q cos a — P sin0>

étant considéré comme positif au-dessus de la direction AL, et comme négatif au-dessous. Si l'équilibre est au moment de se rompre , la force de frottement sera égale à

f ( Q cos a — P sin ) ;

mais , en général , elle en sera une fraction quelconque Ar. La composante totale dans le sens du plan sera

. Q sin a — P cos ;

et pour que l'équilibre ait lieu, il est nécessaire et suffisant que cette expression, positive ou négative, soit égale à la force de frottement \ ce qui s r exprimera par l'équation suivante :

Q sin a — P cos = hf[ Q cos a — P sin 0) ,

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l53

k étant compris entre — i et -F i, et devenant — iou + i dans le cas où l'équilibre est sur le point de se rompre, soit dans un sens, soit dans l'autre.

On tire de cette équation

Q (sîn a — X/cos a)

cos — A-ysin

Si k = o et = o , on retombe sur l'expression connue

P = Qsina.

155. Cherchons la direction dans laquelle il faut faire agir la force P pour obtenir le plus d'avantage possible , en supposant le corps prêt- à glisser ; et , pour cela , cherchons la^yaleur de , qui , en supposant k = i , donne le minimum de P ou le maximum du dénominateur. Les deux premières dérivées de ce dernier, par rapport à 0, ont pour expressions

— sin —y cos 0, et

— cos0 -j-ysin 0.

En égalant la première à zéro, on trouve

tang = — /;

d'où il suit que la force P doit être dirigée en dessous du plan , et faire avec lui un angle égal à l'angle du frottement. La seconde dérivée se réduit alors à

— cos0 (i -h/ J );

elle est donc négative pour cette valeur de 0; d'où il suit que le dénominateur de P est maximum, et, par suite, P minimum.

On pourrait encore chercher l'inclinaison 0, qui donne la plus petite valeur de P, propre à faire remonter le corps.

l54 COURS DE MECANIQUE.

Il faut alors supposer k = — i , et chercher le minimum de

rrr-. — - ou le maximum de cos 6 -4- fsin 0. On en

cos ~h/sin J

tire

— sin -h /"cos 6 = o, tangos,/;

ce qui montre que la force doit être dirigée au-dessus du plan incliné et faire avec lui un angle égal à l'angle du frottement, quelle que soit son inclinaison a.

Cet angle , qui est le plus favorable à la traction d'un corps pesant sur un plan quelconque, porte le nom à! angle de traction; et, comme nous venons de le prouver, il n'est autre que l'angle du frottement.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie du frottement. Nous n'avons voulu que donner une idée de la manière dont les forces de cette espèce modifient les conditions de l'équilibre; ce qui est de la plus haute importance dans les applications. Nous renvoyons , pour de plus grands détails, aux Traités spéciaux sur les machines.