CHAPITRE XL

APPLICATION DE LA COMPOSITION DES FORCES A L'ATTRACTION MUTUELLE DES CORPS.

156. L'ensemble des phénomènes célestes nous conduira plus tard à admettre que les molécules des corps s 1 attirent proportionnellement à leurs masses , et en raison inverse du carré de J/sur dislance. Il est donc convenable, pour préparer à l'étude des diverses questions relatives au système du monde, de calculer quelques effets de l'attraction des corps; et nous considérerons plus particulièrement ceux dont la forme se rapproche le plus de celle que nous présentent les corps célestes.

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l55

Nous allons nous proposer d'abord de calculer l'action mutuelle de deux sphères composées de couches concentriques homogènes , mais dont la nature peut dépendre de leur distance au centre. Nous supposons que tous les points de l'une attirent chacun des points de l'autre , de manière que Faction et la réaction soient égales; en sorte que, si Ton joignait deux points par une droite inflexible, l'action mutuelle de ces points ne produirait aucun mouvement. Cette action peut changer suivant une loi quelconque , avec la distance des deux points; nous supposerons ici qu'elle varie en raison inverse du carré de la distance.

Si nous concevons que toute la matière qui compose l'unité de masse, tant de l'une que de l'autre substance, soit réunie en un même point, sans rien perdre de son action, et que ces deux points soient placés à F uni té de distance Fun de l'autre, ils produiront l'un sur l'autre une force attractive égale , que nous désignerons par y, et qui est une des données nécessaires de la question. En la joignant avec l'hypothèse, que tous les points s'attirent mutuellement en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance , la question est complètement déterminée.

Si l'on considère d'abord Faction mutuelle de deux éléments infiniment petits dm, dm! ', on peut considérer les distances de leurs différents points comme égales à l'une quelconque d'entre elles, que nous désignerons par u. Toutes les parties égales exerçant, par hypothèse, une même action sur un même point , à la même distance , la matière comprise dans la masse dm exercera sur dm' une action qui sera dans le rapport de dm'.i avec celle qu'exercerait sur dm' la matière renfermée dans l'unité de masse , et concentrée au point où se trouve dm. Cette dernière action sera dans le rapport de dm! \ i avec celle qui aurait lieu si, au lieu de dm\ on substituait l'unité de masse concentrée au même point. Mais cette nouvelle action est à celle que

l56 COURS DE MÉCANIQUE.

nous avons représentée par f y dans le rapport de i :u s . Donc, l'action des deux éléments dm, dm sera exprimée par

fdm dm'

en négligeant la quantité infiniment petite d'un ordre supérieur, qui provient de la différence des valeurs de m, et qui ne changera pas les limites des sommes des éléments dans lesquels cette expression entrerait comme facteur.

Cela posé , considérons une couche sphérique d'une densité égale à p, d'une épaisseur infiniment petite , dont le centre est en O , et qui est comprise entre les surfaces sphériques dont les rayons sont r et r-\- dr\ son action sur un élément dm! situé en A à une distance a de son centre sera dirigée suivant la droite AO, autour de laquelle tout est semblable , et il suffira de faire la somme des composantes de toutes les forces suivant cette direction, pour avoir la résultante cherchée.

Soit M un point quelconque de la circonférence dont le rayon est r\ faisant

MOÀ = Ô r MON = </0, MA = tf, OA = a; d'où résulte

Les deux rayons OM, ON (fig* 38) étant prolongés jusqu'à la circonférence dont le rayon est r -+- dr, la surface infiniment petite rdôdr tournant autour de l'axe AO engendrera un volume 2 nr* s'm 6 dû dr, dont la composante de l'action sur dm f suivant l'axe AO sera

izpfr^drdm' sin QdO , a m 3

*On aura donc l'attraction de la couche sphérique sur dm! y

en faisant la somme des expressions semblables quand variera depuis o jusqu'à 7r , et , par suite , u depuis a — r jusqu'à a -+- r, si le point est extérieur } et depuis r — a jusqu'à r -f- ce , s'il est intérieur.

Exprimons d'abord la différentielle en fonction de u seulement. On tire de l'équation entre x et 6 ,

udu = arsin 0<f6.

L'expression ci-dessus devient donc

*?f rdr dm , /V-f-a J - a

) du,

dont l'intégrale est

!if4f!:^f tt + ^z£, + c.

Si le point est extérieur, cette intégrale prise entre les limites a — r et a -h r a pour valeur

fapfr'drdm'

on voit qu'elle est la même que si toute la matière était réunie au centre.

Pour avoir l'attraction exercée par un solide composé de couches sphériques homogènes, mais dont la nature peut varier avec r d'une manière arbitraire , il faudrait faire la somme des actions de toutes ces couches, et comme elles sont toutes les mêmes que si l'on réunissait ces diverses couches au centre , on obtient la proposition suivante :

Un solide composé de couches sphériques homogènes , de nature différente, et dont tous les points attirent un point extérieur en raison inverse du carré des distances, exerce sur ce point la même action que si toute la matière qui le compose était réunie en son centre.

l58 COURS DE MÉCANIQUE.

Dans le cas d'une sphère homogène, de rayon R, Fex-

. , . b*ùfWdm' pression de celte action sera « — - t

Si le point À était intérieur à la couche infiniment mince que nous avons considérée, les limites de u seraient r — a et r-t- a , et la somme se réduirait à zéro. D'où résulte cette autre proposition :

Dans la même loi d? attraction > Faction du même solide est nulle sur tout point situé en dedans de la surface intérieure. Et pour un point situé dans l'intérieur de sa masse, l'action se réduit à celle du solide compris entre la surface intérieure et celle de la surface sphérique concentrique qui passe par ce point.

Il résulte de là que Faction d'une sphère entière sur un point de son intérieur est bornée à Faction de la sphère concentrique dont la surface passe par ce point.

Dans le cas où toutes les couches sont de même nature , si R désigne le rayon de la sphère et r la distance du point que l'on considère au centre, Faction de la sphère sera

jnpfrdm';

elle ne dépend plus de R, et est proportionnelle à la distance au centre.

157. Rien n'est plus facile maintenant que de calculer Faction mutuelle de deux sphères extérieures Fune à l'autre. D'abord, Faction de l'élément dm f sur la première sphère étant égale et contraire à celle de cette sphère sur dm!, puisque toutes les actions élémentaires qui les composent l'une et l'autre sont égales et contraires par hypothèse , il s'ensuit que la résultante des actions de la première sphère sur tous les éléments dm 1 qui composent la seconde, sera égale et contraire à la résultante de toutes les actions des éléments de la seconde sur la première ; c'est-à-dire que les

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l5q

actions des deux sphères Tune sur l'autre sont égales et contraires.

Or, d'après ce qui précède , l'action de dm! sur la première sphère est la même que si toute la matière qui la compose était réunie en son centre. La question revient donc à calculer l'action de la seconde sphère sur ce point ; mais il est prouvé qu'elle est la même que si toute la matière de la seconde était réunie en son centre; d'où l'on conclut que

Deux sphères composées de couches homogènes quelconques y dont tous les points s* attirent proportionnellement aux masses et en raison inverse du carré de la distance y exercent Vune sur Vautre la même action que si la matière dont chacune d'elles est composée était réunie en son centre.

La même proposition a évidemment lieu pour deux sphères creuses composées de même de couches homogènes.

458. On peut démontrer très-simplement que les actions exercées par tous les points d'une couche sphérique homogène et infiniment peu épaisse, sur un point de l'intérieur, se détruisent.

En effet, soient O (Jîg. 5g) le centre de la surface intérieure de la couche, OB son rayon , et A le point intérieur que l'on considère. Menons par OA un plan quelconque , et soient M et N deux points infiniment voisins pris sur la circonférence suivant laquelle il coupe la sphère ; tirons les droites MAM', NAN', MN, M'N': les triangles AMN, AM'N' seront semblables. Si, maintenant, on fait tourner le plan autour de OB, les cordes ou les arcs MN, M'N' engendreront des surfaces qui , multipliées par l'épaisseur infiniment petite de la couche , seront des éléments de son volume-, or les actions de ces deux éléments sont égales et contraires, car elles sont proportionnelles aux surfaces engendrées par MN et M'N', et en raison inverse des carrés des distances •, il suffit donc de prouver que ces surfaces sont

l6o COURS DE MÉCANIQUE.

en raison directe de AM , AM', ce qu'on reconnaît facilement en observant qu'elles sont proportionnelles aux produits des arcs générateurs par leurs distances à F axe , et que

ces produits sont dans le rapport de AM : AM', à cause de la similitude des triangles.

159. Autre loi d'attraction. — Si l'on suppose Faction de deux points proportionnelle à leur distance , on peut facilement calculer l'attraction d'un corps de figure quelconque sur un point placé arbitrairement.

Prenons , pour cela , trois axes rectangulaires se coupant au centre de gravité du corps attirant, et faisons passer Faxe des x par le point attiré. Soient #,y, z les coordonnées d'une molécule quelconque dm du corps , a la distance de la molécule attirée dm! à l'origine -, les trois composantes de l'attraction de dm seront

/"( x — a ) dm dm', fy dm dm' y fz dm dm'.

Si l'on fait la somme de ces valeurs élémentaires, en prenant pour dm successivement tous les éléments du corps , et que l'on observe que , 'd'après les propriétés du centre de gravité, on a

2 xdm = o , 2 y dm = o , 2 2 dm = o ,

on trouvera que les composantes de l'attraction totale, parallèles aux axes des z et des y, sont nulles ; et que la troisième, qui est la résultante, a pour valeur — fM.adm\ M désignant la masse totale du corps , ou du système quelconque de points attirants. D'où l'on conclut que, dans la loi supposée, V attraction d'un système quelconque de points sur un point situé d'une manière quelconque, est la même que si toute la masse attirante était réunie en son centre de gravité.

Si maintenent ou considère Faction mutuelle de deux

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l6l

corps quelconques, un raisonnement analogue à celui qui a été fait précédemment pour deux sphères démontrera qu'elle est la même que si la masse de chacun des corps était réunie en son centre de gravité.

Calcul de l attraction d'un corps quelconque sur un

point matériel.

160. Nous allons maintenant envisager la question d'une manière plus générale et supposer l'attraction de deux éléments proportionnelle à leur masse , et à une fonction quelconque de leur distance r. Considérons un corps de figure quelconque dont la densité, variable d'un point à un autre, soit représentée par p, et cherchons les trois composantes de son action sur un point matériel dont la masse est [i, et dont les coordonnées sont a, €, y. L'élément de volume dxdydz du corps aura pour masse p dxdydz, et son action sur p sera exprimée par (ip dxdydz F (#•) 3 si l'on désigne par F (r) l'action mutuelle de deux unités de masse à une distance r l'une de l'autre. Les composantes X, Y, Z de l'attraction du corps entier parallèlement aux axes de coordonnées seront

z = ^ yyy* p (^vo im******

et l'on aura

vV— «)* -Mr — *) a -h (* — y) 2 = ''•

Il suffirait de les changer de signe pour passer au cas de la répulsion .

l62 COURS DE MÉCANIQUE.

Ces intégrales , qui s'étendent à la masse entière du corps, peuvent se réduire à une seule. En effet, en différentiant partiellement r par rapport à a, 6, y, on obtient

dr (x — a) dr (y — 6) dr (z — 7)

da. r d% r dy r

Soit maintenant ç (r) la fonction dont la dérivée, par rapport à /', est F (r) 5 posons

fffp<t(r)dxdydz = U,

et différentions les deux membres de cette équation par rapport à a, 6, y; il suffira de différentier sous le signe f, si <p (r) ne passe pas par l'infini , et Ton trouvera ainsi les formules suivantes :

x= -<^' Y —*di' z =-*-TÏ

Tout dépend donc de la seule intégrale U.

Il est bon de remarquer que si, dans le cas, par exemple, d'un solide indéfini, l'intégrale U prenait une valeur infinie , mais que les dérivées partielles désignées par

~r~ f -7z » -7— fussent finies, les valeurs précédentes de

dot rtb dy A

X, Y, Z n'en seraient pas moins exactes. En effet, prenons d'abord une portion finie du solide*, les composantes de son attraction auront pour valeurs les produits de — [i par les dérivées partielles de la fonction finie U. Supposons maintenant que l'on étende infiniment la partie considérée du solide , les composantes de l'action seront toujours

d\J d\J dV

que U croisse ou non sans limite. Donc, si ces trois expressions ont des limites , ce sont les composantes de Tat-

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l63

traction du solide indéfini. Et, si elles croissent indéfiniment, on en conclura que l'attraction croit sans limite à mesure que Ton considère une plus grande partie du corps -, c'est ce que Ton exprime en disant que l'attraction du solide est infinie.

Ainsi , il suffira toujours de connaître les dérivées qui entrent dans l'expression des composantes X, Y, Z sans s'inquiéter si la fonction TJ elle-même est finie ou infinie. On raisonnerait d'une manière analogue si U était infini, sans que le solide le fût.

161 . Dans le cas où l'attraction est en raison inverse du carré de la distance ,

et faisant , dans ce cas ,

p dx dy dz

fff

r on aura

dy dy dv

Xz=it/ !T«' Y==il/ ^ z =r f d^'

Si le point attiré fait partie du corps, la fonction <p (r) passe par l'infini; mais ces formules subsistent toujours. En effet, elles n'offrent aucune difficulté, si on les applique à tout le corps , moins une sphère infiniment petite qui renferme le point attiré. Or V a une limite , quand cette sphère tend vers zéro 5 car l'élément de volume exprimé en coordonnées polaires ayant pour origine le point attiré a pour expression r* dr sin Q dO dty ; or, si Ton divise par r et qu'on intègre dans l'étendue de la sphère de rayon infiniment petit, on aura une quantité infiniment petite du second ordre. Il suit de là que la fonction V étendue au corps entier est finie , et, par suite, ses dérivées par rapport

l64 COURS DE MÉCANIQUE.

aux indéterminées a , 6,7, le sont aussi. On voit de même que X, Y, Z ont aussi des limites; d'ailleurs, quand les deux membres d'une équation ont des limites , ces limites sont égales : donc les formules qui donnent X , Y , Z sont encore exactes quand on considère le corps entier dont le point fait partie.

162. L'attraction sur le point a, 6, y , estimée suivant la direction du vecteur r menç de l'origine à ce point , a pour expression

r r r f \da r «6 r dy r)

Mais en considérant U comme fonction de a, 6, y, et ces coordonnées comme fonction de r et de deux angles 0, <p, on a

</U__rfUa rfU6 dVy

dr da r d$ r dy r

en observant que les dérivées partielles de a, 6, y par rap-

port a r sont respectivement ->->-•

Donc la composante de l'attraction suivant le rayon vecteur est — (x — » les deux autres composantes étant supposées dans le plan perpendiculaire à ce rayon. Dans le cas. de F (r) = ~ ? cette expression devient f*/'— •