Pour donner une application de ces formules dans

le cas de F (r) = — 5 considérons une sphère creuse pour

laquelle p soit une fonction quelconque de la distance au centre. Prenons pour axe des x la droite qui joint le centre au point attiré, et qui est évidemment la direction de la résultante des attractions. Désignons par a et A les rayons des deux surfaces qui terminent le solide, par u le rayon

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l65

intérieur d'une couche sphérique ayant pour épaisseur du, et par l'angle d'un rayon quelconque avec Taxe des x. La valeur de V aura pour expression

•y = , n fft!H±±

sinOrfô

L'intégration par rapport à étant effectuée entre o et 7r, donnera la partie de V correspondante à la couche dont l'épaisseur est du ; en intégrant ensuite le résultat par rapport à u entre les limites a et A , on aura la valeur totale de V. Or on a

r*=z u* — a au cos 9 -h a*;

d'où, en observant que u est constant,

rdr= au sin dB 9 et y par suite ,

V = — ff pududr.

Quant aux limites de r correspondantes à = o et = :r, il faut distinguer le cas où le point attiré est extérieur au solide , de celui où il est intérieur.

i°. Si le point attiré est extérieur au solide, on aura a > A , et , par conséquent, a ]> u pour toutes les couches que l'on a à considérer. On a alors

fdr=2u et V = — / pu*du.

a Ja

Si l'on désigne par M la masse du corps , on aura

47r I pu 2 duz=z M; Ja

d'où

V = - , et X =

lf>6 COURS BF. MLCAMQUE.

L'attraction est donc la même que si toute la matière du corps était réunie à son centre.

2°. Si le point attiré est dans l'intérieur de la plus petite surface , on a a <^ a , et , par conséquent, a <^ u dans toute Tétendue des valeurs de m. On a donc alors •

fdr = 2 a et V =s 4 nfp « */tf .

Cette quantité étant indépendante de a , on aura

--— — o, et, par suite, X=o.

aa .

On voit donc que , da/w cette même loi d'attraction, le solide n exercera aucune attraction sur un point situé dans V intérieur de sa plus petite surface.

On conclut de là que l'action sur un point qui ferait partie du même solide se réduirait à celle qu'exercerait la partie comprise entre la sphère de rayon a et celle qui passerait par le point attiré. Il faudrait donc supposer la matière qui compose cette partie, réunie au centre, et agissant sur le point , suivant la loi donnée.

S'il s'agit , par exemple , de l'action d'une sphère pleine, homogène, sur un point de son intérieur, situé à une distance a du centre, on devra prendre M = { itpaP ; et l'attraction a pour valeur jTtpf(jLec. Elle est donc directement proportionnelle à la distance au centre.

164. Action d'un corps quelconque sur un point trèséloigné. — Si l'on considère l'action d'un corps de forme et de densité quelconques , sur un point dont les dislances à tous les points de ce corps soient très-grandes par rapport à ses dimensions, on arrive à un résultat remarquable que nous allons faire connaître.

Supposons l'attraction en raison inverse du carré de la distance, et calculons la fonction V. Pour cela, prenons le

centre de gravité du corps pour origine , et faisons d'abord passer Taxe des x par le point attiré.

Soient d la distance de ces deux points, u le rayon vecteur d'un point quelconque du corps , dm sa masse , x son abscisse , [x la masse du point attiré 5 la distance de ce dernier point à un point quelconque du corps sera

et Ton aura par conséquent

V = 2rf/w(£ 2 — zSx-t- u*) 2 = -zîdmli £--*-^

Si l'on développe la puissance du trinôme, soit par la formule de Lagrange , soit par celle du binôme , on aura une

série ordonnée suivant les puissances croissantes de j 9 et

d'autant plus convergente que j sera plus petit, et Ton

trouvera ainsi , en représentant par M la masse totale des corps attirants , en observant que ILxdm est nul, puisque l'origine est le centre de gravité du système,

V = -r- H 5- Z(3.z 2 — u 2 )dm +

On peut donc se borner à prendre V = y en négligeant -=-

par rapport à j. En considérant maintenant un système

quelconque d'axes passant toujours par le centre de gravité, et désignant par a , 6, y les coordonnées du point attiré, on aura

V = M(a 2 H-6 3 -h7 5 f \ Les trois composantes de l'attraction 'seront donc respecti-

l68 COURS DR MÉCANIQUE.

vement

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