SI J
d'où Ton voit que leur résul taule passe par l'origine qui est le centre de gravité de la niasse attirante, et qu'elle a la même valeur que si toute la masse était réunie en ce point. Ce résultat, qui n'est qu'approché pour un corps quelconque, est tout à fait exact dans le cas de la sphère , quelle que soit la distance du point attiré , pourvu qu'il soit en dehors de la sphère. Dans ce cas, l'intégration ferait disparaître tous les termes , excepté le premier de la série.
Le calcul précédent a été fait d'après une loi particulière : on verra facilement que le résultat serait le même dans le eas où l'attraction varierait en raison inverse de toute autre puissance de la distance , et même suivant des lois plus compliquées.
Action d'une couche elliptique sur un point intérieur.
165. La proposition que nous avons démontrée relativement à l'action d'une couche sphérique sur un point intérieur, peut se démontrer géométriquement dans le cas plus général du solide compris entre deux ellipsoïdes semblables ayant leurs axes coïncidents..
En effet , supposons d'abord le solide homogène -, soient M (J*g* 4°) I e point attiré, et [i sa masse. Considérons-le comme sommet d'une infinité d'angles solides qui composent tout l'espace autour de lui, et cherchons la résultante de l'action des deux parties comprises dans un quelconque de ces angles et son opposé au sommet. Soit DCAB une des arêtes de cet angle ; on aura AB = CD par la similitude des deux ellipsoïdes. Si nous désignons par w la mesure de l'angle solide, nous pourrons décomposer le
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 1 6g
solide AB en cléments dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l'expression sera Mr*dr] multipliant
par *—£-) on aura l'attraction que cet élément exerce sur le
point M-, on trouve ainsi pfptùdr^ et la somme pf[i(ù.AB exprimera l'attraction de la matière contenue dans AB. On trouvera de même pf po.CD pour l'attraction, de la matière contenue dans la partie CD 5 et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent , se détruiront. Donc , comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M , le solide homogène compiis entre deux ellipsoïdes semblables quelconques n exerce aucune attraction sur un point situé dans V intérieur de sa plus petite surface.
Cette proposition, étant indépendante de l'épaisseur, a lieu aussi pour une couche infiniment mince. Donc elle est encore vraie pour un solide d'une épaisseur quelconque composé de couches homogènes comprises entre des ellipsoïdes semblables 9 et dont la nature varie d'une manière quelconque de Tune à Vautre.
166. Surfaces de niveau. — On^appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous l'influence des forces du système.
Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque $ on aura, d'après ce qui précède ,
pour que la résultante soit perpendiculaire à la surface sur laquelle le point peut se mouvoir, il faut qu'on ait pour tous les déplacements sur cette surface,
OU
d\] , d\] Jp dU J
-7- «a -f- -rs " 6 + -7— «7 = °> da «6 dy
ce qui prouve que TJ est constant. L'équation des surfaces de niveau relatives à l'attraction ou à la répulsion du corps est donc
c désignant une constante arbitraire.
Quand l'attraction est en raison inverse du carré de la distance , cette équation devient V = c.
167. La fonction V jouit d'une propriété remarquable, qui est d'une grande utilité pour la détermination de sa valeur.
D'après la valeur de r, on a
rfi. rfi.
r dy
d* "~ r 3 * dS "-"
r 3 (x — a) 2 1 da 2 r 5 r 3
d'où l'on conclut
d *L rf»I rf>i r r r
Mais, puisque l'on a V = 1 1 1 ° — 5 dv étant l'élément
de volume, et que, pour différentier une intégrale par rapport à des quantités considérées comme constantes dans
' PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. I n I
l'intégration, et qui n'entrent pas dans les limites de cette intégrale , il suffit de différentier sous le signe f, on aura
pourvu , toutefois , que la fonction - ne devienne infinie
pour aucune valeur comprise dans les limites de l'intégration ; car on sait que, dans ce cas, la différentiation sous le signe f peut donner des résultats inexacts.
Donc , si le point a , 6 , y ne fait pas partie du corps attirant, on aura
rf'V rf 2 V d 2 \
Si le point fait partie du corps , on concevra une sphère infiniment petite dans l'intérieur de laquelle il sera compris -, la fonction V, considérée pour tout le reste du corps, satisfera à F équation ci -dessus.
Soit f la densité du corps au point attiré, ce sera aussi celle de la petite sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est dans son intérieur, seront donc respectivement
a, i, celant les coordonnées du centre de la petite sphère; on aura donc, en appelant V la partie de V qui se rapporte
à cette sphère,
<*V' 4 , . dV 4 ,„ , .
= - 5 ,rp(a-«), —=--„ p{S -b),
rfv 4 , , — = r ,( 7 - c ) ;
d'où
rf'V rf'V rf'V ,
et, par conséquent,
# . d 7 \ d 7 \ tf 2 V ,
la valeur de p se rapportant au point attiré.
Nous allons montrer, par quelques exemples très-simples, comment les équations (1) et (2) peuvent servir à déterminer la fonction Y dont se déduisent les trois composantes de l'attraction.
168. application à la sphère. — La sphère étant supposée formée de couches homogènes , V sera fonction de la distance r du centre de la sphère au point attiré 5 la résultante de l'attraction sera dirigée suivant la droite qui joint
ces deux points, et représentée par [xj " — •
L'équation r 1 = a 1 H- 6 1 H- y* donnera
dr a dr 6 dr y dot. r d% r dy r
et l'on aura, par suite,
11^ — — — ± d V <£ dv da 7 r 2 dr" 1 r dr r 3 dr
d 7 \__Vd^V \d\ 6 J «/V d& r 7 dr 7 r dr r 3 dr
d*v 7 r 7 dr 7 r dr r 3 dr
et ajoutant ces trois dernières équations, on aura, en supposant d'abord le point hors de la sphère ,
rf'V 2 d\
ar 2 r dr
La fonction V dépend donc alors d'une équation qui ne
renferme pas de différentielles partielles. En la multipliant
dY par r% son premier membre devient la dérivée de r* — •
On aura donc , en désignant par c une constante arbitraire ,
dV c
dr r a
Supposons d'abord que la sphère soit creuse et que le point soit dans l'intérieur de la plus petite surface dont nous désignerons le rayon par R t . L'attraction devant évidemment être nulle pour r = o, il faut qu'on ait
d\ c = o, et, par suite, — — = o.
dr
Donc les composantes de l'attraction sont toujours nulles , et le point est en équilibre , quelque position qu'il occupe dans la partie vide de la sphère. Supposons , en second lieu , que le point fasse partie de la masse de la sphère , on a
d*Y zdV ,
p étant une fonction donnée de r.
Multipliant par r* et intégrant à partir de Rt , il vient,
dV en observant que — étant nul pour tous les points de l'intérieur, l'est aussi à la limite R t ,
— r~ = — ait ! pr 7 dr.
Or, I 4 nr *pdr est l a masse comprise entre cette surface
et la sphère qui passe par le point attiré. Si on la désigne
par M', on aura
dV M'
dr r*
La valeur absolue de F attraction sera donc ^ . : elle est la
même que si la masse M 7 agissait seule et était réunie au
centre.
Si le point attiré est sur la surface extérieure ayant pour
rayon R, on aura, en désignant par M la masse totale de la
sphère creuse ,
dV ftl
et l'attraction exercée sur le point aura pour expression
ft/M R 2
Enfin, considérons un point extérieur à la sphère, c'està-dire pour lequel on ait r^>R, on aura, comme dans le
premier cas ,
dr ~~ r 2 '
mais , à cause de la discontinuité provenant des points de la masse , la constante c n'est pas assujettie à avoir la même valeur que pour les points intérieurs. Pour la déterminer, on fera r = R , et l'on devra trouver, d'après le cas précédent ,
^=-r«'' donc c =- M >
et l'on aura pour tous les points extérieurs ,
dr
L'attraction aura donc pour expression
M fi/
et Ton en conclut ce théorème :
Une sphère creuse composée de couches concentriques homogènes exerce sur les points extérieurs la même action que si toute sa masse était réunie à son centre.
