Application au cylindre indéfini. — Considérons

maintenant un cylindre creux indéfini composé de couches

homogènes dont la densité n'est fonction que de la distance

à l'axe de ce cylindre, que nous prendrons pour axe des z ;

son action sur un point quelconque sera dirigée vers le

point où Taxe est coupé par un plan perpendiculaire , mené

par le point attiré. Nous prendrons ce point de Taxe pour

origine, et nous désignerons par 7* sa distance au point

attiré; l'attraction ne dépendra que de r, et son expression

sera

dV

. * J dr

Or, pour les points qui ne font pas partie de la masse du cylindre , ou aura , en observant que V est indépendant de y,

rf'V d*V

da? d&

d'où

dr* r dr Multipliant par r, on a

d { r lTr)= '>

d'où

dV __c

dr r c étant une constante arbitraire.

Mais remarquons , comme dans le cas d'une sphère creuse, que les points extérieurs et les points intérieurs à la couche cylindrique étant séparés par ceux de la masse de cette couche , pour lesquels les circonstances sont différentes , il n'y a pas continuité en passant des valeurs de r plus grandes que le rayon de la surface extérieure du cylindre, aux valeurs de r plus petites que le rayon de la surface intérieure.

Pour les points de l'intérieur de cette surface, la valeur de c est invariable; or elle est évidemment nulle pour r = o ; donc on a , pour tous les points de l'intérieur,

D'où l'on conclut qu'a/i cylindre creux indéfini, composé

de couches concentriques homogènes , n'exerce aucune

action sur un point situé dans l'intérieur de sa surface

interne.

On démontrerait directement cette proposition de la

même manière que pour l'ellipsoïde creux.

dV Cherchons maintenant la valeur de — pour les points

appartenant à la masse du cylindre ; pour ces points , on a

d'Y idV ,

dr* r dr ^ r

et l'on trouve par l'intégration, en désignant par R t le rayon de la surface intérieure ,

rfv / r ;

r —— = — an I prdr.

dr A t

dV Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que — est nul