CM

pour r = R l5 puisqu'il l'est pour tous les points de Tintérieur de la surface dont le rayon est R^ En faisant r = R,

on obtient

dr

~¥JC"*

Pour les points extérieurs on doit avoir

Faisant /• = R , on trouve , en vertu de l'équation précédente ,

rdr.

La constante étant ainsi déterminée, on aura pour toute les valeurs de r plus grandes que R ,

dV C et l'attraction du cylindre aura pour expression

On voit qu'elle varie en raison inverse de la distance du point à Taxe du cylindre.

Attraction des ellipsoïdes.

170. Pour connaître les trois composantes de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point , on décomposera ce corps en couches infiniment peu épaisses , par une série de surfaces semblables à celle qui le termine ; on cherchera les composantes de l'attraction d'une quelconque de ees couches , en fonction du paramètre qui détermine une des surfaces de cette couche, et de son épaisseur ; puis on intégrera ces trois expressions différentielles en faisant varier le pa- 1. 12

ramètre entre les limites correspondantes aux surfaces extrêmes que Ton doit considérer.

Si l'ellipsoïde est plein , les surfaces limites seront celle de cet ellipsoïde, et son centre.

Si le solide attirant est compris entre les surfaces de deux ellipsoïdes semblables , ces surfaces seront les deux limites.

Mais si le point attiré se trouvait dans l'intérieur du solide , il serait inutile de considérer la partie située au delà de la surface d'un ellipsoïde semblable passant par ce point, parce que l'on sait que son action est nulle.

On voit donc que, dans tous les cas, la question resdent à calculer les trois composantes de l'attraction d'une couche comprise entre deux ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés , sur un point situé en dehors de cette couche, ou sur sa surface.

Nous commencerons par établir quelques propositions qui ramènent ce problème au cas où le point attiré est situé sur la surface extérieure de la couche. Ces propositions et les calculs qui suivent sont tirés des Mémoires de M. Chasles.

Comparaison de iaction de deux couches homofocales

sur un même point extérieur.

171. Considérons une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes semblables, infiniment rapprochés. Les composantes de son action sur un point extérieur M [fi g* 4 1 ) dont les coordonnées sont x , y, z, sont proportionnelles aux dérivées partielles par rapport à x, d'une fonction V qui exprime la somme des masses des éléments de la couche, divisées par leurs, distances au point M.

Considérons, en second lieu, une couche homogène d'une densité quelconque, comprise entre deux ellipsoïdes

semblables entre eux, dont l'extérieur passe par M, et qui soient respectivement homofocaux avec ceux qui terminent la première couche -, ces deux ellipsoïdes seront complètement déterminés , et les axes de même direction seront dans le même rapport dans les deux systèmes.

Désignons généralement par points correspondants sur les surfaces de deux ellipsoïdes quelconques , ceux dont les coordonnées sont respectivement entre elles comme les axes qui leur sont parallèles. Il est % facile de reconnaître que, quand ces ellipsoïdes sont homofocaux, la distance d'un point quelconque de l'un à un point quelconque de l'autre est égale à la distance des points respectivement correspondants.

Cette proposition se déduit immédiatement des deux suivantes, dont la démonstration est trop facile pour que nous la rapportions :

i°. La différence des carrés des distances du centre à deux points correspondants de deux ellipsoïdes homofocaux est constante ;

2°. Le produit de deux rayons quelconques , pris respectivement dans tes deux ellipsoïdes , par le cosinus de leur angle, est le même que pour les rayons menés aux points correspondants.

La somme des carrés de ces rayons est aussi la même de part et d'autre, en vertu de la première proposition. D'où résulte le théorème en question.

On voit facilement aussi que si l'on considère les deux couches homofocales dont it a été déjà parlé, tout point pris dans l'épaisseur de Tune a son correspondant dans l'autre •, et deux portions terminées à des surfaces dont tous les points sont correspondants dans les deux couches, sont proportionnelles aux produits des trois coordonnées des points correspondants, ou aux produits des axes des ellipsoïdes intérieurs ou extérieurs , et , par suite , aux volumes

l82 COURS DE MÉCANIQUE.

ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés. L'attraction de cette couche sur ce point sera dirigée suivant la normale MN à l'ellipsoïde extérieur; de sorte qu'on pourra remplacer chaque action élémentaire par sa composante, suivant MN.

Considérons le point M comme sommet d'une infinité d'angles solides , composant l'espace situé d'un même côté du plan tangent.

Soient dtoVun quelconque de ces angles, et MM' la direction d'une de ces arêtes : on peut décomposer la partie de la couche qu'il renferme en éléments dont le volume aura pour expression r*drd(ù, r étant leur distance au point M. Multipliant par la densité p, par la force attractive y* de deux unités de masse, situées à l'unité de distance, par la masse â u du point supposé en M, et divisant par le carré de la distance, on aura l'attraction de l'élément de la couche sur la masse ft; son expression sera

intégrant de M à P, on aura

intégrant ensuite de P' à M', on trouvera

p/pM'P'rfw.

Or, M'P' = MP, puisque les deux ellipsoïdes sont semblables *, donc l'attraction de la partie comprise dans l'angle do» se réduira à

2p/pMP</w.

Multipliant cette force par cos PMK , on aura sa composante suivant la normale , et Ton obtiendra ainsi , en observant que MP cos PMK = MK ,