VA 3M/ 7 | , /X'A / V'A'\ A

V»A J | VA' V A /f / / V»A 3

vA

L'ellipsoïde se réduira encore à une sphère en supposant C = A ou V = 05 les formules (8) se réduiront à £ , et, traitées par les procédés ordinaires , elles reproduiront encore celles qui conviennent à ce cas particulier.

Nous allons maintenant faire connaître les méthodes au moyen desquelles on résolvait le même problème, avant que celle de M. Chasles fût connue.

autres méthodes pour calculer l'attraction des

ellipsoïdes.

476. Le calcul direct de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point est beaucoup plus facile quand ce point est dans son intérieur ou à sa surface que quand il lui est extérieur. C'est le cas que Ton a traité d'abord; on a ramené ce calcul à des quadratures simples , et les géomètres ont dirigé leurs efforts vers la réduction du second cas

ig2 COURS DE MÉCANIQUE.

au premier. Ils ont découvert deux théorèmes qui remplissent cet objet : l'un , qui porte le nom de Maclaurin , quoiqu'il n'ait été démontré par ce géomètre que dans un cas particulier ; l'autre , qui est dû à Ivory. Nous allons exposer ces différentes théories qui résolvent aussi complètement que possible ce problème , si important dans la théorie du système du monde. Poisson , après beaucoup d'efforts, est parvenu à faire directement le calcul de l'intégration pour le point extérieur ; mais nous ne ferons pas connaître ses recherches sur ce point, parce que les calculs sont trop compliqués , et qu'ils ne nous paraissent pas très-importants pour la question en elle-même.

Soit l'équation de l'ellipsoïde

Soient a , 6 , y les coordonnées du point intérieur attiré fx, auquel nous supposerons une masse égale à l'unité ; p la densité de la matière homogène qui compose l'ellipsoïde; Ç, >3, £ les angles que fait avec les axes la direction d'un rayon vecteur quelconque mené par le point fx$ dtù un angle solide infiniment petit dans la direction de ce rayon, et son sommet en (x.

Partageons la portion de l'ellipsoïde comprise dans cet angle solide , par des sphères ayant leurs centres en p. et des rayons r croissants par différences infiniment petites dr\ l'expression d'un quelconque de ces éléments de volume sera r % dxùdr\ et l'attraction étant supposée en raison inverse du carré de la distance , son action sur le point p aura pour expression

fpdadr.

Faisant la somme des actions de tous les éléments qui composent l'angle solide depuis le sommet {/jusqu'à sa rencon-

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. Iq3

tre avec la surface de l'jellipsoïde , on obtiendra , en dési- • gnant le rayon (zM par r,

fprdtù.

Les trois composantes de l'action de cette portion du solide seront

/prcosÇdeà, fpr cosndu, fpr cosÇ</a>.

Soit maintenant r* la valeur négative du rayon \*M! de la surface de l'ellipsoïde , correspondante aux mêmes angles £, y?, £. En prolongeant en sens contraire le premier angle solide, on aurait à faire un calcul analogue au précédent 9 seulement les angles relatifs à sa direction seraient les suppléments de £ , m , £, et la valeur absolue du rayon vecteur serait — r 7 ; de sorte que les composantes de la force produite par la portion de l'ellipsoïde comprise dans ce second angle solide auront pour expressions

ypr'cos Çrfw, /pr'cosndv, /pr' cosÇ du.

En les ajoutant aux premières , on aura

/]o(r + r')cosH</w, fp(r -+-r') cos»</«, fp(r-\-r')cosÇdtû,

et si Ton fait la somme d'expressions de ce genre en prenant pour dtù tous les éléments d'une demi-sphère quelconque ayant son centre en p. et pour rayon F uni té, on obtiendra les composantes X, Y, Z de l'action de l'ellipsoïde entier sur le point (x. Pour avoir les valeurs de r et / 7 , il faut rapporter l'ellipsoïde à des coordonnées polaires, au moyen des formules

x ■=. a -+- r cos Ç , y = 6 -+- r cos » , z = 7 -f- r cos Ç , ce qui donne pour équation de l'ellipsoïde

En posant

cos' £ cos a n cos 5 Ç

a. cos H 6 cos » 7 cos Ç a* à* c %

on reconnaît de suite que les deux valeurs de r données par l'équation ci-dessus, pour une valeur des angles £, »î, £, sont de signes contraires, puisque p ex. I sont essentiellement positifs 5 et Ton aura

P Si maintenant Ton observe que , pour deux directions contraires , - est le même , au signe près , et que , par consé- P

, , . q COS ? q COS n q COS l , .

quent, les produits - > - ? sont les mêmes en

grandeur et en signe pour ces deux directions, on reconnaîtra qu'au lieu de prendre pour les directions jxM de l'angle solide celles qui sont d'un même côté d'un plan passant par fA, on peut les prendre tout autour de ce point, pourvu qu'on divise par 2 le résultat. Nous aurons donc, en considérant que les sommes 2 se rapportent à toutes les directions autour du point /a, ,

q cos Ç

Parmi les sommes partielles dont se composeront les valeurs de X, Y, Z, quand on aura substitué à q sa valeur, se

trouveront les trois suivantes :

^ COS Ç COS n <f « yç\ COS Ç COS tdfù <^\ cos * cos Ww

qui sont évidemment nulles comme composées d'éléments, deux à deux égaux et de signes contraires; car, en conservant les mêmes valeurs quelconques à deux des trois angles, choisis convenablement , le troisième peut avoir deux valeurs supplémentaires ; et , quant au dénominateur, il restera le même dans les deux cas. On aura donc, d'après cette remarque,

fp ol ^ cos 2 Ç d» fp 6 ^ cos 7 hû?w

fp 7 ^ cos 2 Ç do>

Pour effectuer ces calculs , il faudrait exprimer l'un des trois angles £ , m , £ au moyen des deux autres ; mais il vaur dra mieux introduire les deux angles que l'on emploie le plus ordinairement dans les coordonnées polaires , et qui sont l'angle formé par le rayon vecteur avec l'un des axes, par exemple l'axe de x, et celui que fait avec l'axe des y la projection du rayon vecteur sur le plan des y et z. Désignant le premier par et le second par <p, on aura

cos £ = cos 9 , cos n = sin cos \|>, cos Ç = sin sin ^.

Nous calculerons d'abord la valeur de X ; celles de Y et Z s'en déduiront par de simples changements de lettres. Dans ce nouveau système de variables , on aura

du = sinQ d9d^, et

/p* r r cos 2 0sin0£/ed^

" cos 2 sin 2 cos 2 ty sin 2 sin 2 4* ,

l'intégrale par rapport à fy est prise entre les limites o et a ft,

ig6 COURS DE MKCANIQUK.

et celle par rapport à 0, entre o et 7i. Quant à la première > il suffira de la prendre entre oet-» puis de quadrupler le

résultat; pour la seconde , on la prendra aussi entre o et -

et l'on doublera le résultat.

Commençons par effectuer l'intégration par rapport à <J/, et posons pour cela tang ty = u , d'où

u 7 i du

sin 2 $ = 5 cos 2 4» = : » d$ =

On aura ainsi

X P Jo *V«

sin 2 0+6 2 cos 2 0)4-6 2 (« 2 sin 2 0-4-c 2 cos 2 0)« 2 na 7 bc

2 v^(tf* sin 2 -h £ 2 cos 2 0) (o 2 sin 2 -f- c 2 cos 2 0)

Il restera donc à effectuer ^intégration par rapport à 0, ce qui n'est pas possible sous forme finie si les trois axes de l'ellipsoïde sont inégaux. Pour déduire la valeur de Y de celle de X , on observera que si l'on avait introduit l'angle du rayon vecteur avec Taxe des y au lieu de l'axe des x, dans le système des coordonnées polaires , le calcul relatif à Y n'aurait différé de celui que nous venons de faire que par le changement réciproque des lettres a et b ; la même remarque s'applique à c, et l'on aura, en conséquence, les formules suivantes :

cos 2 sin dû

X = — 4 v f? bc a / "7=

Jo v(« 2 si

y / ( a 2 sin 2 9 -t- b 7 cos 2 0) (a 7 sin 2 4- c 7 cos 2 0)

, „ . ^ cos ? 0sin0rf0

Y = — 4 «/P ac 6 I i = ?

Jo V ( fc 2 sin 2 H- fl 2 cos 2 0)(6 2 sin 2 0-f-c 2 cos 2 0)

Z =z — /{irff>abi j

cos 2 sin0rf0

V^c'sin 2 © -f- 6 2 cos 2 0) (c 2 sin 2 -+-<? 2 cos ? 0)

W3UÊBF £X1HÊE. STATI<*Cï- | q-

On donnera à ces expressions la forme trouvée précéderament , et posant oos 9 = u , elles coïncideront ainsi avec les formules (6) , dans lesquelles 3,6,7 désignent les coordonnées d'un point quelconque de rintérieur, ou de la surlace de rellipsoïde.

Ces valeurs de X , Y, Z étant respectivement de signes contraires à or , S , 7, chacune des composantes tend à rapprocher le point de l'origine. On remarquera encore que ces valeurs ne changeraient pas si Ton multipliait les quantités a, b , c par un même nombre. L'attraction iTest donc pas changée par l'addition ou la soustraction (Tune couche comprise entre la surface de l'ellipsoïde proposé et une surface semblable plus grande ou plus petite, pourvu que le point a soit toujours dans son intérieur: car nos calculs sont fondes sur cette supposition. D'où Ton conclut que le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables dont les axes coïncident en direction, n'exerce aucune action sur un point matériel placé dans l'intérieur de sa plus petite

Maintenant que le problème est résolu pour un point intérieur à rellipsoïde ou sur sa surface « il suffit d'y ramener le cas d'un point extérieur pour que le problème proposé soit complètement résolu. C'est ce que Maclaurin a essayé de faire au moven cTun théorème qui a conservé son nom, quoiqu'il ne Tait pas démontré avec toute la généralité nécessaire. Il avait été établi péniblement par d'autres géomètres ; de sorte que Ton pouvait en faire l'usage que nous allons indiquer. Mais , comme sa démonstration n'était pas simple, on a continué à chercher à perfectionner cette importante théorie, et M. Ivory a découvert un autre théorème très-élégant qui remplissait le même objet d'une autre manière, et dont il déduisait même celui de Maclaurin dans toute sa généralité. Après lui , M. Rodrigues a trouvé une autre démonstration analytique fort simple de et 1 der-

ICj8 COURS DE MECANIQUE.

nier théorème, et enfin M. Chasles en a donné une plus simple encore et tout à fait géométrique, que nous avons déjà fait pressentir et que nous allons faire connaître.

177. Théorème de Maclaurin. — Ce théorème a pour objet de comparer les actions de deux ellipsoïdes homofocaux, homogènes et de densités quelconques sur un même point extérieur à l'un et à l'autre» A cet effet, on partagera chacun d'eux en couches infiniment minces, par des surfaces ellipsoïdales semblables à la surface qui le termine et respectivement homofocales. Nous avons démontré (n° 165) que deux couches homologues de ces deux corps exercent sur le point extérieur des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces couches , et , par suite , à celles des ellipsoïdes proposés. Il résulte de là qu'en composant toute» ces actions élémentaires qui auront respectivement un rapport constant et une même direction , on aura deux résultantes de même direction, et ayant entre elles ce même rapport. D'où résulte le théorème suivant :

- Deux ellipsoïdes homofocaux homogènes exercent sur un même point extérieur quelconque des actions de même direction et propoHionnelles aux masses de ces corps.

Cette proposition aura encore lieu lorsque la surface d'un des ellipsoïdes passera par le point même , et l'on voit facilement que pour calculer Faction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur, il suffira de déterminer l'ellipsoïde homofocal passant par ce point , auquel on donnera la même densité qu'au premier. Les formules (6) feront connaître les composantes de son action sur ce point, et il suffira de les multiplier par le rapport du volume de l'ellipsoïde proposé à celui du second pour avoir les composantes de Faction du premier. Nous allons effectuer ce calcul.

178. Application du théorème de Maclaurin. — Nous avons démontré précédemment ce théorème , et nous allons montrer maintenant l'usage que Fon en peut faire pour

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. igg

obtenir l'action d'un ellipsoïde sur un point extérieur, connaissant son expression pour un point intérieur.

Soient A , B , C les trois demi-axes de l'ellipsoïde donné , A', B', C ceux de l'ellipsoïde homofocal , passant par le point extérieur (a, 6, y). Les composantes de l'action de ce dernier sur ce point se calculent directement, sans difficulté, et sont

3 M'/a /*» v* dp

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3M'/ 7 /»i P 2 rfp Zi == __ — • i

Si l'on observe que l'on a

et qu'on pose