V II

A ce qui donne o et — , pour limites de u } si , ensuite , on mul-

ARP

tiplie les trois composantes X', Y', 71 par • ; ? on aura,

d'après le théorème de Maclaurin, les composantes de l'attraction de l'ellipsoïde donné; et l'on retrouvera ainsi les formules (5).

179. Théorème d'Ivory. — Ce théorème a aussi pour objet de ramener l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur

un point extérieur, à celle d'un autre ellipsoïde sur un point de son intérieur. Il n'offre aucun avantage sur celui de Maclaurin; mais, comme nous l'avons dit, son auteur Ta fait connaître à une époque où l'autre n'était pas encore bien rigoureusement, ou du moins, bien simplement démontré ; et il a été considéré par les géomètres comme une découverte importante.

Soient a , 6 , y les coordonnées d'un point extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont A , B, C; la composante X de son attraction sur ce point sera

(x — a) tlxdydz

les intégrales s 'étendant au volume entier. Intégrant par rapport à x , et désignant par r x , r, les distances du point attiré aux points extrêmes du filet de l'ellipsoïde dans lequel on a fait T intégration, on trouvera

Concevons maintenant un ellipsoïde homofooal avec le premier, passant par le point donné, et cherchons son attraction sur le point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous prendrons le rectangle dy f dz\ dont les points seront les correspondants de ceux de dydz, et nous intégrerons dans l'étendue du filet du second ellipsoïde, qui se projette suivant dy' dz' sur le plan YZ. Nous trouverons , pour la composante de l'at-^ traction de ce dernier corps sur le point correspondant au point donné ,

Les rayons i\ et r, sont les mêmes que pour le premier ellip-

soïde, puisque leurs extrémités sont respectivement correspondantes de celles des autres.

Or, dy'dz 1 \ dydz \\ B'C : BC -, et cette proportion ayant lieu pour les portions des intégrales relatives à deux filets correspondants quelconques , aura lieu pour les intégrales elles-mêmes ; d'où résulte