MN
mment, la vitesse moyenne — variera en même temps, et
tendra vers une limite déterminée, que nous appellerons la vitesse du mobile au point M.
Ainsi, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, on appelle vitesse d'un mobile à un instant donné , la vitesse moyenne avec laquelle il décrit un arc infiniment petit, à partir de cet instant.
Si Ton désigne par t le temps , et par s la longueur de& arcs de la ligne décrite, à partir d'une origine arbitraire, la
i. . j MN , , ds A . . .
limite du rapport — n est autre chose que ~ Ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement est exprimée par la première dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps.
187 r II est bon de remarquer que l'arc décrit dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de ce temps par la vitesse du mobile au commencement de ce petit intervalle. Car cet arc serait rigoureusement le produit du temps par la vitesse moyenne relative à cet intervalle, et cette vitesse moyenne diffère d'une quantité infiniment petite de ce que nous avons appelé vitesse au commencement de l'intervalle. Il est évident que Ton pourrait encore prendre la vitesse à une époque quelconque du même intervalle. Le résultat ainsi obtenu ne différera jamais de celui que l'on cherche que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même , et pourra par conséquent lui être substitué toutes les fois que l'on n'aura à considérer que des limites de rapports ou de sommes.
Ainsi, par exemple, l'espace parcouru dans un temps
fini sera la limite de la somme des produits des éléments infiniment petits de ce temps , par les vitesses correspondantes aux commencements de ces éléments. La vitesse telle que nous venons de la définir, joue donc le même rôle dans le mouvement varié , que la vitesse premièrement définie , dans le mouvement uniforme, pourvu que Ton ne considère que des termes infiniment petits*, et c'est à cause de cette analogie , qu'il était convenable de lui donner le même nom,
188. Équation finie du mouvement uniforme. — Le mouvement uniforme d'un point sur une ligne indéfinie , droite ou courbe , peut être représenté par une équation du premier degré entre le temps et la distance.
Désignons par t le temps compté à partir d'une époque déterminée, par x la distance du point mobile M à une origine fixe O, prise sur la ligne indéfinie X'X que ce point parcourt ; a la distance OA de l'origine au point où se trouve le mobile lorsque t = o ; enfin v sa vitesse , ou l'espace constant qu'il parcourt dans l'unité de temps.
Cela posé , nous nous proposons de trouver une équation au moyen de laquelle on puisse connaître la position du point mobile, à une époque quelconque, c'est-à-dire une équation entre x et /.
Or le mobile parcourant un espace v dans Funité de temps, parcourra vt dans le temps quelconque i\ et par conséquent, si l'on suppose d'abord que la direction du mouvement soit celle des x positifs OX , à un instant quelconque on aura
x et a étant des quantités positives ou négatives > suivant la position des points A et M par rapport à l'origine j v étaiu un nombre absolu , et t un nombre positif correspondant aux différentes époques postérieures à celle qui sert d'origine aux temps.
On aperçoit immédiatement qu'il est inutile d'employer une équation distincte de la précédente , pour représenter les positions du mobile, qui correspondent aux époques antérieures à cette origine, et qu'il suffit de donner à t des valeurs négatives dans l'équation ci-dessus.
Enfin, on peut renfermer dans cette même équation les mouvements uniformes, dont la direction çst opposée à celle des x positifs ; et Ton aperçoit aisément qu'il suffit de supposer que v ne représente pas seulement le nombre d'unités de longueur parcourues dans l'unité de temps, mais ce nombre affecté inplicitementdu signe — . De cette manière, l'équation générale
(i) x = a -f- vt
peut représenter tous les mouvements uniformes , rapportés à des origines quelconques pour les temps et les distances, et à une direction quelconque du mouvement par rapporta celle des x positifs.
Les quatre quantités a?, a, e, t peuvent donc être implicitement négatives , et nous venons de déterminer dans quelles circonstances elles devaient être considérées comme telles. Cette manière de les envisager est , comme nous l'avons dit, indispensable pour que tous les cas soient renfermés dans une seule équation; ce qui est de la plus baute importance, comme on le sait, dans toutes les formules algébriques.
Cette équation (i) peut donner lieu à diverses questions simples, que Ton traite ordinairement dans les cours élémentaires d'algèbre, et dont nous ne nous occuperons pas ici.
189. Équation différentielle du mouvement uniforme, — Nous avons vu que , dans un mouvement quelconque, la
vitesse était mesurée par — > s désignant l'espace parcouru \
dx
cette expression devient, dans le cas actuel, -7-5 indépendamment de toute considération de signe.
Or, si nous prenons t pour variable indépendante, et, par
dx suite, dt positif, — sera positif si le mouvement a lieu dans
le sens des x positifs, et négatif dans le cas contraire. Si
dx donc nous posons t>= — > c'est dire que nous entendons
par e une quantité positive ou négative, suivant que le mouvement a lieu dans le sens des x positifs ou négatifs ; du reste , les origines des temps et des abscisses n'y entrent pour rien, et le mouvement peut être varié d'une manière arbitraire. Ainsi pour avoir une équation qui renferme tous les mouvements uniformes , il suffira de poser
dx
v désignant une quantité constante, positive ou négative.
Cette équation se déduirait de (1) par la différentiation , comme réciproquement , on en déduirait la première par une intégration, qui introduirait une constante arbitraire a.
190. Mouvement uniformément varié. — Après le mouvement uniforme , le plus simple est celui où la vitesse, au lieu d'être constante, varie uniformément , c'est-à-dire de telle sorte que ses accroissements soient proportionnels à ceux du temps. Ce mouvement, qui servira de terme de comparaison aux mouvements variés plus compliqués, mérite qu'on en dise ici quelques mots , et c'est par lui que nous terminerons ces exemples simples.
La condition que la vitesse v ait ses accroissements proportionnels à ceux du temps , entraîne celte autre condition
que sa dérivée -7- soit constante, et réciproquement. En
2l4 COURS DE MECANIQUE.
désignant donc par a une constante quelconque , positive ou négative, l'équation générale qui renfermera tous les, mouvements uniformément variés sera
dv d 2 x . ■ dx
— - = a , ou —r- ==: a puisque v = — :
dt ' dt 2 ' r " * dt '
on déduit de là , en intégrant ,
/ \ . dx
M v = at -{- b = —,
ut
équation qu'on aurait pu obtenir immédiatement : en l'intégrant de nouveau , iï vient
(2) x = hot-hc,
b et c désignant deux constantes arbitraires.
Les accroissements de la vitesse sont positifs ou négatifs en même temps que a, qui est l'accroissement de la vitesse, dans un temps quelconque, divisé par ce temps-, ou ^accroissement de la vitesse dans l'unité de temps.
On donne à cette quantité le nom particulier tf accélération. En entendant que cette accélération peut être positive ou négative , comme nous l'avons dit , le mouvement peut être dit uniformément accéléré ; et cette dénomination n'entraine pas l'idée d'une vitesse croissante plutôt que décroissante.
Les équations (1) et (2) dans lesquelles a , b , c peuvent avoir des signes quelconques, donnent lieu à divers problèmes d'algèbre élémentaire, dont la discussion n'offre aucune difficulté, et dans le détail desquels nous ne pouvons entrer ici .
Du mouvement rectiligne varié en général.
191.. Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point se mouvait sur une ligne quelconque. Mais mainte-
PREMIÈRE A3XÉE. — STATIQUE. 2l5
nant que nous allons faire une étude plus approfondie du mouvement , nous supposerons d'abord , pour ne pas réunir toutes les difficultés, qu'il s'effectue sur une ligne droite.
La notion d'accélération que nous venons de donner dans le mouvement uniformément accéléré peut recevoir une extension analogue à celle que nous avons donnée à la vitesse.
En effet, désignons par Ai> l'accroissement de vitesse que prend le point , à partir d'un instant quelconque, lorsque le temps croît de At , et imaginons un mouvement uniformément accéléré dans lequel la vitesse serait la même que celle du mobile au premier instant , et qui aurait une accélération telle, que la vitesse croîtrait de même de At> dans le temps A*} cette accélération moyenne sera mesurée, d'après ce qui précède, par — > et tendra vers une
certaine limite à mesure que Af tendra vers zéro.
Cette limite est ce que l'on appelle Y accélération dans le mouvement proposé, à l'instant que l'on considère. Son expression est
dv d 7 a:
— ou — — • dt dp
Et il est facile de voir qu'elle jouera le même rôle dans le mouvement varié en général , que dans le mouvement uniformément accéléré, pourvu que Ton ne considère que des intervalles infiniment petits. En effet , si A l est infiniment petit, on aura
Ap dv
M dt ' *'
e étant aussi infiniment petit; et, par conséquent,
dv Xv = - At -+- eM.
dt
Donc, l'accroissement Af de la vitesse ne diffère de
— At que d'une quantité infiniment petite, par rapport à
A y, et qui pourra être négligée toutes les fois qu'on ne considérera que des limites de sommes ou de rapports. Donc , dans tous les cas de ce genre , l'accroissement infiniment petit de vitesse pourra être calculé comme si le mouvement était uniformément accéléré , et que l'accélération de ce mouvement fut égale à ce que nous avons appelé l'accéléra tion dans le mouvement varié en question.
Remarque. — Il est bon de remarquer que nous avons considéré de deux manières fort différentes un mouvement varié quelconque , comme limite de mouvements successifs de durées infiniment petites. Dans un cas, ces mouvements élémentaires sont uniformes, dans l'autre ils sont uniformément accélérés.
dx Les premiers ont, à l'fristant commun , le même — que
le proposé, en d'autres termes, la même vitesse ; les seconds,
dx d* ' x
le même -7- et le même -7-7- > c'est-à-dire même vitesse et dt dt l
même accélération. Les premiers ont, s'il est permis de s'exprimer ainsi , un contact du premier ordre avec le proposé *, les seconds , un contact du second ordre. Mais aussi on ne peut, même dans un temps infiniment petit, remplacer le proposé par les mouvements élémentaires du premier genre que pour calculer les accroissements d'espace \ tandis qu'on peut employer les autres pour le calcul de l'accroissement de la vitesse.
Mouvement curviligne d'un point.
192. Direction de la vitesse. — La définition que nous avons donnée de la grandeur de la vitesse est indépendante
de la ligne que décrit le mobile , et que l'on nomme ordinairement la trajectoire. Mais quand le mouvement est curviligne, il y a une considération de plus à introduire, celle de la direction. Dans le mouvement rectiligne, la droite qui joint une position du mobile avec une autre infiniment voisine, a toujours une même direction, celle de la droite qu'il décrit , et qu'on nomme la direction du mouvement. Dans le mouvement curviligne , la droite qui joint une position déterminée à celle qu'il a , après un temps infiniment petit, varie à mesure que l'intervalle diminue, et tend vers une limite que l'on appelle quelquefois la direction du mouvement à l'instant considéré y et que nous nommerons spécialement direction de la vitesse à cet instant. Elle se confond évidemment avec la tangente à la trajectoire au point que l'on considère, prise dans le sens du mouvement.
Les cosinus des angles qu'elle fait avec les trois axes d'un système de coordonnées rectangulaires seront donc, en grandeur et en signes ,
dx dy dz ds ds ds
en considérant ds comme la valeur absolue de l'élément de l'arc, et dx, dy, dz comme les accroissements positifs ou négatifs des coordonnées x, y, z du mobile dans le temps infiniment petit dt.
193. Composition et décomposition des vitesses. — Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un même point , nous avons vu dans la Statique qu'elles pouvaient être remplacées par une seule 5 et il y a une construction géométrique très-simple pour obtenir cette résultante, lorsque toutes les forces sont représentées , pour leurs grandeurs et pour leurs directions, par des droites partant de ce point. Lorsque des constructions semblables se rencontrent sans qu'il s*a-
gîsse de forces, il est commode d'employer des dénominations analogues qui indiquent immédiatement ce qui , autrement, exigerait de longs développements. C'est dans ce sens que nous emploierons quelquefois ces expressions, résultante de droites données de grandeurs et de directions partant d'un même point ; composantes d'une ligne de direction et de grandeur donnée.
C'est dans ce même sens que nous entendrons la composition et la décomposition des vitesses. Ainsi, pour avoir les composantes d'une vitesse donnée suivant trois directions données , nous construirons sur la droite qui la représente en grandeur et en direction , un parallélipipède dont elle soit la diagonale et dont les trois côtés soient dans les directions choisies pour les composantes. Ce serait l'inverse pour la composition de trois vitesses*, et quel que soit le nombre des composantes données ou cherchées , on entendra toujours qu'il y a les mêmes constructions à faire que s'il s'agissait de composer ou décomposer des forces appliquées à un même point. Si l'une des composantes étant parallèle à une direction donnée, toutes les autres lui sont perpendiculaires , cette composante est ce qu'on appelle la vitesse estimée suivant cette direction. Ce n'est autre chose que la projection de la vitesse sur cette direction. Nous verrons par l'usage l'utilité que ces transformations peuvent avoir. Mais jusqu'ici il ne faut attachera ces dénominations de composantes et résultantes de vitesses que le sens précis qui résulte de nos définitions.
194. Composantes de la vitesse parallèlement aux axes. — Si l'on suppose les axes rectangulaires , ces composantes ne seront autre chose que les projections de la vitesse sur les axes. En prenant la vitesse en valeur absolue, et sa direction comme nous en sommes convenus , il faudra faire
, , . , ds . dx dy dz
les produits de — respectivement par — 5 -y -> -y ; ce qui
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2 1 g
donnera pour les composantes de la vitesse,
dx dy dz ~dt* ~dt' dt'
elles seront positives ou négatives , suivant que la direction de la vitesse fera avec les axes des angles aigus ou obtus.
Mais il est facile de voir que ces expressions subsistent encore dans le cas d'axes obliques.
En effet, soient M une position quelconque du point, et M' celle qu'il occupe après un temps très-petit ; Ax, Ay, Az les accroissements des coordonnées de M; le parallélipipède dont les arêtes sont Ax, Ay, A z, et la diagonale MM', tend à devenir semblable à un parallélépipède qui aurait les arêtes parallèles aux axes, et sa diagonale suivant la tangente. Or, ce dernier est semblable à celui dont la diagonale et les arêtes seraient la vitesse et ses composantes : donc les rapports de celles-ci à la vitesse sont les limites des rapports
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