MM 7 ' MM'' MM
ou
dx dy dz ds ds ds
ds Les multipliant par la vitesse -t-> on retrouve pour les composantes les expressions précédentes
dx dy dz dt de dt
dx On peut remarquer que — est la vilesse d'un point qui se
mouvrait sur Taxe des x en ayant toujours la même abscisse que le point dans l'espace 5 et il en serait de même
pour les deux autres composantes. D'où l'on voit que les composantes de la vitesse d'un mobile sont les vitesses de ses projections rectangulaires, ou obliques, sur les trois axes de coordonnées.
195. Déviation.— Considérons un point animé d'un mouvement varié quelconque , et à un instant quelconque menons la tangente à sa trajectoire au point M où il se trouve [fis- 44 )• Concevons ensuite qu'à cet instant un second mobile commence à se mouvoir sur la tangente avec la vitesse qu'a le premier en M \ et soient M', N les positions, simultanées de ces deux points après un temps quelconque : la droite NM' indique de combien le mobile a été dérangé de la position qu'il aurait eue, si sa vitesse était restée constante en grandeur et en direction; sa considération est très-importante dans l'étude du mouvement, principalement lorsque l'intervalle de temps écoule entre les positions M, M 7 est infiniment petit. Nous lui donnerons le nom particulier de déviation. Elle pourra être envisagée sous le rapport tant de la grandeur que de la direction qui sera toujours estimée de N vers M'. Elle sera, par conséquent, entièrement déterminée quand on connaîtra en grandeur et en signe ses trois composantes parallèles aux axes. C'est le calcul que nous allons faire , en supposant que le mouvement soit donné, c'est-à-dire que les coordonnées X, y^ z du mobile soient des fonctions connues du temps t .
196. Composantes de la déviation suivant les axeSi — Soit 0un intervalle de temps infiniment petit; les coordonnées de N sur la tangente seront , après ce temps ,
d* A dy „ dz ^
Celles du point M' sur la trajectoire seront, en les développant par la formule de Taylor, et représentant par e y
s', s", des quantités infiniment petites ,
dx
dt \ dt* ) z
dz ^ (d*z
En retranchant les coordonnées de N de celles de M', on aura en grandeurs et en signes les composantes de la déviation NM'$ leurs valeurs sont
fd*x \V fdW ,\0 5 /d'z „\ô 2
Les expressions des composantes de la déviation peuvent être simplifiées lorsque est infiniment petit, car on peut alors négliger le second terme qui est infiniment petit, par rapport au premier 5 elles se réduisent à
dt 2 2 dt 1 2 .dt 7 2
et la déviation elle-même devient, en supposant les axes rectangulaires ,
197. Direction dé la déviation. — On appelle direction de la déviation en un point quelconque M , la limite vers laquelle tend la direction NM' à mesure que M' tend vers M. Les cosinus des angles de NM' avec les axes rectangulaires étant toujours proportionnels aux composantes de NM', et respectivement de mêmes signes , il s'ensuit que la direction de la déviation au point M fait avec les axes des angles dont les cosinus peuvent être représentés proportionnellement en grandeurs et en signes par les trois quantités
d 7 x d 7 y d 7 z ~dF 9 HF' dP'
Leurs valeurs même s'obtiendraient en divisant ces quantités par
//d*x\' /d>rV (d'zX
Si le mouvement avait lieu suivant une ligne droite, la déviation serait évidemment dirigée suivant cette même
d * «f d* y droite $ et , en effet , dans ce cas , les quantités -^7 -> -y^ >
d*z . „ , dx dy dz
-r- sont proportionnelles a -7-? -7-? -r-dt 2 v r dt dt dt
198, accélération dans le mouvement déviatoire. — Nous avons vu qu'en négligeant les quantités d'un ordre supérieur au second , par rapport à , et , par conséquent , infiniment petites par rapport à la déviation NM', la valeur de cette dernière quantité était
BM'^i/i^n-igy+fë
Elle croît donc comme P espace parcouru d'un mouvement uniformément accéléré par un mobile partant du repos , l'accélération étant égale à
//d*x\* [d^rV A* 2
z df
Ainsi , en se représentant la déviation comme décrite par le mouvement d'un point , et bornant l'approximation aux quantités du second ordre qui suffisent pour le calcul des accroissements infiniment petits de vitesse, on peut dire que le mouvement déviatoire est uniformément accéléré \ et dans ce mouvement l'accélération a pour valeur
\/m+ m* (sy
En multipliant cette expression par les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la déviation, et
calculés ci-dessus., on trouvera pour les composantes de
cette accélération, en grandeurs et en signes, les trois
expressions
HF 9 ~dF' ~d?'
199. Remarque. — Il faut bien remarquer que cette accélération est celle du mouvement déviatoire , au moyen duquel on regarde la déviation comme décrite, et non pas du mouvement lui-même sur la trajectoire. Ce serait trop détourner les mots de leur sens naturel. Nous avons d'abord appelé accélération, l'accroissement de la vitesse dans l'unité de temps, cet accroissement ayant lieu uniformément; nous avons ensuite étendu cette définition au cas d'une variation quelconque, par la considération des infiniment petits : il n'est pas possible d'aller plus loin sans dénaturer cette notion. Si donc on considérait l'accélération dans un mouvement curviligne varié, il serait naturel d'entendre par là
l'accroissement de vitesse rapporté à l'unité de temps, ou — >
ce qui ne serait nullement l'accélération du mouvement déviatoire que nous venons de calculer. C'est pourquoi nous ne désignerons jamais celte dernière sous le nom d'accélération du mouvement sur la trajectoire.
200. Composantes de la déviation suivant la tangente et la normale. — Nous avons vu que les composantes de la déviation suivant les axes avaient pour expressions, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à ces composantes ,
2 dt 2 '
2 dt* *
2 dt l
Soient NM' [fig. 44) la déviation, M 7 P la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente en M ; NP et PM' seront, d'après notre définition, les composantes de NM f suivant la tangente et la direction PM'.
La composante tangentielle NP s'obtiendra, en grandeur et en signe , en projetant sur la tangente les trois composantes de NM' suivant les axes. En supposant toujours les axes rectangulaires , les cosinus des angles que forme avec eux la direction de la tangente prise dans le sens du mouvement, sont
dx dy dz .
ds ds ds*
d'où il suit que la composante tangentielle de la déviation aura pour valeur
2 dxd 7 x-\-dyd 7 y-\-dzd 7 z 2 dsdt 7
Mais de l'équation
dx 7 -f- dy 7 -f. dz 2 = ds 2
on tire
dxd 7 x -f- dyd 7 y-\- dzd % z = d$d 7 s\
l'expression précédente devient donc
0* d*s ô* dv
— — ou
2 dt 7 2 dt
Telle est l'expression de la composante tangentielle. .
Quant à la seconde composante M'P, on sait que si l'on désigne par R le rayon de courbure de la trajectoire en M , on aura, en négligeant les quantités infiniment petites par rapporta M'P,
mais MM' étant l'espace parcouru dans le temps 0, on pourra remplacer MM' par y0, et Ton aura, au degré d'approximation demandé ,
Telle est donc l'expression de la composante normale, dont la direction peut être remplacée par sa direction limite, sans changer le degré d'approximation. Cette direction limite est celle de la normale menée du point M au centre de courbure de la trajectoire. Ces deux composantes peuvent être désignées par les noms de déviation tangentielle et déviation centripète.
On reconnaît facilement, d'après les expressions de ces deux composantes, que, si le mouvement est uniforme, ladéviation est normale à la trajectoire; et, s'il est rectiligne, R étant infini, la déviation est dans le sens de la tangente ou de la ligne du mouvement.
201 . Composantes tangentielle et normale de l'accélération dans le mouvement déviatoire. — Le mouvement déviatoire étant dirigé suivant NM', et par suite aussi, l'accélération de ce mouvement, les composantes de cette accélération suivant la tangente et la normale principale seront, avec raccélératiou elle-même, dans les mêmes rapports que NP, PM', NM' , et nous avons déjà remarqué que les composantes de l'accélération dans un mouvement rectiligne NM' sont les accélérations des mouvements des projections du point sur les directions que Ton considère. Nous aurons donc les expressions des composantes de l'accélération en
5 * divisant par — les expressions des espaces infiniment petits
NP, PM' parcourus , dans le temps 0.
Les composantes tangentielle et normale de l'accéléra-
tion du mouvement déviatoire sont donc , la première —
ou -^-? et la seconde —■• dt R
On les désigne quelquefois sout les noms à! accélération
tangentielle et accélération centripète.
