DE FORME INVARIABLE

202. Si Ton considère deux positions successives occupées par un système de forme invariable, indépendamment des forces qui Font sollicité, et du temps qu'il a mis pour ' passer de l'une à l'autre, on voit d'abord qu'il y a une infinité de manières de l'amener de la première à la seconde, et Ton peut se proposer de déterminer les mouvements les plus simples ou les plus avantageux , au moyen desquels on peut, dans chaque cas, opérer ce passage.

Or, quelque déplacement qu'ait subi un système, on peut l'amener dans sa nouvelle position, en faisant d'abord mouvoir tous les points suivant des lignes parallèles et égales à celle qui joint les deux positions d'un, même point du système, ou d'un point quelconque qu'on y aura lié invariablement, puis en laissant ce point fixe , et en faisant tourner le système autour de lui , jusqu'à ce que deux autres points , non en ligne droite avec ce centre , viennent prendre la position qu'ils doivent occuper.

Examinons maintenant chacun de ces deux mouvements, de translation et de rotation.

Il est évident que le point que l'on a considéré pourrait parvenir d'une position à l'autre, en décrivant un polygone quelconque , qui commencerait à l'une et se terminerait à T autre. D'où il suit que le premier mouvement pourra être remplacé par une suite d'autres mouvements de translation, représentés en grandeur et en direction par les divers côtés de ce polygone. Cette substitution de plusieurs mouvements successifs à un seul s'appellera composition , et l'inverse décomposition. On peut donc dire que les mouvements de translation peuvent se composer et se décomposer

de la même manière que les forces appliquées à un même point.

Quant au mouvement autour du point fixe, il est facile de reconnaître d'abord qn'il peut être décompose d'une infinité de manières, en deux mouvements, autour d'axes fixes; car on amènerait un point quelconque d'une position à une autre, en faisant tourner le système autour d'une droite quelconque passant par le point fixe, et située dans le plan mené par ce point, perpendiculairement à la droite qui joint les deux positions du point que Ton considère, lesquelles sont nécessairement équidistantes du centre. Le système ayant maintenant deux de ses points dans la position qu'ils doivent occuper , il est certain que tous les autres arriveront à la leur, par un mouvement de rotation autour de la droite qui joint les deux premiers. La question est donc réduite à la considération des mouvements de rotation autour d'axes passant par le point fixe.

Les propositions que nous allons démontrer relativement à la composition et la décomposition de ces mouvements sont extraites de la Théorie nouvelle de la rotation des corps, de M. Poinsot ; mais, avant d'entrer dans cette exposition, nous commencerons par faire une remarque trèssimple et très-utile. Lorsqu'un corps tourne autour d'un axe fixe, d'une quantité angulaire infiniment petite, les variations infiniment petites des coordonnées d'un point quelconque dépendent des coordonnées de ce point, et des autres données de la question. Pour un point infiniment voisin, ces variations ne différeront donc des premières que de quantités infiniment petites par rapport à elles, et l'on peut les substituer les unes aux autres, s'il ne s'agit que de limites de sommes ou de rapports. On peut donc , dans la détermination du déplacement infiniment petit d'un corps qui tourne autour d'un axe, supposer que le corps , au lieu de partir de la position donnée , parte d'une

2«8 COUflS DE MFCANlQrK.

aulre position infiniment voisine; les variations des coordonnées de chacun de ces points , ainsi calculées , pourront être prises pour celles que l'on cherchait. Si donc on a à faire éprouver successivement à un corps un nombre quelconque de rotations successives infiniment petites, on pourra supposer chacune d'elles effectuée à partir de la position primitive du corps, et la somme totale des variations des coordonnées de chaque point pourra être considérée comme la variation résultante des mouvements opérés à la suite les uns des autres , et dans un ordre quelconque.

Il est encore facile de s'assurer que si le système tournait de la même quantité infiniment petite autour d'un axe infiniment voisin de celui qui est donné , les variations des coordonnées d'un point à une distance finie ne seraient altérées que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes, et qui pourraient conséquemmentêtre négligées. Eu effet, les variations des coordonnées, en se bornant aux quantités du premier ordre infinitésimal, sont le produit de l'angle de rotation infiniment petit, par des fonctions des quantités qui déterminent l'axe. Si donc ces quantités changent infiniment peu, il en résulte, pour les variations des coordonnées, des changements d'un ordre supérieur au premier.

Ainsi , il n'y a aucune erreur du premier ordre infinitésimal dans l'expression des variations des coordonnées des divers points d'un système rigide qui tourne successivement, de quantités angulaires infiniment petites, autour d'axes en nombre quelconque, lorsque l'on substitue à ces divers points, d'autres points infiniment voisins; que l'on substitue de même à ces axes d'autres axes infiniment peu différents, etquel que soit Tordre dans lequel 8n effectue ces différentes rotations. C'est à cause de ces avantages que Ton décompose toujours les mouvements effectués dans des temps finis, dans ceux qui s'accomplissent dans les intervalles infini-

ment petits, dans lesquels on peut décomposer ces temps. Aussi tout ce que nous dirons sur la composition et la décomposition des mouvements se rapportera presque uniquement au cas où ces mouvements seront infiniment petits.

203. Vitesse angulaire, — Considérons le mouvement continu de rotation d'un système rigide, et concevons un plan passant par Taxe et lié invariablement au système. La position de ce plan détermine celle de tous les autres points, et peut être donnée à chaque instant par l'angle ty qu'il fait avec un plan fixe mené par l'axe.

Si les accroissements de cet angle sont proportionnels aux accroissements du temps , le mouvement angulaire du système est uniforme. Il en est de même des mouvements des différents points, et leurs vitesses sont proportionnelles à leurs distances à Taxe. On nomme, dans ce cas, vitesse angulaire du système, F angle décrit par le plan mobile dans l'unité de temps; c'est la vitesse de tout point situé à l'unité de distance de Taxe.

Si le mouvement angulaire est varié et que l'angle <(/ soit une fonction quelconque du temps, on appellera vitesse angulaire à un instant quelconque la limite de la vitesse angulaire moyenne av«c laquelle un angle infiniment petit serait décrit à partir de cet instant. Sa valeur est la dérivée

de l'angle par rapport au temps , ou -^ ; et l'angle décrit

dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de la vitesse angulaire par ce temps, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur.

204. Remarque. — Il ne faut pas perdre de vue le sens que nous avons attaché à la composition des mouvements. Nous avons supposé que le corps avait deux mouvements successifs , et nous nous sommes proposé de déterminer la position à laquelle il parvenait après leur accomplissement. Quelquefois on dit qu'un corps est animé de plusieurs mouve-

23o COURS DE MÉCANIQUE.

ments simultanés; mais comme effectivement un point ne peut avoir qu'un mouvement à la fois , on entend par là que ce corps a un certain mouvement par rapport à un système rigide , qui lui-même en a un par rapport à un autre système rigide, et ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton arrive à un système immobile. Il résulte de là, pour le corps, un certain mouvement dans l'espace, qui est continu si les autres le sont , et qui rentre dans les mouvements résultants tels que nous les avons définis. En effet, considérons tous ces mouvements correspondants à un même temps écoulé : concevons d'abord que le corps se meuve seul et accomplisse son mouvement dans le premier système; qu'ensuite ce système exécute son mouvement dans le second , en entraînant avec lui le corps dans la position qu'il y a prise; qu'après cela, le second système exécute son mouvement en entraînant le premier et le corps; et ainsi de suite; il est facile de voir que le corps se trouvera à la fin dans la position où il doit être d'après les données. Mais chacun des mouvements, que nous venons d'indiquer, des systèmes qui entraînent le corps fixement lié à eux, n'est autre chose qu'un mouvement du corps lui-même , et décomposable en un mouvement de translation suivi d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. D'où l'on voit que les mouvements simultanés en question , que Ton appelle quelquefois, assez improprement, des mouvements dont le corps est animé simultanément , le placent à une époque quelconque dans la même position où il arriverait par la composition de ces mouvements telle que nous l'avons définie , c'est-à-dire en les produisant successivement.

205. Cas des axes concourants. — Soit OA {fig- 45) la direction d'un axe autour duquel un système rigide tourne, d'une quantité angulaire quelconque 2 a , le sens de la rotation étant déterminé de la manière indiquée précédemment.

Soit de même OB un second axe autour duquel le système tourne d'une quantité angulaire 2 6 , quand le premier mouvement est accompli. Nous allons démontrer que le système arriverait à la même position par une rotation unique , autour d'un axe passant par le même point O.

En effet , menons par O A un plan qui fasse avec le plan AOB un angle a, du côté de OB; et par OB un autre plan faisant avec ÀOB un angle 6, du côté de ÀO. Tl est évident qu'après Ja première des deux rotations , l'intersection OD de ces deux plans aura pris la position symétrique par rapport au plan AOB, et qu'après la seconde rotation, elle aura repris sa première position. Donc le système parviendrait à la seconde position en tournant autour de Taxe OD.

Cette conséquence a lieu, quels que soient les angles sa, 1 S ; mais nous examinerons particulièrement le cas où ils sont infiniment petits. Dans l'angle trièdre, formé par les arêtes OA, OB, OD, les sinus des angles BOD, AOD sont

entre eux comme sin a : sin 6*, donc la limite de -> qui est

le rapport des vitesses angulaires , en supposant ces angles décrits dans un même temps, est égale au rapport des sinus des angles formés avec OB, OA par la limite de la direction de l'axe OD, qui se trouve dans le plan OAB lui-même. Ainsi , les deux rotations infiniment petites , dont le rapport des vitesses angulaires est connu, se composent en une seule, autour d'un axe dirigé suivant la diagonale OP du parallélogramme construit sur les lignes OM, ON {fig. 46), proportionnelles à ces vitesses angulaires, et portées, à partir du point O, sur les axes correspondants.

Il ne reste plus qu'à connaître le sens et la grandeur de la vitesse angulaire du mouvement résultant. Pour cela, on choisira un point quelconque 1 sur l'axe OA, autour duquel s'est effectuée la première rotation •, il ne se déplacera

23a -COURS DE MÉCANIQUE.

qu'à la seconde, et il décrira une ligne infiniment petite IL perpendiculaire au plan AOB {fig. 46). Abaissons les perpendiculaires IK, IH sur OB, OD. Les angles infiniment petits , dont le point I tourne autour de OB ou de OD, pour parvenir à sa position L, sont dus à des mouvements de même sens, et en raison inverse de IK et IH , ou de sin KOI et sin HOI, ou enfin de OP et ON. Donc la vitesse angulaire résultante sera représentée par la diagonale OP, puis* que la vitesse angulaire autour de OB l'est par ON. De plus, d'après ce que nous avons dit, le sens de la rotation autour de OD est de gauche à droite , comme autour de OB. Donc enfin , si l'on prend sur la direction de deux axes, à par-* tir de leur point de concours, des grandeurs qui représentent les vitesses angulaires des rotations successives au-> tour de ces deux axes, la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux lignes représentera la direction de l'axe de la rotation résultante, et la grandeur de sa vitesse angulaire.

On conclut de là que la composition et la décomposition de rotations en nombre quelconque autour d'axes passant par un même point s'effectuent de la même manière que celles des forces dirigées suivant ces axes, et représenfées en grandeur par les vitesses angulaires correspondantes.

206. Cas des axes parallèles. — Considérons maintenant deux axes parallèles dont les directions sont dans le même sens, par exemple au-dessus du plan perpendiculaire sur lequel ils sont projetés. Soient A et B leurs projections, et 2 a, 26 les angles dont le système tourne successivement autour de A et B. Soit AC {fig. 47) l a trace d'un plan pas-? sant par l'axe A et faisant avec AB l'angle CAB = a du côté de B ; et soit de même BC faisant l'angle CBA = 6 du côté de A. La parallèle aux axes, menée par le point C, reviendra à sa première position après les deux rotations , effee-

tuées dans l'ordre indiqué. Le déplacement proposé serait donc produit par une rotation autour de cette droite.

Lorsque les angles oc , ê sont infiniment petits, le point C est sur la droite AB, en un point G' qui la partage en raison inverse des angles a, ê, ou des vitesses angulaires.

De plus , lorsque la rotation est effectuée autour de A , et qu'elle s'effectue ensuite autour de B, le point A étant situé du même côté de C et B , et la rotation autour de G devant l'amener au même point, il en résulte qu'elle est dans le même sens que les deux autres. Il ne reste plus qu'à connaître la vitesse de la rotation résultante. Soit AD la ligne infiniment petite que décrit le point A autour de B, il décrira la même ligne autour de C, et les vitesses angulaires seront en raison inverse de AB et de AC ; . Donc, si les vitesses angulaires autour de A et B sont représentées respectivement par BC ; et AC, la vitesse angulaire résultante le sera par AB,

La loi de composition de deux rotations de même sens autour d'axes parallèles est donc identique avec celle de la composition des forces parallèles de même sens. On trouverait la même identité dans le cas de rotations de sens contraires, soit eu le déduisant du précédent, comme dans la composition des forces , ou en le traitant directement.

207. Couples de rotations. — Si les deux rotations qu'on a à composer étaient égales et de sens contraires, on aurait ce que M. Poinsot appelle un couple de rotations. L'effet de ces deux rotations est de donner un mouvement de translation au système dans le sens de l'axe de ce couple. En effet, soit M (fig. 48) un point quelconque du système, il se mouvra dans un plan perpendiculaire aux axes ; et si pour chacune des rotations il décrit les lignes infiniment petites MC, ME, respectivement perpendiculaires aux droites MA , MB et proportionnelles à leurs longueurs , il parviendra à l'extrémité N de la diagonale du parallélogramme

construit sur MC, MD. Or, les triangles MCN, AMB sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels , d'où il suit que MN est perpendiculaire à AB. L'effet d'un couple de rotations est donc un mouvement de translation dans le sens de l'axe de ce couple , et qui reste le même , de quelque manière qu'on place ce couple dans son plan, ou dans tout plan parallèle. Pour connaître* l'espace parcouru, il suffit de considérer un point quelconque, A par exemple, et il est facile de voir qu'il se déplace d'une quantité égale à la distance AB , multipliée par l'angle de rotation.

Toute translation pouvant ainsi être remplacée par deux rotations , on pourrait se borner à considérer des mouvements de rotation.

Nous avons vu que les mouvements de translation se composent comme les forces appliquées à uti même point ; il s'ensuit que les couples de rojtations se composeront de la même manière; et si l'on porte sur l'axe de chacun d'eux une longueur égale à l'angle de rotation multiplié par le bras de levier de ce couple, c'est-à-dire par la distance de deux axes de rotation , ces longueurs composées comme des forces, à partir du même point, donneront en grandeur et en direction le mouvement de translation résultant.

On remarquera qu'une rotation autour d'un axe A pourra toujours être remplacée par une rotation identique, autour d'un axe B parallèle au premier, plus un couple de rotations dont le bras de levier sera AB 5 car il suffit pour cela d'introduire deux rotations autour de Taxe B qui soient égales à la première et de sens opposés , ce qui ne change rien au déplacement. •

208. Réduction générale de tout mouvement. — Quelles que soient les rotations et translations infiniment petites opérées sur un système , elles peuvent se réduire à une rota-

tiou autour d'un axe passant par un point arbitraire , et une translation dépendante de ce point.

En effet, toute rotation autour d'un axe peut être changée en une rotation identique autour d'un axe parallèle mené parce même point quelconque, plus une translation, ou un couple de rotations, dépendant de la position du' nouvel axe. Toutes les rotations composées donneront la même rotation résultante autour d'un axe de direction constante y quel que soit le point où Ton ait transporté tous les axes. Mais les mouvements de translation ou couples de rotations donnés , composés avec ceux qu'on a introduits , donneront un couple résultant, ou une translation, variable de grandeur et de direction.

209. Cas particulier où le mouvement est parallèle à un plan. — Si tous les points du corps se meuvent suivant des lignes parallèles à un même plan, et que l'on conçoive une section faite par un plan fixe parallèle au premier, il en résultera une figure qui se mouvra dans ce plan fixe ; et sa position déterminant celle du corps même, il suffira de considérer le mouvement de cette figure.

Or, il est facile de démontrer que tout déplacement infiniment petit qu'elle subira , peut être produit par une rotalion autour d'un point déterminé. En effet, on pourra toujours produire ce déplacement, par une translation qui amènera un point A choisi arbitrairement dans la position A' qu'il doit prendre (Jig. 49), puis , par une rotation convenable 2 a effectuée autour de "A'. Meuons par A' une droite LM perpendiculaire à.AA', et deux autres droites faisant de part et d'autre deLM des angles égaux à ol\ puis r inscrivons entre ces deux droites deux. lignes BB', CC, égales et parallèles à AA'.

Les deux points B , C considérés comme liés à la figure auront été transportés en B', C par la translation -, ensuite la rotation amènera B' en B ou C en C, suivant qu'elle de-

23f> COURS DE MÉCANIQUE.

vra être exécutée dans un sens ou dans l'autre. Supposons que ce soit B' qui revienne en B : le système arrive donc dans la position qu'il doit avoir , sans que le point B quitte sa première position , et par conséquent , par une simple rotation autour du centre B, dont la position est entièrement déterminée par la construction précédente. Le corps aura ainsi .effectué une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan.

La question que nous venons de traiter est renfermée dans celle du mouvement d'une figure sur une sphère, laquelle avait été traitée pour la première fois par Euler.

210. Réduction générale à un mouvement hélicoïdal. — Nous avons déjà réduit tout mouvement à deux autres, l'un de translation dépendant du point choisi \ l'autre de rotation et constant quant à la direction et à la grandeur. Décomposons le premier en deux , l'un parallèle à Taxe de rotation , l'autre perpendiculaire. Ces mouvements infiniment petits pouvant être effectués dans un ordre quelconque, nous commencerons par la translation parallèle à l'axe ; il restera une rotation et une translation perpendiculaire à l'axe, qui se composeront comme on vient de le voir, en une simple rotation autour d'un axe parallèle au premier.

Tout mouvement est donc réductible à une rotation autour d'un axe , et une translation parallèle à cet axe, mouvement qui n'est autre que celui d'une vis dans son écrou.

On reconnaît facilement que cette translation parallèle à l'axe est la projection, sur cet axe , de la première translation à quelque point qu'elle se rapportât. Elle est toujours la même et égale à la quantité commune dont tous les points du corps, en passant de leur première position à la seconde, se sont éloignés d'un même plan perpendiculaire à la direction déterminée de l'axe. Enfin elle est la plus petite trans-

lation possible, puisqu'elle est la projection de tontes les autres.

On arriverait à ce même résultat par la composition des rotations et des couples de rotations , qui est analogue , comme nous l'avons vu, à celle des forces et des couples. En effet, nous avons démontré dans la Statique que tout système de forces pouvait être ramené à une force , et un couple ayant son axe parallèle à cette force. Donc aussi, tout système de rotations ou translations infiniment petites peut être réduit à une rotation autour d'un axe , et une translation parallèle à cet axe.

21 i . Mouvement continu parallèlement à un plan fixe. — Ce mouvement peut être réduit , comme nous l'avons déjà dit, à celui d'une figure plane dans son plan. Décomposons le temps en éléments infiniment petits. Le mouvement opéré dans chacun de ces intervalles pourra , comme nous l'avons démontré , être considéré comme une rotation effectuée autour d'un point déterminé, que Ton nomme centre instantané de rotation; et l'ensemble de ces centres a pour limite un lieu géométrique continu, entièrement déterminé, et immobile sur le plan. Si maintenant l'on considère tous les points liés à la figure mobile, qui sont venus successivement coïncider avec les points du premier lieu à l'instant où ils étaient centres de rotation , on aura un second lieu , invariablement lié avec la figure mobile, et se déplaçant sur le plan. Si l'on connaissait le mouvement de ce lieu, il déterminerait réciproquement celui de la figure qui lui est liée. Or nous allons voir qu'il peut être très-simplement défini.

En effet, soient A, B, C, D, E, F, etc. ( fig. 5o), les positions successives des centres de rotation correspondants aux divers intervalles de temps \ A', B', C, D', etc., les points liés à la figure , et qui viennent coïncider respectivement avec les premiers, à l'instant où ils deviennent centres de

rotation. Lorsque, par exemple, B' est en B, la figure tourne autour de B jusqu'à ce que C vienne en C •, alors elle tourne autour de C jusqu'à ce que D' vienne en D, et ainsi de suite. D'où il suit que ces deux polygones ont les côtés égaux et roulent l'un sur l'autre sans glisser, tandis que la figure arrive successivement à toutes les positions qu'elle doit avoir aux instants considérés.

Supposons maintenant que les intervalles de temps diminuent indéfiniment; les deux polygones tendent à devenir deux courbes déterminées, Tune fixe, l'autre mobile avec la figure à laquelle elle est invariablement liée. Ces deux courbes sont constamment tangentes ; des arcs égaux de ces courbes s'enroulent les uns sur les autres, et, par conséquent, il n'y a pas glissement.

Si donc on adaptait à la figure donnée la courbe lieu des centres instantanés relativement à cette figure , il suffirait de faire rpuler, sans glisser, cette figure sur celle qui est le lieu des mêmes centres sur le plan fixe 5 et Ja figure prendrait ainsi le mouvement qu'elle doit réellement avoir.

Pour avoir le mouvement du corps lui-même, il suffira de considérer les deux surfaces cylindriques qui se projettent sur le plan fixe, suivant ces deux courbes, et de les faire rouler l'une sur l'autre sans glisser.

212. Mouvement continu autour d'un point fixe. — Ce mouvement peut être décomposé en une infinité d'autres effectués dans des intervalles de temps infiniment petits, et qui peuvent être considérés comme ayant lieu autour d'axes successifs infiniment voisins; chacun de ces axes peut être considéré comme lié au corps dans la position où il est relativemeut à lui à l'instant où il devient axe de rotation. On a ainsi deux systèmes de droites, l'un immobile dans l'espace , l'autre fixement lié au corps mobile. Ce second système constitue un angle solide , à faces infiniment petites, qui viennent successivement coïncider avec celles de

l'angle solide fixe. Les deux systèmes forment à la limite deux surfaces coniques , Tune fixe , l'autre liée au corps et toujours tangente à la première suivant une génératrice, puisque les surfaces dont elles sont les limites avaient toujours une face commune.

Il est facile de voir, en outre, qu'elles ne glissent pas l'une sur l'autre. Car la génératrice commune étant l'axe instantané de rotation a une vitesse nulle , et , par conséquent , ne peut se déplacer que d'un infiniment petit du second ordre , dans l'intervalle de temps du premier ordre, pendant lequel a lieu une rotation du même ordre : ce qui exclut tout glissement. Et, d'ailleurs, c'est aussi une conséquence immédiate de ce que des faces égales de surfaces polyédriques s'appliquant toujours les unes sur les autres, les surfaces coniques qui s'enrouleront les unes sur les autres le seront elles-mêmes , et, par conséquent, il n'y aura pas glissement.

On peut donc se représenter le mouvement d'un corps autour d'un point fixe, comme déterminé par le roulement d'un cône fixement lié à ce corps sur un cône immobile dans l'espace ayant, comme le premier, le point fixe pour sommet.

On rentrerait dans le cas précédent en supposant le point fixe à l'infini.

213. Mouvement continu en général. — Les mouvements infiniment petits dans lesquels on décomposera le mouvement peuvent être ramenés d'une infinité de manières à une translation et une rotation *, nous nous bornerons à considérer celle où la translation est parallèle à l'axe de rotation. M. Poinsot n'a pas cru devoir parler de ce cas, parce que la marche à suivre est la même que dans les précédents, et que cela l'aurait écarté, sans aucun intérêt , de son objet. L'ensemble des axes de rotation et de glissement forme une surface réglée dans l'espace, et une autre dans le corps

^4o COURS DE MÉGANIQUE.

mobile. Toutes les génératrices de la seconde viennent successivement s'appliquer sur celles de la première; et, eu supposant que la rotation soit exécutée après la translation, une génératrice de la seconde viendra, par une rotation, s' applique i sur sa correspondante, sur laquelle elle glissera d'abord en entraînant le corps dans sa translation, et autour de laquelle elle tournera ensuite jusqu'à ce que les deux génératrices suivantes soient venues coïncider; et ainsi de suite.

Or, au moment où la rotation autour d'une génératrice commune a amené une seconde génératrice à coïncider, les deux surfaces ont deux génératrices communes, et, par conséquent , sont tangentes dans toute l'étendue de ces génératrices. On peut donc dire que le mouvement du corps peut être réalisé par le mouvement d'une surface réglée , liée à ce corps sur une autre surface réglée fixe dans l'espace, à laquelle elle est tangente suivant toute une génératrice, et sur laquelle elle roule en glissant le long de cette génératrice.

Le rapport du glissement à la rotation dépend de la nature du mouvement et peut même être nul. Si l'une des surfaces est développable , il est clair que l'autre l'est aussi, puisque leurs éléments coïncident dans toute leur longueur.

On rentre dans le cas précédent s'il y a un point fixe dans le corps-, les deux surfaces deviennent des cônes, et le glissement est nul.

Démonstration analytique des propositions précédentes.

214. Il n'est pas inutile de voir comment les principales propositions qui viennent d'être établies sur le mouvement d'un corps solide, peuvent être démontrées par le calcul. Nous déterminerons la position du corps à chaque instant, au moyen des coordonnées rectangulaires d'un point quel-

conque O lié à ce corps , et des angles formés avec les axes fixes AX, AY, AZ par trois axes rectangulaires OXi, OY 1? OZ t liés invariablement au corps et passant par le point O. Soient a, i, c, a'^b', c\ a 1 ', b",c u les cosinus des angles que forment les axes des x'^y'^z* respectivement avec ceux des x, y, z, et £, »j, £ les coordonnées du point arbitraire du système mobile par lequel on mène les axes des x'^y', z\ dont on a choisi la direction dans le corps, indépendamment du point O par lequel on les fait passer. On aura, entre les coordonnées d'un point quelconque M dans les deux systèmes d'axes, les relations connues

!j? = Ç -+- ax f -+- by' -4- cz\ y=zn + a' x*-\- h'/ -+- c'z\ «={+ a"x'+ Vy*. c"z'.

Considérons un point déterminé du système pour lequel, par conséquent, x'y f z' seront indépendants du temps t. Supposons que t augmente d'une quantité finie At , et désignons par la caractéristique A les accroissements finis correspondants des autres variables. Les équations (1) donneront

IA.r = AÇ -f-.z'A« -f-j'aà -f-s'Ac, Ajr = an -\- x' ba' -{- y' ^b' -h z' àc\ Az = AÇ 4- x' A«"-h j'a£."4- z' bc" '.

Les premiers, membres de ces équations sont les composantes du déplacement de ce point, parallèlement aux axes fixes-, les premiers termes des trois seconds membres sont les composantes du déplacement de O; et il est facile, comme nous allons le voir, d'interpréter les trois derniers termes de chacun des seconds membres. En effet, si en supposant le point O fixe, on change la direction des axes X', Y', Z', de manière que dans le temps A t les cosinus a, i, c, a' , etc. , varient des mêmes quantités A# , At, etc., il faudra laisser i. 16

£, y?, £ constants dans les équations (i), et les seconds membres des équations (2) seront réduits à la seconde partie que nous cherchons à interpréter. D'où l'on voit que ces secondes parties ne sont autre chose que les composantes du déplacement que prendrait le point quelconque M si Ton donnait au système un jnouvement autour du point fixe O, qui fît changer, dans le temps Al, les inclinaisons des axes X t Y t Z t de la même manière que dans le déplacement réel. Il suffit donc , pour amener chaque point dans sa véritable position , de faire exécuter au corps les deux mouvements successifs qui produiront ces deux composantes pour chaque point. D'où résulte cette proposition générale :

Tout déplacement fini d'un système rigide peut être produit en lui donnant d* abord un mouvement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position quil doit avoir; puis un mouvement de rotation autour de ce dernier point, mouvement qui est le même, quel que soit le point choisi, et ne dépend que des changements de direction des lignes du système.

Il est évident qu'on aurait pu effectuer d'abord la rotation autour du point o pris dans sa première position, puis effectuer la translation-, les valeurs de Ax, Ay, Az seraient les mêmes, et, par conséquent, le système arriverait à la même position. C'est ce que l'on reconnaîtrait d'ailleurs immédiatement par la Géométrie.

21 S. Simplification du mouvement autour d'un point. — 11 est facile de voir que tout déplacement du corps autour du point fixe O peut être produit par une rotation autour d'un axe passant par ce point.

En effet, en supposant le point O fixe, les équations (2) donnent, pour ù>x, Ay, Az, des valeurs qui seront nulles pour tous les points du corps qui satisferont aux équa-

Lions

Ix'Aa + y' Ab 4-2'Ac=:o, dAat + y'Ab' -+- z' Ac' = o, 4 Aa'+y 9 Ab"+4 A<?=o.

Tous ces points auront donc la même position avant et après le déplacement. Si , en éliminant x\y\ et, par suite, z', entre ces trois équations, l'équation de condition résultante est satisfaite , il y aura une infinité de valeurs pour x 1 , y\ z 1 satisfaisant aux équations (3) et qui correspondront à des points en ligne droite avec l'origine O; sinon, l'origine seule satisferait. Or nous allons voir que cette équation de condition est satisfaite; d'où il résultera que tous les points d'une certaine droite passant par O ont conservé leur position première après le déplacement , et , par conséquent, que ce déplacement peut être opéré en faisant tourner le système autour de cette droite fixe.

En effet, les quantités a, i, c, a', etc., satisfont constamment aux équations suivantes :

ab+>a'b'+-a"b"=zo 9 ac+a'c'+a"c"=:o > bc + t/c'-hb"c"=zo.

D'où l'on tire, en donnant à a, i, c, etc., les accroissements Aa, Ai, etc., et retranchant les équations précédentes ,

(û4-^û)Aû + (û / + jAû , )Afl / 4-(/+7Aû // )A/=:o,

(4) \ {b+\Ab)Ab+{b' + \Ab')Ab' + {b" + \Ab")Ab"=:0,

(c -f- i- Ac) Ac + (</ -h {A</) Ac' -h (r" + i- Ac") Ac" = o;

aAb + bAa-ha'Ab' + b'Aa'-t- a"Ab"-+- b" Aa"

-f- AaAb-\- Aa' Ab' + Aa" Ab" -=z o, a Ac -+- cAa -f- a' Ac 1 -t- d Aa! + a" Ac" -h c"A«" ' ' » -H AaAc-J- Aa'A(/-{- Aa"Ac"=o 9

bAc +cAb + b' Ac' -h c' Ab' -h- b" Ac" + c" Ab" -h AbAc + Ab' Ac' + Ab" Ac" = o.

244 COURS DE MÉGANIQUE.

Cela posé, multiplions les équations (3) respectivement par a 4- \ Aa 9 a'-f- j Aa', aV^A/, et ajoutons-les ; nous aurons, en vertu de la première équation (4) 5

y f [(a + iàa) Ab + (fl'+iAû') A £'+(*" H- i A a") A*"] + 2'[â + |A«)Ac4-(û , + T^«') Ac '^-(« ,, -+-T A « / ')Ac // ]==o.

On trouverait deux autres équations en multipliant les équations (3) successivement par

6 + * A*, b'+-\Ab' 9 b"+\Ab\ et par

c-+-|Ac, c'-hjAc', c"-*--^".

On pourra ainsi remplacer les équations (3) par les suivantes :

S{aAb+a'Ab'+a'Ab"+\AaAb+\Aa'Ab'+\Aa''Ab") +z'{aAc+a'Ac'-\-a"Ac"-\-l i AaAc+\Aa'Ac , +\Aa f 'Ac'')=zQ,

g, , z\bAc+b'Ac>+b , 'Ac"+\AbAc+\Ab'Ac'+-\Ab"Ac") 1 ' < +a/(^Aa-+-fc , A« / -i-^ , Afl /, 4-|A^A«-4-|A^Aa'-|-|A6 ,/ Aû' , )=o,

jr'(cA«-+-c / Aa'+c ,/ Afl /, -|--i.AcA«+|Ac'Aû'-+-TAc' , Afl' / ) H-/(c A b+c'A b'+c"A b"-+-\ AcAb+\ Ac f Ab'^ Ae"A&")=o.

Nous poserons , pour abréger,

icAb+c'Ab'+c"Ab''+±AcAb + {Ac'Ab'-h±Ac''Ab' , =:p, a Ac 4- a'Ac'-f- a"Ac"-h { Aa Ac-f- | Aa'Ac'H- 1 A«"A c"= ?, fcAfl-h^Aa / -h^' , A« ,, + {A^A«-|-lA^Afl'4-{A^ / Afl /, = r;

d'où résultera , d'après les équations ( 5 ) ,

lbAc+b'AS+b''Ac'+\AbAc+±Ab'Ac'-h\Ab''Ac''==--p 9

(S)\cAa^c f Aa f -^c f, Aa f/ 'h\AcAa-h\Ac[Aa , -^{Aa /, Ab /f ==:-^g 9

\aAb+a 1 Ab'+a"Ab f, + \AaAb + \Aa'Ab'+±Aa , 'Ab"=z--r.

Cela posé, les équations (6) qui sont équivalentes aux équations (3) , s'écriront ainsi :

qz — ry = o,

p/— - qx' ' = o.

Or il est facile de reconnaître que ces équations se réduisent à deux ; car, si Ton multiplie la première par /?, la seconde par q, la troisième par /-, et qu'on les ajoute, on aura une équation qui pourra être substituée à Tune des trois 5 et comme elle est identique, les trois équations se réduisent à deux. Le nombre des solutions est donc infini , et le lieu des points qu'elles représentent est une droite passant par le point de rencontre des axes X', Y', Z'.

Les équations (9) sont donc les équations, par rapport aux axes X', Y', Z', de l'axe autour duquel il faudrait faire tourner le système pour l'amener dans la position où il arrive quand le point O restant fixe, les cosinus a, i, c, a', etc., prennent les accroissements Aa, A2>, etc.

Il est donc démontré que :

Tout déplacement d'un système rigide peut être produit par un mouvement de. translation qui amène un quelconque de ses points dans la position quil doit avoir, suivi d'un mouvement de rotation autour d'un axe passant par ce dernier point, et indépendant du point choisi.

Les cosinus des angles de Taxe de rotation avec les axes X', Y', Z', sont proportionnels àp, q, r, et ont par conséquent pour valeurs

s/p 2 +q 2 +r* ^-f.yi + r» y^'+^+r 3

Le même axe fait avec les axes des x , y, z des angles dont les cosinus seront , par suite,

ap -+• bq -+- cr a'p+ V q -h c* r «" p -f- b" q -f- c" r

s/p 7 +q*-+-r> v 7 /» 2 -*- y'+^ ' vV-hf' + r 1

216. Valeur de la rotation. — Il suffit de connaître l'angle dont tourne la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque sur Taxe de rotation. Nous prendrons à cet effet un

point situé sur l'un des trois axes , à la distance i de l'origine O : considérons-le par exemple sur l'axe des z. La distance de ce point à Taxe est le sinus de l'angle de cet axe

avec OZ, ou p - — -, la droite qui joint la première

et la seconde position du même point est y/A.r*4-A^ s -h Az% les quantités Ax, Ay, Az étant données par les équations (a) dans lesquelles A£, Ayj, A£, x f , y f sont supposés nuls , et z f = i \ ce qui donne , pour la longueur de cette droite ,

v/ac 2 + Ac' 2 -f- Ac" 2 .

Mais cette même longueur divisée par la distance du point à l'axe de rotation donne le double du sinus du demi-angle de rotation , que je désignerai par a) ; on aura donc

. i s/àc 2 + Ac' 2 -f- Ac" 2 v//> a ^-? 2 ^-'• 2

2 sm — w = ===== '•>

a sjp* -+- q >

mais on aurait de même trouvé , en choisissant le point sur les axes des x 1 ou y\

^àb* -h A b H -f- A b" 1 \/p 2 -4- q* -h r 2 sjpi-it-r 1 et

V^Aa 2 + Aa' 2 -+- A*" 2 <Jp* H- ? 2 -f- r 2 v/^-j-r 2 d'où résulte

Art 2 4- Aa' 2 -h A«" 2 A^ + A^ + A £" 2 Ac 2 -h Ac/ 2 + Ac" 2

Aa 2 -f- A«' 2 -+- A*" 2 -h A&'-f- A£' 2 -+- àb"*-\- Ac 2 + Ac' 2 -h Ac" 2

L'angle w sera donc exprimé par la formule suivante, au

moyen des données immédiates ;

tin- w

(IQ)

= — r- v'a a"-+- A «'«H-A a"M- A&M-A &'*-+- A b"*-*- A c»-+- A c"-t- A <.'*' a va

217. Les déplacements de tous les points ont des projections égales sur l'axe de rotation . — En effet , concevons un plan fixe perpendiculaire à cet axe; tous les points du système s'en éloignent ou s'en rapprochent également par la translation commune. Or la rotation qui suit ne change pas leur distance à ce plan qui est perpendiculaire à Taxe. Donc les déplacements de tous les points donnent une même projection sur l'axe. Il en résulte que si , par un même point de l'espace , on menait des droites parallèles et égales aux déplacements de tous les points du système, les extrémités de toutes ces lignes seraient dans un même plan perpendiculaire à Taxe; et, par conséquent, il suffirait, pour avoir la direction de cet axe, de mener par un même point des droites égales et parallèles à trois déplacements , non parallèles à un même plan ; de faire passer un plan par leurs extrémités qui ne seront pas en ligne droite , et d'élever une perpendiculaire à ce plan.

Si Ton commence par donner au système un mouvement de translation parallèle à l'axe et égal à la projection des déplacements réels sur l'axe, le système ne devra plus se mouvoir que parallèlement à un plan perpendiculaire à cet axe; d'où résulte cette proposition :

Tout mouvement d'un corps solide peut être produit par deux mouvements successifs ; le premier perpendiculaire à un plan, et le second parallèle à ce même plan.

21 8. Mouvement d'un système parallèlement à un plan. — Nous avons démontré , par une construction très-simple, que quand ce mouvement ne consiste pas en une simple

248 COURS DE MÉGANIQUE.

translation , il peut se réduire à une rotation. C'est aussi ce que le calcul démontre facilement.

En effet, en prenant les axes des x, y, x f , y f dans le plan donné, les équations générales (1) peuvent être mises sous la forme connue

x = Ç H- x' cos a — y f sih a, y = vi -f- x' sin a H- y' cos a ,

a désignant l'angle de Taxe des x r avec Taxe des x. Or il est facile de voir qu'il existe un point qui a la même position avant et après le déplacement \ car il suffit de déterminer x f , y f par les conditions Ai = o, A t y = o, qui

donnent

• AÇ -h .r'Acosa — y* À sin a = o ,

An -f- .r'A sin a -h j'A cos a = o.

Ces équations déterminent un seul système de valeurs de x', y\ et, par conséquent, un seul point du système ayant la même position après et avant le déplacement. Les coordonnées de ce point ne peuvent jamais être infinies, parce que leur dénominateur commun est

(A cos a) 2 -f- (A sin a)%

et ne peut jamais être nul, à moins toutefois que Ton n'ait

A cos a = o, A sin a = o ,

ce qui supposerait que l'angle a est resté le même, et que, par conséquent, le mouvement consiste dans une simple translation. D'où se conclut cette proposition :

Tout déplacement d'un corps, dans lequel ses points restent dans des plans parallèles à un plan fixe, et qui ne consiste pas dans une simple translation, peut être produit par une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce plan.

219. Tout déplacement peut être produit par un mouvement hélicoïdal '. — En effet, tout déplacement d'un corps peut être produit par une translation suivie d'une rotation autour d'un axe de direction fixe. Or cette translation peut être remplacée par deux autres successives: Tune parallèle à l'axe et de grandeur invariable; l'autre perpendiculaire à Taxe et dépendant, ainsi que la position absolue de l'axe, du point choisi pour déterminer la translation. Cette dernière translation et la rotation déterminant un mouvement parallèle à un plan perpendiculaire à l'axe, peuvent être remplacées par une simple rotation autour d'une parallèle à cet axe. Donc :

Tout déplacement d'un corps peut être effectué en le liant à une droite fixe et le faisant glisser le long de cette ligne, puis tourner autour d'elle $ et ces deux mouvements successifs peuvent être remplacés évidemment par un mouvement hélicoïdal.

Cette proposition est démontrée ici pour un déplacement fini quelconque. Elle n'avait été considérée précédemment que dans le cas , le plus généralement utile , d'un déplacement infiniment petit.

220. Les quantités /?, q 9 r ont entre elles des relations qui peuvent servir quelquefois à la simplification des formules, et que nous allons faire connaître. Soit O (fig* 5i) le point de rencontre des axes mobiles X' Y'Z'-, supposons-le fixe, et menons trois axes OX, OY, OZ parallèles aux axes fixes. Soit 01 l'axe autour duquel s'opérerait la rotation qui amènerait le système dans la position déterminée par les accroissements A a, Afe, etc.; les cosinus des angles de 01 avec les sfxes X', Y', 7J sont proportionnels à p^ q, i\ Concevons que trois axes, coïncidant d'abord avec X, Y, Z, soient liés à X', Y', Z' et entraînés avec eux. Soient X t Y t Z t les positions de ces nouveaux axes après le déplacement effectué. Prenons sur OX, OX t les longueurs OA,OAi égales à i ;

25o COUBS DE MÉCANIQUE.

le point qui était en A avant la rotation, sera arrivé en A,, et par conséquent AA, fera un angle droit avec Taxe OI. Or les axes X'Y'Z' dans leur nouvelle position font avec OXi les mêmes angles qu'ils faisaient primitivement avec OX, puisque OX t qui leur est lié coïncidait d'abord avec OX; les cosinus de ces angles sont donc a, b,c. Ces mêmes axes font avec OX des angles dont les cosinus sont a -f- Aa, b -h Ai, c -h Ac. Ces derniers sont les projections de OA sur les axes X' Y' Z', et les premiers les projections de OA' sur les mêmes axes; de sorte que Aa, Ai, Ac ne sont autre chose que les projections de la droite A' A sur les axes X' Y' Z', et, par conséquent, les cosinus des angles que la direction A' A fait avec les axes X', Y', 71 sont proportionnels à Aa, Ai, A c, et respectivement de mêmes signes. Donc, puisque les directions OI et A' A sont perpendiculaires entre elles , on aura

p&a H- qùib H- rAc = o.

En considérant les axes des Y et Z au lieu de l'axe des X, on aura deux équations analogues ; ce qui donne les trois équations suivantes :

( pàa -\- q àb 4-rAc = o, (il) ? pLa' + qkb' -\- ràc f = o,

Si maintenant on fait pour les axes des x' y y', z' ce qu'on vient de faire sur ceux des x, y 9 z, c'est-à.-dire si Ton prend sur chacun de ces axes un point à la distance I de l'origine, et que l'on exprime que la droite qui joint la première et la seconde position de chacun d'eux est perpendiculaire à OI, on aura trois équations nouvelles.

En prenant, par exemple, le point sur OX', les projections de son déplacement sur les axes X, Y, Z seront Aa, Aa', A a", et seront proportionnelles aux cosinus des angles

que fait avec X, Y, Z, la direction suivant laquelle le point s'est déplacé. Si on les multiplie respectivement par les cosinus des angles que fait 01 avec ces mêmes axes, la somme de ces produits sera nulle , puisque l'angle des deux directions est droit. On obtient, de cette manière, les trois équations suivantes :

(ap -H bq -h cr) Aa H- (a' p + b' q -+- c' r) Aa! -4. ( a "p -j- V'q +■ c"r) Aa" = o,

(ap + bq + cr) Ab -h(a'p -h b f q -+- c' r) Ab' Jr{a"p -f- b"q -f-c"r) Ab" = o,

(ap +bq +cr) Ac -4- (a' p -f- b 1 q -\- c' r) Ac' -H [a"p +b"q-h c" r) Ac" = o.

221 . Directions su% lesquelles les projections de tous les déplacements sont égales. — Nous a vous déjà reconnu que les projections de tous les déplacements sur l'axe sont égales; il n'est pas inutile de montrer comment cette question pourrait être traitée directement.

Soient X, (m, v les angles que forme avec les axes x [ \ y\ z' une direction jouissant de cette propriété. Les composantes du déplacement d'un point quelconque, parallèlement aux mêmes axes, étant

[ aAx H- a! Ay ■+■ a"Az, (i3) < b Ax -{- b' Ay -+■ b"Az,

\ cAx 4- c' Ay -f- c" Az,

la projection de ce déplacement sur -la direction dont il s'agit, sera

(aAx -f- a' Ay -*- û"As)cosà -+-(bAx -+- V Ay H- b" Az)cosp -h (cAx-hc' A y -f- c" Az)cos v,

et il faut déterminer cos X , cos fx , cos v de telle sorte, que cette quantité soit constante, quelles que soient les valeurs données aux quantités x', y 1 , z' . Or il est nécessaire et suf-

lisant pour cela que les coefficients de ces trois variables indépendantes, dans l'expression ci-dessus, soient nuls quand on y remplacera A,r, Ay, Az par leurs valeurs données par les équations (2). On trouve ainsi les trois équations

(aàa + a'àa'+a , 'àa'')cos'k-\-(bba-l-b'*a , -t-b ,/ ba")cos i L -f- (càa 4- c'àa' -h c" Aa") cos v = o ,

. {aàb + a'bb f +a''àb'')co$\ + (b*b + b'±b'+b , 'àb'')cos i L (I ^ » + (c࣠+ c'A£' -h *"*&") cos v = o,

(« Ac -f- fl'Ac'4- a"Ac") cos> -h (£ Ac -4- 6'AcM- 6"ac") cosp -i-(cAc + c'Ac'-hc"Ac")cos v = O.

Ces équations déterminent les rapports des trois quantités cos X , cos /lc 9 cos v. Or il est facile de voir que ces rapports sont précisément ceux des quantités/;, q, r\ car, si l'on remplace les premières par les secondes dans les dernières équations , elles deviennent des identités en vertu des équations (12). Donc la direction unique déterminée par les équations ( i4) coïncide avec celle de l'axe de rotation; ce qu'il s'agissait de vérifier.

Tous les déplacements ayant des projections égales sur l'axe , il s'ensuit que des déplacements faisant avec Taxe des angles égaux différents d'un angle droit sont égaux, et réciproquement. Cette condition renferme le cas de déplacements parallèles.

222. Équations de l'axe de rotation et de glissement. — Les points de cet axe se distinguent de tous les autres par cette propriété, que leurs déplacements sont parallèles à la direction de cette même ligue. Or les cosinus des angles que fait avec les axes XYZ la direction du déplacement d'un point quelconque, sont proportionnels à A.r, Ay, Az\ et ceux des angles que fait l'axe de rotation avec ces mêmes axes sont proportionnels à

ap -H bq -h c/', a' p -j- b f q -f- c r, a" p -f- b" q -f- c w r.

Les points de l'axe cherché sont donc déterminés par les équations

ap-\-bq^-cr a' p -f- b' q -f- c' r a" p -f- b" q -+- c' r

et si Ton y remplace Ax , Ay , A z par leurs valeurs données par les équations (2), on aura deux équations du premier degré entre x',y\ z\ et les données, qui représenteront la droite cherchée rapportée aux axes X 7 Y' Z\ Nous allons réduire ces équations à l'expression la plus simple-, pour cela , nous commencerons par mettre les précédentes sous cette forme,

{a -f- \ba) Ax (a' -*- \ Aa') Af

(a -+- | La) (ap -h bq -f- cr) (a' -h \ Aa') [a' p -h b' q -+- d r)

~~ {a" + 1 Aa") (a"p -f- b" q H- c" r)

En ajoutant les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs , on aura encore une fraction égale. La somme des dénominateurs, en vertu des équations (12) se réduira à p. La somme des numérateurs sera, d'après les équations (2), A H- qz f — /y', en posant

(a -h 7 A* ) AÇ + (a' + \ Aa') An -+- (a" -h \ Aa") AÇ =r h.

Les fractions (i3) sont donc égales à •

En faisant relativement aux lettres b et c des calculs analogues à ceux que nous venons de faire relativement à a, on trouvera que les fractions (i3) sont égales aux nouvelles expressions