a>-+-*''«7 + c''/')AÇ
Mais le second membre de cette équation, divisé par
sjp* -h «7*-f- r% serait la projection du déplacement de l'origine sur la direction de l'axe de rotation. Si donc on désigne cette projection constante par y , on aura
ph -+• qi -f- rk = u y//>* -4- <y s -+- H.
Les équations des projections de l'axe sur les trois plans coordonnés X' Y 7 ï! seront donc
h-\-qz'—rjr' / ■+- rx'—pz' k -f- pf — qx'
ou enfin
qv —ry =v = — /* ,
(i4) { r*f — pz' ~v
py' — qx'= ^ r — k.
223. Si , dans tous les calculs précédents on suppose les déplacements infiniment petits et exécutés dans un temps At tendant vers zéro , tous les accroissements tendront aussi vers zéro , et les équations que nous avons obtenues donneront des relations entre les limites des rapports des accroissements des variables ou entre leurs différentielles. On les déduira des premières en négligeant les infiniment petits du second ordre ; et changeant la caractéristique A end. Mais pour que l'homogénéité soit en évidence, p, <jr, r devenant des quantités infiniment petites, nous les remplacerons, dans les formules précédentes, par pdt, qdt, rdt. Au reste , les équations que nous allons obtenir pourraient être déduites directement des équations (i) par des différend ations et des calculs analogues à ceux que nous avons faits dans le cas des déplacements finis. Les déplacements et leurs composantes A;r, A y, Az, étant divisés par Af, donneront à la limite les vitesses et les composantes des vi-
tlT d'Y fl7%
tesses —y -t-> -r\ et, comme les vitesses et les déplacedt de dr ' r
ments se composent et se décomposent suivant les mêmes règles , on voit sans peine que toutes les propositions trouvées sur les déplacements, étant considérées à la limite, fourniront des propositions analogues sur les vitesses des points du système. Nous allons examiner rapidement ces diverses propositions \ mais , auparavant , nous croyons devoir rappeler quelques formules élémentaires que nous
pourrions regarder comme connues , mais dont il importe de fixer le sens avec précision.
Révision de quelques formules élémentaires de géométrie
analytique.
224. Angles formés avec les axes par une droite perpendiculaire sur deux autres. — Soient (aêy) , (a' & y f ) les angles formés par les directions des droites données avec les axes positifs des x, y, z\ et X, fx, v les angles que forme avec ces mêmes axes la direction de la perpendiculaire •, on aura les deux conditions
cos a cos \ -f- cos 6 cos p. H- cos 7 cos v = o , cos a' cos \ -f- cos 6' cos p. H- cos 7' cos v = o.
Ces deux équations déterminent les rapports des trois co-* sinus inconnus, et donnent
cos \ : cos fx : cos v : : cos 6' cos 7 — cos y f cos 6
: cos 7' cos a — cos a' cos 7 : cos a' cos 6 — cos 6' cos a ;
et comme la somme des carrés des trois cosinus est égale à l'unité, on aura, en posant d'abord
(cos ê' cos 7 — cos 7' cos6)'4-(cos7'cosa — cos a' cos 7)' -f- (cos a' cos 6 — cos 6' cos a ) 2 = D%
cos 6' cos 7 — cos 7' cos 6 cos> = — '
cos 7'
cos a — cos a'
cos 7
cos a'
cos 6 — cos 6'
cos a
COS(*= ;3rT j -,
cosv= ±D
le dénominateur devant être pris avec le même signe pour les trois cosinus, qui doivent être dans le même rapport que leurs numérateurs. Quant à la valeur de D% elle peut
PREMIÈRE ANNEE. STATIQUE. ïS*]
se mettre sous la forme
( cos 2 a -h cos 2 6 -h cos 2 7 ) ( cos 2 a' -h cos 2 6' 4- cos 2 7' ) — ( cos a cos a' -+- cos 6 cos 6' -+- cos 7 cos 7' ) 2 ;
elle est donc égale à
1 — cos 2 V ou sin 2 V,
V étant l'angle des deux droites } on a donc
COS A = db -: — — ( COS 6' COS 7 — COS 7' COS 6 ) ,
sin V v ' '
COS II = ± - — rr f COS 7' COS a — COS a' COS 7 ) ,
sm V v ' ' '
cos v = db - — — ( cos a' cos 6 — cos 6' cos a) . sin V '
On trouve ainsi deux directions opposées \ et, en effet, rien jusqu'ici n'a déterminé lequel des deux sens on voulait considérer sur la perpendiculaire.
225, Distinction du sens de la perpendiculaire à deux directions, — Concevons par l'origine deux droites parallèles aux directions déterminées par les angles (aêy), («'S'y'); prenons sur la première un point quelconque : ses coordonnées x,y, z seront proportionnelles aux cosinus des angles a, 6, y, et, respectivement, de mêmes signes : par ce point, menons une parallèle à la direction déterminée par les angles a', 6', y', et concevons un point en mouvement sur cette dernière direction. Le rayon vecteur mené de l'origine à ce point partira de la direction (aëy) et ira en se rapprochant de la direction (a' S'y') qui passe aussi par l'origine.
Supposons maintenant un observateur placé dans la perpendiculaire au plan des deux droites , les pieds appuyés sur ce plan; le mouvement du rayon vecteur lui paraîtra s'exécuter de gauche à droite ou de droite à gauche, suivant qu'il sera placé d'un côté ou de l'autre du plan. Nous
avons distingué ces deux sens en appelant direct celui où le mouvement s'effectue de gauche à droite , et rétrograde celui où il s'effectue de droite à gauche $ et nous nommons direction de Tare du plan des deux droites dans lequel s'effectue le mouvement, celle de la perpendiculaire dans le sens pour lequel ce mouvement est direct.
Les valeurs des cosinus des angles X, p, v que fait la perpendiculaire avec les axes de coordonnées sont , d'après la formule précédente , dans laquelle on remplacera cos a , cos 6 , cos y , par x , y, z ,
y cos 7' — z cos €' cos a = '—, 5
z cos a' — x cos 7' co*f* = ^ >
x cos 6' — y cos a'
cos v = r 5
la valeur de p étant
\/( j cos 7' — z cos ê') 2 -h (z COS a' — a? cos 7 ; ) 2 -+~ (x cos 6' — y cos a') 2 ;
de sorte que p n'est autre chose que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite menée par le point a:, y , z, dans la direction (*' è'y'). Il ne s'agit plus que de savoir quel est le signe qu'il faut donner à p pour que les angles X, p, v se rapportent à la direction de l'axe du plan, telle que nous l'avons définie. Remarquons d'abord que si dans un plan de direction quelconque, que nous ferons passer, pour plus de simplicité, par l'origine, un rayon vecteur se meut autour de ce dernier point dans un certain sens, et que l'on considère la projection mobile de ce rayon vecteur sur un autre plan: l'axe de ce dernier mouvement sera celui des deux directions de la perpendiculaire à ce nouveau plan qui fera un angle aigu avec la direction de Taxe du premier mouvement.
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 25g
Cela posé, considérons d'abord la projection du rayon vecteur sur le plan XY, et désignons par 9 l'angle que sa direction forme avec celle des x positifs , de telle sorte que
l'axe positif des y corresponde à 9 = -• Le mouvement sera
direct relativement à Taxe des z positifs , si 9 va en croissant ; et , dans le cas contraire , il sera direct par rapport à Taxe des z négatifs. Et Fou sait d'ailleurs qu'un angle croît ou décroît toujours en même temps que la valeur algébrique de sa tangente.
Or la projection sur XY du rayon vecteur mené au point (a:, y, z) fait avec l'axe des x un angle dont la tangente a
pour expression générale -• Si le point x, y, z s'avance
dans la direction [et! 6' y 1 ) d'une quantité quelconque m, cette tangente devient
m cos 6'
m cos a' ^
son accroissement est donc
m [x cos 6' — y cos a! ) x 1 -+- mx coS ol '
et, comme on peut supposer m assez petit pour que le dénominateur soit positif, le signe de cet accroissement sera le même que celui du numérateur, ou de x cos 6' — j^cos z'. Ainsi, la projection du rayon vecteur sur XY aura un mouvement dont l'axe sera l'axe des z positifs, si l'on a
x cos 6' — y cos a' ^> o ;
et, par suite, l'axe du mouvement dans l'espace et l'axe des z positifs feront un angle aigu. De même, les projections sur YZ auront un mouvement direct par rapport aux
a6o COURS DE MÉCANIQUE.
axes des x et des y positifs , si l'on a
y cos y' — z cos 6' ]> o , z cos a' — x cos 7' ^> o.
Dans le cas où une de ces inégalités serait de sens contraire, il serait direct par rapport à l'axe négatif j et l'axe du mouvement ferait un angle obtus avec Taxe positif correspondant.
On voit donc que les cosinus des angles que fait l'axe du mouvement que nous considérons, avec les axes positifs .r, jj z , sont de mêmes signes respectivement que les numérateurs des valeurs trouvées précédemment \ que , par con- ' séquent, on doit prendre p positivement 5 ce qui donne les formules suivantes :
y cos 7' — z cos 6'
COS A = j
. . , Z COS a' — x cos 7' (i) {cOSfA= *-,
x cos 6' — y cos a' cos v = - .
Si maintenant on remplace x, y, z par les quantités proportionnelles , et respectivement de mêmes signes, cos a, cos 6 , cos y, on aura
COS A = . , (cos 6 cos 7 f — cos 7 cos 6') , sinV ' ' n
( 2 ) { cos u. z= — — — (cos 7 cos a' — cos a cos 7' ) ,
\ \ sinV v ' "
cos v = -r— — (cos a cos 6' — cos 6 cos a' ) , sinV n
V désignant encore l'angle des deux directions.
Ces formules se rapportent à l'axe du mouvement exécuté dans le plan des deux directions (a, 6, y) , (a', S', y f )
par un rayon vecteur tournant autour de leur point de rencontre, en partant de la première et se rapprochant de la seconde. Si Ton faisait une construction analogue , en substituant chacune des deux directions à l'autre, on aurait un mouvement en sens inverse; et, en effet, les formules précédentes des cosinus changeraient évidemment de signe sans changer de valeur absolue.
Si les deux directions données étaient rectangulaires, on aurait
cos a = cos 6 cos 7' — cos 7 cos 8',
( 3 ) { cos f* = cos 7 cos a 7 — cos a cos 7',
cos v = cos a cos 6' — cos 6 cos a'.
226. Si Ton prend , à partir de l'origine , une longueur q sur la direction a', 6', y', on aura, en désignant par x 1 , y f , z f les coordonnées de son extrémité,
x '= q cos a', y' = q cos 6', z' = q cos 7' ;
et les formules (1) deviennent
yzf — zy* = pq cos a , zxf — xz f = pq cos jx, xy 1 — yx* =pq cos v.
Or, d'après ce que représente p, pq est l'aire du parallélogramme construit sur les deux droites menées de l'origine aux points xyz, x'y f z'. Désignant cette aire par P, on donc aura les trois équations suivantes :
(4) P cos a = yz' — z/y P cos \u = zx' — xz', P cos v = xy' — yx' y
à, fjt, v se rapportant à l'axe de l'aire décrite par un rayon vecteur passant par l'origine et marchant de xyz vers x'y' z' par le plus court chemin. Et, si sur la direction de cet axe on prend une longueur qui représente l'aire P, ces dernières expressions représentent en grandeur et en signe les projections de cette longueur sur les axes des coordonnées.
227. Formules pour la transformation des coordonnées. — Proposons -nous de passer d'un système de coordonnées rectangulaires x , y, z à un système quelconque de coordonnées obliques x\y\ z 1 ayant même origine-, et supposons , comme nous le ferons toujours , que la disposition des axes soit telle que, si un rayon vecteur se meut autour de l'origine dans les trois angles des axes positifs , en partant de Taxe des .r, et marchant vers l'axe des y, puis vers celui des z pour revenir à l'axe des x, les directions des axes positifs soient respectivement les axes de ces trois mouvements. Soient a , a', a" \es cosinus des angles que la direction des x' positifs fait avec les directions respectives des x, y, z positifs; i, &', b" les cosinus relatifs à la direction des y 1 positifs; et c, c', c n ceux qui se rapportent à la direction des z positifs.
Considérons un point quelconque M [fig. 5a) , dont les trois coordonnées x\ y\ z r soient représentées par ÀP, PQ , QM ; abaissons MR = x , perpendiculaire sur YZ , et joignons RA. Ce polygone fermé étant supposé projeté sur AX , donnera
axf -+- by' -+- cz' — x = o ,
pourvu que les quatre coordonnées x f , y', z\ x soient positives. Si l'une quelconque d'entre elles, par exemple/', était négative , le côté du polygone qui doit être pris en valeur absolue serait — y 1 \ mais , comme il serait alors parcouru dans le sens des y 1 négatifs , le cosinus qui le multiplie changerait de signe et serait — b ; le terme que l'on doit écrire est donc toujours by 1 , et l'équation est générale, en regardant comme négatives les coordonnées dirigées en sens contraires des axes déterminés par les cosinus donnés.
On trouverait deux autres équations analogues, en considérant les coordonnées/ et z. Les équations générales de
transformation seront donc
!x •=. ax' + by' -+- cz'y y — a* x* -\- b'y' -trc'z'i z=za"x'+b"f+c"z',
et l'on aura les conditions nécessaires
ia* + a' 7 -ha'"= i, C 2 j c '* + <:"* = i;
si les nouveaux axes étaient rectangulaires, on aurait de plus
ab-t-a'b'+a"b"=o,
(3) { ac + flV-f-a'V' = o,
ic + iV + ^c'^o,
de sorte qu'on ne pourrait prendre arbitrairement que trois des neuf quantités a, & 9 c; a', &', c'} a /7 , b f \ c n .
Les deux systèmes étant rectangulaires, on peut passer du second au premier par des formules semblables; de sorte que les équations (i), (2) , (3) entraînent les suivantes :
3/ =r ax -+- lu' y •+- a"z,
3' = ex -+- c'^ -f- c"z;
tf'
«a' -h bb' + ce' = o, (6) { afl v + M" -4- ce" =0,
a'a"+b'b"-hc'c"=o.
Réciproquement, ces équations entraîneraient les pre-
direct autour de AZ qui amène AX en AR et A Y en AY,; puis un mouvement direct autour de AR qui amène AZ à coïncider arec AZ', ce qui aura lieu, ou lorsque le système aura tourné de l'angle 0, qu'on supposera toujours moindre que 7T , ou lorsqu'il aura tourné de 2 71 — 6 $ or il n'y a qu'une des deux directions AR , AR 7 pour laquelle l'angle de rotation soit 0, et c'est celle-là que nous choisissons pour la détermination de l'angle ^. g
On voit, d'après cela, qu'on passerait des premiers axes aux nouveaux, en faisant tourner, dans le sens direct, le système des premiers d'un angle ^ autour de AZ$ les faisant tourner ensuite d'un angle autour de AR , et enfin d'un angle y autour de AZ'. Après le premier mouvement, les axes seront dans la position AR, AY,, AZ, et nous désignerons par #1, y u z les coordonnées comptées sur leurs directions. Après ce second mouvement, ils ont la position AR, AY a , AZ', et nous désignerons par x^y % ^ z 1 les coordonnées correspondantes. Enfin, après le troisième mouvement, ils coïncideront avec les axes AX', AY', AZ', pour lesquels les coordonnées sont x^y', z' .
Nous pourrons ainsi passer des premiers axes aux nouveaux au moyen de trois transformations dans lesquelles un axe étant immobile , on n'a besoin de faire usage que de la transformation des coordonnées dans un plan.
Or on sait que , pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires w, v à un système rectangulaire m', *>' semblablement disposé, c'est-à-dire tel , que quand la direction des u f positifs coïncide avec celle des u positifs, il en sôit de même des directions des t> et v' positifs , on a les deux formules
u = u' cos a — v' sin a ,
ç = u' sîn a -*- v' cos a ,
a, désignant l'angle dont il faut faire tourner l'axe des u
dans le sens de u vers v pour qu'il coïncide avec l'axe des vl positifs. Ces formules varieraient dans les signes si la disposition des axes était inverse. D'après cela, on aura les équations suivantes :
o?=a: l cosip — j,sinip, jr,==jr 2 cos0 — z'sinÔ, ar,=.r'cos<p — j'sÛKp, /=a:isin^-h/,cos^, z =j 2 sin0-t-5'cos0, j 2 =:x / sinç+/'coSf.
Eliminant les intermédiaires jr t , y^ y^ on obtient les formules cherchées :
x = x' (cos if cos ^ — sin y sin ty cos 0)
•+- y ( — sin <p cos ^ — sin i|> cos y cos 0) -f- z' sin ^ sin , y = x' (cos 9 sin ip + sin y cos ^ cos 0)
+ y ( — sin y sin $ -h cos ^ cos y cos 0) — z' cos ^ sin ,
z = x' sin sin «p -f- j' cos ? sin -+- z' cos 0.
La comparaison des formules (i) et (8) conduit aux équations suivantes 3 qui ont la même généralité que celles d'où on les déduit :
— sin f sin ty cos -f- cos <p cos ty ,
— cos y sin ip cos — sin y cos ty , sin sin ^ ,
sin <p cos ip cos -+- cos ? sin 4» > cos cp cos 4> cos — sin <j> sin ^ ,
— sin cos ij/ ;
a" = sin sin y , 6" = sin cos f , c" = cos 0.
Ces équations entraînent les suivantes , qu'il est bon de
noter :
tangy = -p , tang $ = — -.
Du mouvement infiniment petit d'un système rigide.
229. En difFérentiant les équations (i) du n° 214 par rapport à t , et supposant x\ y\ z' constants, on obtient
dx d£ , da dt dt dt
. db ,dc dt dt
dy dn da!
dt~"dt ~dt
, db' , de'
dz d% ,da" ,db" ,dc"
dt dt dt J dt ^ dt
Ce sont les valeurs des composantes parallèles X, Y, Z de la vitesse d'un point quelconque du système ayant pour coordonnées invariables x\ y f , z 1 par rapport aux axes X', Y', Z'.
On les obtiendrait en divisant les équations (2) du même numéro par A*, et passant à la limite des rapports lorsque At tend vers zéro.
230. Composantes de la vitesse dans le sens des axes mobiles. — En multipliant les seconds membres des équations (1), respectivement para, a', a f \ et les ajoutant, on aura la composante de la vitesse dans le sens des x f \ on aura, de même, les composantes dans le sens desj 7 et des z 1 . Désignons-les par w, t>, w, et soient A, /, h les composantes de la vitesse de l'origine mobile , suivant ces mêmes directions 5 c'est-à-dire posons
d% , dm „ dt,
a di +a df ha 7n = h >
dt dt dt
nous trouverons
!w = /* -f- qz' — rf y v = î -+- rx f — pz\ w =A -+- pf — qx\
p, q, r étant donnés par les équations
pdt = cdb + c' db' -H c" *#", qdt=z adc -f- a'*fc' -H a" de" ,
rdt = Wa -*- £W + £'W,
Les premiers termes h 9 i, A: sont les composantes de la vitesse du mouvement commun de translation $ de sorte que les composantes dues au mouvement de rotation autour de l'origine supposée immobile , 'sont
qz' — rf y rx f — pz\ py' — qx' .
231 . Axe instantané de rotation. — Les points dont la vitesse est nulle dans le mouvement autour de l'origine supposée fixe , seront donnés par les trois équations suivantes , qui se réduisent à deux :
(4) 9 Z ' — T' = ° y rx ' — P z ' = ° 5 py' — £•*' = 0.
Ils forment une droite qui passe par l'origine, et qui fait avec les axes x\y\z* des angles dont les cosinus sont
/rx ±p ±q ±r
S/p 7 <+-q 2 +r' sJpt+qt-irT* S/p 2 +q 2 +r*
les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble.
On la nomme axe instantané de rotation, parce qu'on peut supposer que le mouvement s'effectue autour d'elle pendant un temps infiniment petit } les erreurs qui en résultent n'étant que des infiniment petits du second ordre, pour les points situés à une distance finie de cet axe.
X', Y', Z. Leurs valeurs en grandeur et en signes seront donc
234. Axe instantané de glissement et de rotation. — La proposition établie dans le n° 219 ayant lieu pour tout mouvement du corps , aura lieu lorsque ce mouvement sera infiniment petit; et l'on retrouve cette proposition, dé-, montrée d'abord géométriquement :
Tout mouvement infiniment petit d'un corps peut être produit par un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, suivi ou précédé d'un mouvement commun de glissement le long du même axe.
Cet axe instantané de glissement et de rotation peut encore être envisagé autrement. En substituant, comme nous l'avons déjà dit , aux espaces infiniment petits parcourus par les points du système dans un même temps , les vitesses mêmes de ces points , on a l'énoncé suivant :
Les vitesses de tous les points d'un corps à un instant quelconque peuvent être considérées comme résultant de la composition de vitesses égales et parallèles à une même droite, et des vitesses qu auraient ces points dans un certain mouvement de rotation autour d'un axe parallèle à cette même droite.
La composante parallèle à l'axe n'est autre chose que la projection de la vitesse de l'origine mobile sur l'axe 5 la vitesse angulaire du mouvement de rotation est v^ 2 -H q*-+- r*\ et la direction de cet axe est celle qui fait avec les axes des x'ij', z 1 des angles dont les cosinus sont proportionnels à p, q^ r et de mêmes signes que ces quantités.
235. Equations de Taxe instantané de glissement et de rotation. — Les équations de Taxe de glissement et de rotation données, dans le n° 222, pour un mouvement fini quelconque, se changeront dans les équations cher-
chées en divisant les deux membres par At et passant aux limites. Les quantités p, y, r se changeront en celtes que nous désignons actuellement par ces mêmes lettres; A, /, k deviendront les composantes de la vitesse de l'origine dans le sens des axes X', Y', Z', que nous représentons encore par ces mêmes lettres -, enfin, u, qui représentait le déplacement de l'origine estimé dans le sens de l'axe, deviendra la vitesse de celte origine estimée suivant cette même direction ou la vitesse de glissement. Nous la désignerons par la même lettre, et par u', v", v w ses composantes suivant les axes X', Y', Z'. Les équations de l'axe instantané de glissement et de rotation seront donc, par rapport aux axes mobiles,
/ qzf — r/=»' — h, (7 ) < rr' — pz' = ti" — 1 ,
On aurait les équations de cet axe par rapport aux axes fixes en substituant à x\ y\ z 1 leurs valeurs enjr,y, z. L'axe est ainsi déterminé à chaque instant par rapport an corps et à la position absolue , en supposant que les quanti tés £, yj, £, a, A, c, a\ etc., soient des fonctions données du temps.
L'équation de la surface, lieu de ces axes par rapport au corps, s'obtiendrait en éliminant le temps entre les trois équations de l'axe en x\ y', z\ et les équations de la surface, lieu de ces axes dans l'espace, s'obtiendraient en éliminant le temps entre les trois équations de Taxe en x,y^z.
236. Déplacement virtuel d'un corps solide. Équations d'équilibre. — Les formules (3) du n° 230, qui expriment les composantes de la vitesse d'un point quelconque d'un corps solide en mouvement, donnent immédiatement les composantes des vitesses virtuelles des divers points de ce corps*, et l'application du principe général de la statique i. 18
2^4 COURS DK MÉCANIQUE.
fera connaître les équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre de forces appliquées à un corps solide entièrement libre. En effet, lorsqu'un système rigide passe d'une position donnée à une autre infiniment voisine, tous les points peuvent être considérés comme décrivant des droites infiniment petites d'un mouvement uniforme et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces droîjtes , que l'on a nommées, pour cette raison, vitesses virtuelles. Les composantes de ces vitesses virtuelles , ou (Je ces déplacements virtuels, sont donc les produits du temps employé à les parcourir par les composantes de la vitesse données par les formules (3). La somme des moments virtuels des forces ayant pour composantes (X, Y, Z, X', Y', Z', etc.), sera doue
92 [X(h -+- qz'— ry') -+- Y(i -f- rx' — pz') -+- Z (*+/>/—?*')].
Or, pour qu'il y ait équilibre , il faut , d'après le principe des vitesses virtuelles, que cette somme divisée par soit nulle, quel que soit le déplacement; c'est-à-dire quelles que soient les six quantités A, /, k , p, ^, /•, puisque l'on suppose le corps entièrement libre. Il est donc nécessaire et suffisant que les coefficients de chacune de ces indéterminées soient nuls, ce qui donne les équations
zX = o, 2Y = o, lZ = o;
On peut supposer les axes des a:', jr' 9 z' placés d'une manière quelconque dans l'espace. On peut donc les faire se confondre avec les axes donnés des x,y, z. Les trois dernières équations deviennent alors
2(jZ— -zY) = 0, 2(«X-^Z)=:0, Z(xY — jX) = O.
On retrouve ainsi les six équations déjà démontrées n° 50 (*) .
(*) On peut consulter, sur le mouvement géométrique d'un corps solide, un Mémoire assez étendu de M. O. Rodriguez, postérieur k celui de M. Poinsot (vo/eg le Journal de M. Liouville, tome V).
