DE LA VITESSE ET DE LA DÉVIATION DANS LE MOUVEMENT COMPOSÉ D'UN POINT
237 . Lorsqu'un point a un certain mouvement continu par rapport à un système rigide, et que ce système a lui-même un mouvement continu dans l'espace, le point est dit avoir un mouvement continu composé des deux autres. Et nous avons remarqué (n° 204), qu'en partant d'une époque quelconque, on aurait la position du point après un temps quelconque, en laissant se mouvoir le système pendant ce temps, le point y occupant toujours la même position; puis faisant mouvoir le point dans ce système immobile pendant ce même temps, de manière à y prendre la position relative qu'il doit avoir. On pourrait aussi commencer par faire mouvoir le point dans le système laissé immobile, puis donner au système le mouvement qu'il doit avoir pendant le même temps, le point y conservant toujours la même position relative.
La manière I4 plus commode de déterminer ces deux mouvements consiste à prendre trois axes rectangulaires liés invariablement au système. La position relative du point se détermine par ses coordonnées par rapport à ces axes , et le mouvement du système par les positions successives de ces mêmes axes. Si l'on connaît les deux mouvements composants, les coordonnées du point par rapport aux axes mobiles sont des fonctions connues du temps, ainsi que les coordonnées de l'origine mobile et les inclinaisons de ces axes sur des axes fixes.
Cela posé, nous allons chercher comment on peut déterminer, dans le mouvement résultant, ou composé, du point, les deux éléments importants que nous avons considérés dans
le mouvement eu général, savoir, la vitesse et la dévialion.
238. Vitesse dans le mouvement composé, — Soient M la position du point à une certaine époque*, MU la trajectoire du point du système qui coïncide avec M à cette époque •, M t la position de ce point après un temps infiniment petit 0; M t V la position qu'occupe après ce temps la ligne liée au système rigide et sur laquelle reste le point mobile, autrement dit la trajectoire relative ;. M t M' l'arc que ce point a parcouru sur cette courbe., depuis l'époque où M t " était en M, c'est-à-dire pendant le temps 0. M' sera la position du mobile après ce temps, et sa trajectoire absolue sera une ligne MM'T passant par M et M',
Si maintenant on joint les points MM' M, par des droites, et que l'on fasse tendre vers zéro, ces droites auront pour limites de leurs directions les tangentes aux trois courbes MU, MT et M t V, cette dernière étant prise dans sa position limite, c'est-à-dire quand M t est en M. Les rapports des côtés du triangle MM' M t auront les mêmes limites que les rapports des arcs MM n M, M', MM' qui sont parcourus dans le même temps , le premier par le point du système qui coïncidait avec le mobile , le second par le mobile dans son mouvement relatif, le troisième par le mobile dans spn mouvement composé. Or, si l'on divisait ces trois arcs par 0, les trois" quotients auraient pour limites les vitesses dans ces trois mouvements , prises à l'époque où le mobile est en M. Les rapports des côtés du triangle MM t M' ont donc pour limites les rapports de ces vitesses.
Pour énoncer simplement la solution qui résulte de là pour la question que nous nous proposions, formons le parallélogramme MMi M' K. Le côté MK, parallèle à M, M', aura pour direction limité celle de la trajectoire relative en M, et le parallélogramme tend à être semblable à un parallélogramme dont les côtés adjacents seraient les tan-
gentes en M à la trajectoire relative du mobile et à la trajectoire du point coïncident du système, et auraient des longueurs proportionnelles aux vitesses de ces points sur ces courbes.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
La vitesse du mobile dans son mouvement composé est représentée j en grandeur et en direction, par la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés adjacents représenteraient, en grandeur et en direction, la vitesse relative du mobile et la vitesse du point coïncident du système.
On peut donc dire, d'après la définition donnée n° 193 de la composition des vitesses , que :
La vitesse, dans le mouvement composé, est la résultante des vitesses dans le mouvement relatif et dans le mouvement du point coïncident du système.
239. Vitesse relative. — Soient MUTV {fig. 55) le parallélogramme construit sur les lignes MV, MU tangentes en M, la première à la trajectoire relative, la seconde à la trajectoire du point M appartenant au système; les longueurs MV, MU représentant les vitesses sur ces deux trajectoires. Nous venons de voir que la diagonale MT représentera en grandeur et en direction la vitesse jdu mouvement absolu du point dans l'espace. *
Mais si l'on prend sur le prolongement de MU, MU' égal à MU, MV sera la diagonale du parallélogramme construit sur MU' et MT. On peut donc énoncer ce théorème :
La vitesse relative d'un point, par rapport à un système rigide en mouvement, est la résultante de sa vitesse absolue et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système.
240. Déviation dans le mouvement composé. — Soient M la position du point mobile à une époque quelconque; MV la ligne sur laquelle il se meut dans le système, ou sa
trajectoire relative; MU la ligne que décrit le point M du système. Supposons qu'après un temps infiniment petit 9 le mobile soit en m sur sa trajectoire relative, et le point M du système en Mj . Soient MT, MT t les parties des tangentes à ces courbes qui seraient décrites uniformément dans le temps 6 avec les vitesses qui ont lieu eu M dans les mouvements sur ces courbes.
La déviation dans le mouvement du point, par rapport au système après le temps 0, est Tm; elle est T t M* dans le mouvement du point M du système.
La diagonale MT' du parallélogramme TMT t T' donne la direction de la tangente à la courbe décrite par le mobile dans l'espace \ et sa grandeur représenterait la vitesse sur cette courbe , si Ton prenait MT, MT t pour représenter les vitesses sur les deux autres; et, par conséquent, MT' est l'espace que décrirait dans le temps 6 un point qui se mouvrait sur cette, tangente avec la vitesse que le mobile a en M sur sa trajectoire absolue.
Il suit de là que, pour avoir la déviation du mobile dans son mouvement composé ou absolu , il suffit de joindre le point T' à la position qu'occupe ce mobile après le temps 9 sur sa trajectoire absolue, ou, en d'autres termes, à la position qu'il occupe effectivement dans l'espace. Or c'est ce qu'il est très-fa «le de déterminer d'après ce que nous avons établi précédemment sur le mouvement des systèmes.
Pour cela , nous laisserons d'abord le système immobile pendant le temps 6 5 le point M arrivera ainsi à la position m dans le système , et nous supposerons qu'il y reste lié fixement. Maintenant, nous laisserons le système se mouvoir comme il doit le faire effectivement pendant le temps 0, et nous décomposerons ce mouvement en une translation commune, qui amène M en M l9 et une rotation autour d'un certain axe M t I dont la direction . ainsi que l'angle de rotation , ne dépendent que du changement de
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 2"jg
direction des lignes du système. Cet axe peut être confondu avec Taxe instantané, lorsque est infiniment petit; et l'angle. décrit autour de Mil peut être considéré comme le produit du temps par la vitesse angulaire correspondante à la position M. Or il est facile de suivre le point m, entraîné ainsi par le système auquel il est lié.
En effet, opérons la translation MM t au moyen des deux translations MT 4 , TjMf Par suite de la première, la droite MT vient en TjT'^ par suite de la seconde, elle vient en Mt fx, T'fx étant pris égal et parallèle à T A Mi- Menant ensuite (i(i f parallèle et égal à Tra, p' sera la position de m après la translation. Effectuant maintenant la rotation autour de M t I , le point fi f décrira un arc de cercle fx f M f perpendiculaire au plan IMj p', et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée de fx f sur l'axe M 4 L Alors toutes les choses se trouvent telles qu'elles doivent être dans le mouvement réel après le temps 6] M' est la position absolue qu'occupera le mobile : et, par conséquent, T' M' est la déviation cherchée.
Or, en considérant le polygone fermé T'pfx' M', on voit que la ligne T' M' est la résultante des lignes T'p, pf*', p.' M' prises dans les directions suivant lesquelles elles sont décrites en partant de T'. La première n'est autre chose que la déviation T t M t , transportée parallèlement à ellemême, sans changer de grandeur ni de sens; la seconde est la déviation Tm, semblablement transportée. Quant à la troisième ligne p 1 M', sa direction a pour limite la perpendiculaire au plan mené par la direction limite de M ft I, qui est celle de l'axe instantané, et par la direction limite de Mif/, qui est celle de Mjfx, vu que pp' est un infiniment petit du second ordre, et Mj p' du premier. Ainsi la ligne [x f M' peut être considérée comme perpendiculaire au plan qui contient des parallèles à Taxe instantané de rotation et à la direction MT de la vitesse relative du mobile.
280 COUftS DE MECANIQUE.
Il est essentiel de remarquer que le sens de cette direction est celui du mouvement de rotation. De sorte que si on la considérait comme axe d'un mouvement direct de rotation exécuté dans le plan auquel elle est perpendiculaire, le sens de ce mouvement serait de l'axe instantané vers la direction de la vitesse relative.
Il ne reste plus qu'à trouver la mesure de la grandeur /x'M'. Si l'on désigne par w la vitesse angulaire du système , par v r la vitesse relative , et par â l'angle de la direction de cette vitesse avec celle de l'axe instantané, le rayon du cercle décrit par p! sera M t u' sin d 9 qu'on pourra remplacer par Mjfzsind ou 6v r sind] l'angle au centre sera 0a> ? et l'on aura r par conséquent y
La question est donc entièrement résolue , et le résultat peut s'énoncer comme il suit :
La déviation dans le mouvement composé d'un point est la résultante de trois lignes. Les deux premières sont les déviations dans le mouvement du point relatif au système, et dans le mouvement du point du système qui coïncide avec ce mobile à l'instant que l'on considère. La troisième est perpendiculaire à un plan parallèle à l'axe instantané du système et à la vitesse relative du point, et dans le sens du mouvement de rotation. En d'autres termes, elle est dans la direction de l'axe du mouvement qui amènerait par le plus court chemin la direction de l'axe instantané vers celle de la vitesse relative du point. La grandeur de cette troisième ligne est le produit du carré du temps infiniment petit que Ton considère par la vitesse angulaire du système, et par la projection de la vitesse relative sur un plan perpendiculaire à l'axe instantané.
