DU MOUVEMENT RECTILIGNE D'UN POINT MATÉRIEL

Expression de la force dans un mouvement rectiligne quelconque.

265. Nous avons vu que deux forces constantes sont entre elles comme les quantités de mouvement qu'elles ont communiquées dans le même temps. D'où il est résulté qu'une force constante peut être mesurée par la quantité de mouvement qu'elle produit dans l'unité de temps, en prenant pour unité de force celle qui, dans l'unité de temps, fait acquérir à l'unité de masse une vitesse égale à l'unité. Voyons comment on peut ramener à ce cas celui d'une force qui varie à chaque instant suivant une loi arbitraire. La question consiste à déterminer la vitesse qu'elle ferait acquérir à l'unité de masse pendant Tunité de temps , si elle conservait l'intensité qu'elle a à l'instant que l'on considère.

Supposons donc un mouvement rectiligne quelconque ; soient v la vitesse du point mobile auquel nous supposerons une masse égale à l'unité, x sa distance à l'origine, t le temps, compté à partir d'une époque quelconque-, désignons par <p la force variable qui sollicite le point à chaque instant, c'est-à-dire son rapport à l'unité de force, qui est mesuré par la vitesse qu'elle ferait acquérir pendant l'unité

PREMIÈRE ANNÉE. — WA 'f UgUE , 3og

de temps au mobile en question , dont la masse est égale à l'unité.

Si la force était constante , il suffirait de diviser la vitesse qu'elle communiquerait au point dans un temps quelconque , par ce temps , et l'on aurait la vitesse communiquée dans l'unité de temps. Mais, dans le cas actuel , si la force est <j> à un certain instant , elle sera augmentée d'une certaine quantité A<p après le temps Aê, et l'accroissement A*> de la vitesse ne sera pas dû à la force <p, mais pourrait être produit par une force comprise entre <p et <p -H A<j>, et qui agirait avec une intensité constante pendant le même

temps A*, Cette force intermédaire <p' sera égale à — >

* c'est-à-dire que tiette expression mesure la vitesse qu'elle communiquerait au point dans l'unité de temps.

Mais l'équation rigoureusement exacte q/ = — ayant

lieu quel que soit l'intervalle de temps At, et ç' se rapprochant indéfiniment de y à mesure que At tend vers zéro, puisque alors A<p tend aussi vers zéro, il en résulte, en prenant les limites des deux membres de l'équation ,

dv

Telle est la mesure exacte de la force appliquée à l'unité de masse, dans un mouvement rectiligne quelconque. Elle est de même signe que dv, de sorte qu'en employant cette formule, on regarde la force comme positive quand elle tend à augmenter la vitesse, et comme négative quand elle

tend à la diminuer-, mais l'expression de celle-ci est — ?

dt

et est positive quand le mouvement a lieu dans le sens des x positifs : donc la force sera positive quand elle agira

djc

dans ce même sens, puisqu'elle rendra — ou v plus grand

3lO COURS DE MÉCANIQUE.

en valeur algébrique ; elle sera négative dans le sens con-

dx

Si dans l'expression de <j> on remplace v par — , on

obtient