Si maintenant on considère un point dont la masse
soit m , la force qui le sollicite sera mesurée par m -j y
puisque le point qui aurait le même mouvement et une
masse égale à l'unité serait sollicité par la force — , et
que nous avons vu que dans des mouvements identiques les forces sont entre elles comme les masses.
On est convenu d'appeler force motrice celle qui est appliquée à une masse donnée quelconque -, sa mesure est
dv d 2 x
m -— 5 ou m
dt de
et l'on appelle force accélératrice celle qui , dans le mouvement que l'on considère , sollicite l'unité de masse : elle a pour mesure
dv d 7 x
— « ou — .
dt dt*
Cette expression , considérée dans le mouvement en luimême , en mesure Y accélération positive ou négative.
Usage des formules générales du mouvement varié. 267. Ces formules sont
dx dv d 7 x
PREMIERE ANNÉE. — &S*C*ÇWE. 3 1 1
ou encore , eu remettant pour dt sa valeur tirée de la première ,
vdv ?== fa'
Examinons les différentes questions auxquelles elles peuvent donner lieu.
i°. Supposons que l'on donne x = F(t), on obtiendra l'expression de la vitesse et de la force par de simples différentiations par rapport à t.
2°. Soit *> = F(£), on aura
du d.Y{t) f ~~ dt~ dt ;
on connaîtra donc la force accélératrice.
On connaîtra la position du point à chaque instant en
dx intégrant l'équation — = F (*), qui donne
La constante relative à cette intégration se déterminera par la position initiale du point.
3°. Soit (f = F(t).
On connaîtra la vitesse par la formule
" = /F(tyft,
et l'on déterminera la constante d après la valeur initiale de *>. Soit Ainsi v =f(t) ; on aura la valeur de x au moyen de la formule suivante :
et la constante introduite par cette nouvelle intégration dépendra de la position initiale du point.
3l2 COURS DE MÉCANIQUE.
4°. Soit v = F (#), on en conclura
dx C dx
— = F(*), d'où r= I -^—*,
dt v y ' J F(#)'
la constante se déterminera d'après la position initiale du point, et Ton aura ainsi une équation finie entre x et t.
La force ç ou — sera égale à F' (x) F (x).
5°. Soit <f = F (x) ; si Ton remplace y par -r-, on aura
dx
dx et, en intégrant,
\>dv
r =F(i); d'où vdv = F (x) <£r ,
On parviendrait encore à ce résultat en remplaçant <p par
-77 5 on aurait alors
dt 2 '
Si Ton multiplie les deux membres par 2 — ? il vient
dx d 2 x „ , .dx
et les deux membres de cette équation sont des dérivées ,
(dx\* — ) ? et le second , de
ifV (x) dx j on aura donc
(jy=a//F(*)€fc = P»,
ce qui n'est autre chose que l'équation précédemment obtenue.
PREMIERE ANNÉE. — 9*X¥*QTTE. 3l3
La constante renfermée dans f se détermine par les valeurs initiales de x et V. On connaît ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement, et il reste à trouver une équation entre x et t. Désignons i f¥ (x) dx par f(x) } nous aurons
dt
et la constante sera déterminée par la valeur initiale de x. 6°. Soit enfin <j> = F (*>), on aura alors
7t = F {v) , d'où < = J W y
la constante se déterminera par la valeur initiale de v.
Si l'on peut résoudre cette dernière équation par rapport à e, on aura
djs
,.=/(r) = -, d'où x=Jf(t)dt. ;
Dans le cas contraire , on remplacera (f par — > et l'on aura
vdv „ , , lf % C ç dv
= F(P)> d . où * = J m
Si l'on peut effectuer cette intégration , on aura une équa-^ tion finie entre v et x \ et comme on en a déjà une entre t et f , l'élimination de v en fera connaître une autre en x et t.
Telles sont les différentes questions auxquelles peuvent donner lieu les équations du mouvement rectiligne varié. Leur solution dépend toujours ou de différentiations , ou d'intégrations du genre des quadratures. Nous allons en faire l'application à quelques exemples,
Mouvement d'un point matériel pesant dans un milieu
résistant.
268. La théorie admise sur la résistance des milieux est encore assez imparfaite ; mais ici nous regarderons comme exacts les résultats approchés, auxquels des expériences multipliées ont conduit sur cette matière.
Ainsi, nous supposerons que cette résistance est une force normale aux surfaces en chacun de leurs points , proportionnelle au carré de la vitesse relative -de ce point ex du milieu , estimé dans le sens de la normale , ainsi qu'à la densité du fluide. Il suit de là que la résistance exercée sur une sphère en mouvement est directement opposée au mouvement de son centre , et proportionnelle au carré de son rayon. Si on la divise par la masse de la sphère x on aura la force qui en résulte pour l'unité de masse.
Soient p la densité du fluide , que nous supposerons en repos , D celle de la sphère , r son rayon , v sa vitesse \ la
résistance appliquée à l'unité de masse sera y -~> y désignant un coefficient constant. Pour plus de commodité dans nos calculs , nous rapporterons cette force à la pesanteur, et nous désignerons par K la vitesse qu'il faudrait supposer à la sphère donnée , pour que la résistance qu'elle éprouve devînt égale à son poids , c'est-à-dire pour que l'on
eût y?—=zg. Alors la résistance appliquée à l'unité de masse sera ~- : et c est sous cette forme , où l'homogénéité
est mise en évidence , que nous l'emploierons dans les calculs qui vont suivre.
269. Mouvement descendant. — Nous commencerons par le cas où le point matériel se meut dans le sens de la pesanteur. Soient A (fig. 58) le point de départ, et x la
PREMIÈRE ANNÉE. S EATIQU ». 3l5
distance du mobile à ce point après un temps quelconque £, au bout duquel il a acquis la vitesse e. En désignant par <p la force accélératrice , on aura
d'où
v 1 s dv
(0 = fi- — fi; — == -2 (K 2 — v*) = — , 1 * *K 2 K 2 ^ ; dt
K 2 rfr
£ff = ->
et, intégrant,
iK K-t-p f = — 1.
Nous n'ajouterons pas de constante , parce que nous suppo sons que la vitesse soit nulle au point de départ. On tirera de là
d'où
e K — <? K rfr
S< *< <fr '
et , par suite ,
a: devant être nul en même que t , on doit avoir
g d'où résulte
3l6 COURS DE MÉCANIQUE.
On a donc ainsi à chaque instant la position et la vitesse du
mobile 5 ce qui forme la solution complète de la question.
On aurait pu exprimer x en fonction de i>, en remplaçant o
vdv . • j /
par — i ce qui aurait donne
d'où
et comme on a à la fois v = o , x = o , il en résultera
et , par suite ,
La valeur de v en fonction de t montre qu'elle est toujours plus petite que K, mais qu'elle tend vers cette limite
à mesure que t augmente , parce que l'exponentielle e tend vers zéro. Le mouvement tend donc à devenir uniforme, et la vitesse a pour limite celle qui rend la force accélératrice égale à la force retardatrice. Cet état n'a jamais lieu rigoureusement ; mais le mobile s'en approche
*"" if indéfiniment, et d'autant plus rapidement , que c décroît
•plus vite, ou que K est plus petit. Or, nous avons trouvé
donc le mouvement devient sensiblement uniforme, d'au- . tant plus promptement et avec une vitesse d'autant moindre,
PREMIÈRE ANNÉE. — &TA1UJIJE . 3f 7
que le milieu est plus dense , et que le mobile a un moindre rayon et une moindre densité 5 ce qui est confirmé par l'expérience.
270. Si la densité du milieu est supposée nulle , le mobile n'est plus soumis qu'à l'action de la pesanteur, la quantité K devient infinie , et l'on trouve , en supposant qu'on ait à la fois £ = o,*>=o,a: = o,
dv ., , dx
et , par suite >
2gX.
Ces diverses formules, déjà obtenues précédemment, peuvent se déduire des précédentes en y faisant K infini. En effet , si on développe les exponentielles, l'équation (1)
donne, en supposant — = o, v=gt; l'équation (3),
qu'on peut mettre sous la forme
XZ=Z ri —
donne , en développant le logarithnie ,
supprimant le facteur commun K 8 et faisant ensuite K infini , on obtient
X = 5 OU tr=z2gX.
O or
271 . Mouvement ascendant. — Soit A (Jîg- og) le point d'où part le mobile : prenons toujours la direction AX de la pesanteur pour le sens des x positifs , et soit — a la vi-
3l8 COURS DE MÉGANIQUE.
tesse du mobile au moment du départ ; on aura
d'où
dv v 2 g ,
— = g-h£ — = — (e 7 -h KM, dt *^*K J k» v ;>
K a dv
dtz=z . - rr-)
et intégrant, en observant que l'on a en même temps t = o, v = — a,
gt v a Rc-f-Kfl
|r = arc tang — H- arc tang — = arc tang — ,
K K K. K 2 — va
d'où
Kp-4-K« gt
et, par suite,
gt gt
Ksin^ — acos —
K K tlx
d'où Ton déduit
«8in|r -f-KcOS|r
rKsinf^ — «cosff Jv K.
*sinf?-t-Kcosf?
7 J\. Jv
= 1. ( tfsinff-t-Kcos|r) -+-C.
La constante doit être telle que l'on ait à la fois t = o, x = o , ce qui donne
x = -7 , -U sin l + C0S lj-
Le problème est donc entièrement résolu, puisque, pour toute valeur de £, on peut assigner la position et la vitesse du point, et , par suite , la force qui le sollicite.
PREMIÈRE ANNÉE. — »I'A1UJU1 . 3ig
Le mobile cessera de monter quand v sera devenu nul : la force sera g à cet instant et le fera descendre ; mais alors la résistance changera de sens et on retombe dans le premier cas. La valeur de t correspondante à cet instant est donnée par l'équation
K sin ^- a cos ~- = o , d ou tang ~- = ~
K. iv K. jv
La valeur de x devient
C'est la distance de l'origine A au point le plus élevé B. A
partir de ce point , le mouvement peut être déterminé par
les formules relatives au premier cas, si l'on prend ce point
pour origine. Cherchons quelle vitesse aura le mobile quand
il repassera en A, et quel temps il mettra à y revenir.
K 2 à 1 -4- K* Egalons pour cela la distance AB ou — 1. — — — à la
valeur de x donnée par la formule ( 3 ), il en résultera
5 d oii <' 2 = a 7
Le mobile revient donc en A avec une vitesse moindre que celle qu'il avait au moment du départ, et d'autant moindre que K est plus petit.
Pour connaître la valeur de t relative à cet instant , il faut dans l'équation (2) substituer à x la valeur particulière
et l'on aura
COURS
d'où
go'
ou , en
posant
zA
iîl Cette équation étant réciproque donnera à la fois e
et e ; on aura, en prenaut la plus grande racine,
et le temps total écoulé entre le départ et le retour aura pour valeur
7 ^arctang--t-l. V R ^ j.
