Autre loi de résistance. — Supposons maintenant

la résistance proportionnelle à la vitesse, et représentée par

g — 5 K étant la vitesse qui rendrait la résistance égale au

poids du corps que l'on considère ; si le mouvement est dans le sens de la pesanteur, on aura

d'où

* ^-^.(K-fO+C.

Si la vitesse initiale est nulle, on aura

et, par suite,

g K d'où

K- — * ""K r | ""Kl «**

On aura donc

ri £\ K , «!

x = K il i — <? K )<ft = KM * K -4-C,

et comme on a x = o pour £ = o, on aura

et, par conséquent.

■r = KfH ie K — i).

La valeur de y apprend que la vitesse tend indéfiniment à se réduire à K, c'est-à-dire à celle pour laquelle la résistance est égale au poids du mobile. Quant à la valeur dex, elle croit indéfiniment.

273. Dans le cas où le mobile aurait une vitesse initiale a T et ne serait pas soumis à l'action de la pesanteur, mais à la résistance seule du milieu , on aurait

v dv K dv K ,

et comme on a v = a pour t = o, il en résulte

~ ' K. . , K. . v C= — La, et /== 1. -i

Comme on doit avoir x = o pour t = o, la constante sera nulle , pourvu qu'on prenne zéro pour Tare dont le cosinus est l'unité. Le problème est donc complètement résolu, puisque , pour une valeur quelconque de x , on peut déterminer l'instant où le mobile y passera, et la vitesse qu'il aura. Réciproquement, pour une valeur donnée de £, on connaîtrait la valeur de x par la résolution approchée d'une équation numérique, ou par la construction de la courbe représentée par l 'équation (2), dans laquelle t représenterait l'ordonnée.

Ces formules ne s'appliquent qu'autant que le point ne pénètre pas dans l'intérieur de la terre*, elles ne s'étendront donc que jusqu'à x = a — r. Au delà de ce point, la force devient proportionnelle à la distance au centre , et le mouvement est. représenté par des équations différentes que nous allons déterminer.

275. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le mobile parte du point A (jfig. 61) de la surface de la terre avec une vitesse nulle 5 nous prendrons l'origine des x au centre, à cause de la symétrie par rapport à ce point, et nous regarderons les x comme positifs dans le sens OA» L'expression de la force sera

Multipliant par 2 dx et intégrant , il vient

et comme on a v = o pour x = r, on aura C = gr, d'où

Il reste à trouver une équation entre x et t. Or, celle-ci

PREMIÈRE ANNÉF. — W*TÏ<J&*. 3l5

donne

dt

I r dx

nous prenons le signe — pour la racine carrée , parce que dx et dt sont de signes contraires , tant que le mour vement a lieu en sens contraire des x positifs. On obtient,

en intégrant,

if jp

t = 1 / - • arc cos - • V g . r

La constante est nulle, puisque Ton a en même temps t = o, x= r. Cette équation , résolue par rapport à x, devient

sfi

La valeur de v* montre que la vitesse est maximum quand le point passe au centre, et qu'elle redevient nulle pour x = — r, c'est-à-dire à l'extrémité opposée du diamètre. Le point se trouve alors dans les mêmes circonstances; il revient donc vers sa première position par un mouvement identique au premier, et l'on aura un nombre indéfini d'oscillations semblables. La vitesse ne dépendant que de .r*, est la même pour deux position $ situées à égale distance du centre.

On voit, par l'équation entre x et t , que le point arrive

au centre après un temps égal à - \/-$ que pour des épor

gués également distantes de cet instant, les distances au centre sont égales, et que le point arrive à l'extrémité du

diamètre après un temps égal à 7T 4 /-, et qui exprime par

conséquent la durée de l'oscillation.

Les calculs qui précèdent ne s'appliquent pas seulement

à la question particulière qui nous y a conduits, mais à toutes celles où Ton a à considérer une force proportionnelle à la distance à un point fixe; ce qui se rencontre souvent dans l'étude de la Physique.

276. Les formules précédentes se réduisent sensiblement à celles du mouvement uniformément accéléré , quand on suppose l'espace parcouru très-petit par rapport à la distance au centre; ce qui revient à supposer la force sensiblement constante.

Ainsi l'équation (i) peu* se mettre sous la forme

V == 2gX

a 7 — aJb Soit

h étant très-petit par rapport à /• et représentant l'élévation du point A au-dessus de la surface de la terre;

-7-— — 8e réduira à l'unité 5 en négligeant les quantités de l'ordre de -, et l'on aura, à ce degré d'approximation ,

V 1 •= 7. gX.

Passons à la formule (2). On aura

remplaçant a par r-f- h , et négligeant les termes où entrent les rapports -? -? il restera \pc\ et la première partie de t

sera

De même, en développant arc cos -, ou bien

PREMIÈRE ANNÉE. — STAXIQtHU 327

. 2 Jax — x i j •

arc sin — , on trouvera que la seconde parue peut

être réduite à 1/ — , et Ton aura