OU X

Dans la seconde question, les espaces parcourus sont r — jc , et si on les suppose très-petits par rapport à r, la formule (3), qui peut se mettre sous la foime

v' = g{r — x)—— 9 se réduit sensiblement à

v 1 = 2g (r — a:); la formule (4) développée devient

Si l'on néglige les termes qui renferment r en dénominateur, elle se réduit à

277. Remarque relative aux solutions singulières. — L'équation différentielle du mouvement d'un point, jointe aux circonstances initiales, détermine complètement le mouvement de ce point pendant un temps indéfini. Mais quand on intègre celte équation , il faut avoir soin de n'omettre aucune de ses solutions , et tenir compte aussi bien de celles qu'on appelle singulières, que de celle qu'on désigne sous le nom à* intégrale générale. Le problème suivant donnera un exemple d'un mouvement qui est repré-

328 COUES 'DE MÉCAKIQOE.

sente jusqu'à une certaine époque par l'intégrale générale, et depuis cette époque , par l'intégrale singulière.

Supposons un point en mouvement dans un fluide dont la résistance soit proportionnelle à la puissance m de la vitesse, m étant compris entre o et i. Il part de l'origine des x avec une vitesse a dans le sens des x positifs, et n'est soumis à aucune autre force que la résistance du milieu. L'équation de son mouvement sera

h désignant une constante connue. On tire de cette équation

et, par suite,

( 2) v'-" 1 = a x ~ m — (1 — m) kt.

Observons que la puissance fractionnaire e™ ne comporte dans aucun cas le double signe dans l'équation différentielle, et qu'il est entendu qu'elle sera toujours considérée comme implicitement positive; sans quoi l'équation (1) ne représenterait pas les conditions de la question mécanique. Il faut donc, dans tout le reste du calcul, considérer l'exposant m comme ne donnant qu'une valeur positive à la puissance de v où il entrera; et, lorsqu'une équation lui donnera une valeur négative , elle ne représentera pas le mouvement du point.

Nous avons dit qu'il fallait considérer toutes les solutions de l'équation (1); il faut donc tenir compte des solutions singulières , qui se réduisent à

La solution complète du problème proposé est donc donnée par le3 équations (2) et (3), et il ne s'agit plus que de

reconnaître laquelle on doit considérer à un instant donné quelconque.

Or, il est évident qu'au moment du départ, la vitesse éf.nt a , et ne pouvant être détruite que dans un temps fini, on ne devra pas faire usage de l'équation (3) dans le commencement du mouvement. On devra donc prendre l'équation (2). Mais on n'en devra faire usage que jusqu'à l'époque pour laquelle on aura

(1 r— m ) kt =2 a x ~ m , ou t = , r-J t

parce qu'au delà on aurait une valeur négative pour y 1- " 1 , ce que nous avons vu ne pouvoir convenir à la question mécanique proposée. Jusqu'à cette valeur de £, l'équation (3) ne peut convenir, mais elle est satisfaite à cette époque, et elle devra l'être indéfiniment ensuite, puisque l'équation (2) ne peut l'être, et que le problème a certainement une solution , qui ne peut être représentée que par l'une ou l'autre de ces deux équations.

Il suit de là que depuis t = o jusqu'à t = r— 9 on

aura

et depuis cette dernière valeur de t jusqu'à t = 00 , on aura v = o , et le point restera immobile dans la position où il

sera arrivé au bout d'un temps égal à —

Nous pouvons maintenant intégrer l'équation (2) après avoir remplacé v par — > et nous savons jusqu'à quelle valeur de t elle donnera la valeur de x qui convient à la question 5 de sorte qu'il n'y aura plus aucune discussion à

faire. On aura ainsi

et par suite, en exprimant que pour f=oouajc = o }

__ [^-" — (l —m)kt] '- '" a '

Le point où s'arrêtera le mobile correspondant à

a l ~ m = (1 — m) ht aura pour abscisse , :—,• Il était

d'ailleurs bien facile de reconnaître à priori que si, à une certaine époque, la vitesse du point devenait nulle, il resterait constamment dans la position où il se trouverait alors. En effet, un point placé sans vitesse dans un milieu, résistant suivant une fonction quelconque de la vitesse, restera indéfiniment dans la position où on l'aura mis, puisque aucune force ne lui sera appliquée; il n'aura aucune tendance à se mouvoir d'aucun côté , et restera perpétuellement en repos.