PU MOUVEMENT D'UN POINT LIBRE DANS L'ESPACE

278. Ce que deviendrait le mouvement si la force cessait d'agir. — Si , à un instant quelconque du mouvement, l'action de la force cessait entièrement, le point mobile ne pourrait plus avoir qu'un mouvement rectiligne et uniforme, d'après la loi d'inertie que nous avons admise précédemment. Il ne reste donc à déterminer que la direction et la vitesse de ce mouvement.

Pour cela, concevons trois axes rectangulaires, de directions constantes , et dont l'origine ait précisément ce mou-

PREMIÈRE ANNÉE. — 93*qiQti£. 33 1

vement que nous voulons déterminer. Si la force n'agit plus, le mobile coïncidera constamment avec celle origine. Mais si elle ne cessait pas son action, c'est-à-dire si le point continuait son mouvement réel, le mouvement qu'il prendrait par rapport aux axes mobiles serait, d'après un principe général admis précédemment, celui même qui aurait lieu par rapport à des axes fixes , si on plaçait le mobile sans vitesse à leur point de rencontre, et qu'on lui appliquât la force même qui le sollicite dans son mouvement réel. Or, l'espace qu'il parcourrait ainsi dans un temps infiniment petit du premier ordre, serait un infiniment petit du second, tandis que celui que parcourrait en même temps l'origine mobile, serait du premier. Si donc, sur la direction rectiligne que suit le point après la suppression de la force, on prend une quantité infiniment petite du premier ordre, elle est à une distance infiniment petite du second ordre, du point sur sa trajectoire; d'où il suit d'abord que cette direction rectiligne ne peut être que la tangente à cette trajectoire. De plus, l'espace parcouru par le point sur sa trajectoire ne différant que d'un infiniment petit du second ordre de celui que parcourt l'origine pendant le même temps , la vitesse dans le mouvement réel, à l'instant considéré, est la même que celle de l'origine. On peut donc énoncer la proposition suivante : Si], à un instant quelconque la force qui produit le mouvement d'un point libre cessait d'agir, ce point se mouvrait alors uniformément suivant la tangente à la trajectoire avec la vitesse qu'il avait à ce même instant.

279. Valeur et direction de la force d'après le mouvement produit. — Considérons une position quelconque M (fie* 6ty ^ un P°ï nt dont la masse est m, et dont les coordonnées x , y, z sont^des fonctions déterminées du temps t. Si la force qui agit sur lui cessait à cet instant son action, il se mouvrait sur la tangente MT avec la vitesse v qu'il a

en M. Si donc nous supposons trois axes X', Y', TJ constamment parallèles aux premiers, et dont l'origine se meuve sur MT avec la vitesse constante v 9 le mouvement du point m , par rapport à ces axes , sera identique à celui qui aurait lieu par rapport à des axes immobiles si le point m était placé sans vitesse à l'origine et sollicité par la même force qui agit sur lui.

Ce mouvement relatif est précisément ce que nous avons appelé le mouvement déviatoire , et la ligne M/ m 1 qu'il décrit ainsi est ce que nous avons appelé la déviation (n° 195) . Ainsi cette dernière ligne peut être considérée comme celle que décrirait le mobile placé sans vitesse au point M et sollicité par la force même qui agit sur le mobile dans son mouvement réel, en conservant à cette force une direction et une intensité constante.

On tire de là les deux conséquences suivantes :

i°. La direction de la force qui agit à un instant quelconque sur le mobile libre, est la même que celle de la déviation en ce point.

2°. L'intensité de cette force, rapportée à V unité de masse du mobile, est mesurée par l* accélération dans le mouvement déviatoire.

De la première de ces propositions se déduit cette autre proposition importante :

La direction de la Jorce en chaque point de la trajectoire est comprise dans le plan osculateur de cette courbe en ce point- car la déviation, joignant constamment un point de la courbe à un point de la tangente, a pour direction limite une droite située dans ce plan.

Il reste maintenant à exprimer analytiquement les propositions précédentes.

Or nous avons trouvé (n os 197 et 198) que les cosinus des angles que la direction de la déviation fait avec les axes , sont

proportionnels aux trois quantités

de 7 dt 2 dt

et que l'accélération dans le mouvement déviatoire était égale à

^WFWFW)'

Si donc nous désignons par <p la force accélératrice qui agit sur le mobile , nous aurons , d'après ce qui a été établi dans le numéro précédent ,

et les cosinus des angles que sa direction fait avec les axes auront pour valeurs

T» rr>

<p dt 2 y dt 2 <p dt 2

Pour avoir en grandeurs et en signes les composantes de la force accélératrice, il faudra multiplier ces cosinus par la valeur absolue <p de cette force , et l'on obtiendra ainsi

dt 2 dt 1 dt 2

En multipliant ces composantes de la force qui agit sur l'unité de masse du mobile par sa masse m , on aura les composantes de la force motrice, c'est-à-dire de la force qui agit sur sa masse même. En désignant ces dernières par X, Y, Z, on aura les équations suivantes entre la force qui produit le mouvement et les coordonnées du mobile à

chaque instant :

v y cfr 2 rfr 2 *fr*

qui se réduisent aux suivantes , en supposant que le mobile ait une masse égale à l'unité :

M IF = x > ^ = Y ' 1F = Z -

Ce sont les équations différentielles du mouvement de tout point libre.

280. Usage des équations du mouvement. — Les équations (3) ou (4) donnent le moyen de ramener au calcul toutes les questions qui peuvent se présenter sur le mouvement d'un point. Le cas le plus simple serait celui où l'on donnerait x, y, z en fonction de t \ ou, plus généralement, trois équations finies entre x,y, s, t. En les différentiant une fois par rapport à £, on connaîtrait les composantes de la vitesse du mobile. Une seconde différentiation ferait connaître les composantes de la force accélératrice, et, par conséquent, cette force elle-même en grandeur et en direction. Enfin l'élimination de t , entre les trois équations données , ferait connaître les deux équations de la trajectoire.

Mais les données de la question sont , en général , moins simples. Elles devront toujours fournir trois conditions , puisqu'il y a quatre variables x, y, s, t , dont une seule est indépendante : mais si Ton pouvait reconnaître à priori que la trajectoire est plane, on prendrait deux axes de coordonnées dans son plan, et il n'y aurait plus que trois varia* blés, savoir : le temps t et les deux coordonnées, quelles qu'elles soient, du mobile.

Le cas le plus difficile est généralement celui où la force

est donnée. On connaît alors X, Y, Z en fonction de x y j, z, £, et les équations du mouvement sont de la forme

— ==F(x,/,z,0, — =t,(^,jr,z,r), — = Fi(x,y 9 z 9 t):

Si l'on peut intégrer le système de ces trois équations différentielles du second ordre, on parviendra à trois équations entre X, y, s, t et six constantes arbitraires. Les constantes se détermineront d'après les circonstances initiales du mouvement.

On observera, pour cela, que le mouvement du point n'est pas déterminé par la seule connaissance de la force qui agit sur lui. Il faut encore connaître la position où il se trouve à un certain instant, celui par exemple à partir duquel on commence à compter le temps, et, de plus, la grandeur et la direction de sa vitesse à cet instant. C'est en cela que consiste ce qu'on appelle Y état initial du point; et l'on voit qu'il renferme six données nécessaires et suffisantes, les trois coordonnées du point et les trois composantes de sa vitesse.

Or il est facile , au moyen de ces données , de déterminer les six constantes introduites par l'intégration. En effet, les équations intégrales, ainsi que toutes celles qu'on en déduirait par la différentiation, ayant lieu pour toute valeur de t , seront satisfaites si Ton y fait Z=o. Pour cette valeur de t on

flJC ClY ClZ

connaît, par hypothèse, les valeurs de x, y, s, — > — ? —•

En les substituant dans les équations intégrales et leurs dérivées premières, dans lesquelles on aura fait f = o, on aura six équations qui ne renfermeront d'inconnues que les six constantes, qui, par conséquent, seront déterminées.

Ayant ainsi trois équations entre x, j', z, t , on rentre 4ans le premier cas que nous avons examiné.

281 . Composantes, tangentielle et normale, de la force* — Nous avons déterminé (n° 201 ) les composantes, tangentielle et normale, de l'accélération dans le mouvement dé-

viatoire. La première est exprimée par -r-y > la seconde

par — » et l'accélération elle-même par R

Or la force a la même direction que la déviation ou l'accélération 5 elle aura donc avec ses composantes , suivant la tangente et la normale , les mêmes rapports que l'accélération et ses composantes suivant ces mêmes directions. Et comme nous venons de voir que la force accélératrice était mesurée par l'accélération du mouvement déviatoire, qui est

il en résulte que ses deux composantes seront aussi mesurées par celles de l'accélération.

Ainsi :

La composante tangentielle de la force accélératrice est

et la composante normale, dirigée vers le centre de cour* bure, est

R étant le rayon de courbure de la trajectoire : on désigne aussi cette dernière sous le nom de force ceiîtripete. Si au lieu de l'unité de masse on suppose une masse m , ces deux

composâmes se changeront en

dr R

282. Composantes tangentielle et normale de la force d'inertie. — Nous avons vu (n°264) que toutes les fois qu'une action s'exerçait sur un corps, celui-ci exerçait toujours en sens contraire une action égale, que Ton nomme réaction ou force d'inertie. Si Faction s'exerce par la pression ou la traction d'un autre corps , ou appareil matériel quelconque, c'est sur les points matériels en contact que s'exerce la réaction. Si elle provient d'un corps à distance, c'est toujours sur ce corps que la réaction s'opère ; et elle est encore égale et directement opposée à l'action qui a lieu sur le premier.

Cela posé, considérons un point libre ayant une masse m et décrivant une trajectoire quelconque sous l'action d'une certaine force , que nous nous représenterons comme produite par la traction d'un fil ou par la pression d'un autre corps ; la force d'inertie sera appliquée à ce fil ou ce corps extérieur, au point même de l'espace où se trouve le mobile , et pourra être décomposée en deux autres égales et opposées à celles de la force appliquée au mobile : l'une

tangentielle égale à m —^ > l'autre normale égale à — •

La composante normale sera donc dans le plan osculateur de la trajectoire et dirigée du côté opposé au centre de courbure ; de sorte que si l'on concevait qu'elle agît sur un point sans vitesse pendant un temps fini , ce point se mouvrait suivant la normale en s'éloignant de ce centre. C'est pour cette raison qu'on lui a donné le nom de jorce centrifuge.

On fait quelquefois de faux raisonnements relativement à la force centrifuge , parce qu 7 on ne se rappelle pas assez

qu'elle n'est pas appliquée au point en mouvement , mais au corps en contact avec lui , et qui , par sa pression ou sa traction, déterminerait ce mouvement» Si Ton supposait le mouvement produit autrement que par la pression d'un corps, la réaction, comme nous lavons dit, ne serait plus appliquée à un point en contact avec celui que Ton considère , et la dénomination de force centrifuge ne semble plus assez naturelle. Par exemple, en regardant le mouvement de la terre comme produit par l'attraction du soleil , la réaction de la terre est appliquée au soleil 5 sa composante normale Test donc aussi, et Ton serait obligé de dire que la force centrifuge produite par la terre est appliquée au soleil. On ferait peut-être mieux de supprimer cette dénomination qui obscurcit quelquefois les choses, et d'employer le mot réaction, qui rappelle toujours à quel point la force et ses composantes sont appliquées.

283, La force centripète, et, par suite, la force centrifuge, a d'abord été considérée dans le cercle, et son expression s'y détermine par des considérations très-simples. En effet, si on décompose la force accélératrice qui agit sur le point, et qui est nécessairement comprise dans le plan du cercle en deux autres forces , dont l'une soit tangente et l'autre normale au cercle, le mouvement de la projection du point sur la normale sera uniquement dû, comme nous le savons, à la composante normale. Or, en supposant celte composante constante de grandeur et de direction pendant un temps infiniment petit dt, la théorie du mouvement uniformément accéléré apprend que sa valeur sera égale au double de l'espace parcouru suivant la normale divisée par le carré du temps. Cet espace est égal au carré de la corde, ou de l'arc ds , dont il est la projection, divisé par le dia-

ds*

lit* mètre 2R5 donc la composante nortnale est égale à — ou

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 33o,

à -• Telle est donc , dans le cercle, l'expression de la force

centripète ou de la force centrifuge. Elle serait — pour le

point dont la masse serait m.

Si Ton désigne par &> la vitesse angulaire du rayon qui contient le mobile, on aura

v = wR,

et l'expression de ces forces devient

/nw'R, ou encore

en désignant par T le temps que le point met à décrire le cercle. %

En supposant que le mobile soit obligé de décrire le cercle au moyen d'une tige ou d'un fil, sans masse, de longueur invariable, dont une extrémité est fixée au centre, ce fil tire le point et produit sur lui la force centripète; il est tiré à son tour par la force centrifuge. Ces deux forces en équilibre sur le fil déterminent sa tension.

Si Ton supposait, au lieu de cela, un cercle matériel que le mobile ne pourrait quitter, par exemple un anneau creux infiniment étroit, dans l'intérieur duquel serait le point en mouvement , ce cercle exercerait sur lui une force dirigée vers le centre*, et, réciproquement, celui-ci en exercerait une autre sur ce cercle, égale et directement opposée.

Enfin on peut concevoir un mode de liaison quelconque qui oblige le point à décrire un cercle. Nous allons en donner un exemple très -simple et très-important par les conséquences qui s'en déduisent relativement à la pesanteur.

3A() COURS DK MECANIQUE.

284. Influence du mouvement de rotation de la terre sur là pesanteur. — Considérons un système de forme invariable et dont les points exercent les uns sur les autres des actions quelconques détruites par leur liaison mutuelle, et donnons-lui un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe. Il est facile de reconnaître qu'alors les liaisons du système détruisent, pour chaque point matériel, les actions mutuelles qu'il subissait dans l'état primitif, jointes à la force centrifuge correspondante à sa masse et à son mouvement.

En effet, on peut ajouter à toutes les actions primitives la force centripète et la force centrifuge relatives à chaque point, puisque ces deux forces se détruiront. Or la force centripète produirait le mouvement du point s'il était libre; il faut donc que toutes les autres soient détruites : donc la résultante des actions mutuelles primitives exercées sur chaque point, et de la force centrifuge considérée alors comme appliquée à ce point même, est détruite par les liaisons.

Soient /* la distance d'un point quelconque du corps h l'axe , et T le temps de la révolution entière \ la vitesse de ce

point sera -— > et la force centrifuge %=r 2 — On voit qu'elle

est proportionnelle â la distance de l'axe \ elle est donc nulle aux extrémités de l'axe, et la plus grande possible pour le point le plus éloigné de l'axe.

La terre est animée d'un mouvement de rotation qui , comme nous venons de l'expliquer, introduit parmi les forces détruites par la liaison des points , une force centrifuge qui n'existerait pas si elle n'avait qu'un mouvement de translation, par lequel tous ses points décriraient, dans un même temps infiniment petit, des droites égales et parallèles. Ce mouvement de rotation s'effectue dans 86164 se-

coudes, et Ton a, par conséquent,

A l'équateur, la rotation de la terre et la force centrifuge étant directement opposées , la pesanteur a une valeur égale à celle qu'elle aurait si la rotation n'avait pas lieu, diminuée de la force centrifuge. Si Ton faifr d'abord abstraction du petit changement de la pesanteur à la surface de la terre, on pourra la regarder comme égale à g- à Téquateur, et si Ton appelle G celle qui aurait lieu si la terre ne tournait pas sur elle-même, et qui est la résultante des actions mutuelles, on aura

Mais 2 7tr= 4 0000000 } -donc on aura à peu près

* — , et g = G *

gT 289 * 289

ou, à très peu près,

La gravité est donc diminuée environ de -~ de sa valeur par la force centrifuge à l'équateur. Et comme 289 est le carré de 17 et que la force centrifuge est proportionnelle au carré de la vitesse*, si le mouvement de rotation était environ 17 fois plus rapide, la pesanteur serait nulle à l'équateur.

Sur un parallèle quelconque, la force centrifuge n'est pas directement opposée à l'attraction de la terre, mais elle change très-peu la direction de cette attraction ou de la gravité, et la diminution de son intensité est sensiblement égale à la projection de la force centrifuge sur la normale

a la sphère, ou - — ~ , r' étant le rayon du parallèle,

et X sa latitude. Or, en supposant la terre sphérique, on aura

r z=z r cos \ ,

et la diminution de la pesanteur sur ce parallèle sera

-p- cos **

Elle varie de Féquateur au pôle proportionnellement au carré du cosinus de la latitude. Mais la terre n'étant pas tout à fait sphérique, il en résulte une autre diminution proportionnelle au carré du cosinus de la latitude, et qui s'ajoute à la première 5 de sorte que le. poids d'un corps transporté du pôle à Téquateur diminue de ~ au lieu de j-^.