r — - = 1. c — - = I. C ~r i dt de dt
OU
, . dx dy „ dz
y dt dt dt
Intégrant de nouveau et désignant par a, a', a." trois nou velles constantes arbitraires, on obtient
(2) ex -h oc = c'y + a' = c"z -f- a".
Les coordonnées du mobile satisfaisant à deux équations du premier degré, il s'ensuit que la trajectoire est une ligne droite.
La position initiale du mobile sera uu point de cette droite. Les composantes initiales de la vitesse donneront , au moyen des équations (i), les rapports des coefficients c, c', c". La droite donnée par les équations (2) sera donc déterminée, puisqu'on connaît sa direction et un de ses points.
Ainsi , la question est ramenée au mouvement sur une droite donnée, et sera traitée comme précédemment, quand la force sera connue.
286. Mouvement produit par une force constamment normale à la trajectoire. — La condition connue pour que deux droites soient perpendiculaires, donne immédiatement, dans le cas actuel, l'équation
dx d 2 x dy d 2 y dz d* z
dt 10 ~cît lit 2 "*~ ~dt UF ~ °*
Or le double du premier membre est la dérivée de
dx\ 2 fdj\ 2 IdzV
au de y% v désignant toujours la vitesse, il en résulte donc que la vitesse est constante. Ainsi , en désignant par e sa valeur initiale, on aura
dx 1 dr 7 dz 2
Il suffira donc de connaître deux autres équations pour que le mouvement soit déterminé. Nous n'en offrirons ici aucun exemple ; nous nous étions proposé seulement d'établir la proposition générale suivante :
Lorsque la force qui sollicite un point matériel est toujours normale à sa trajectoire, le mouvement de ce point est uniforme.
On se trouve dans les conditions de cette question quand on considère un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe qui ne produit aucun frottement , en admettant qu'il n'y ait aucune force autre que la résistance de la courbe ou de la surface : le mobile est alors sollicité par une force constamment normale à sa trajectoire, et son mouvement sera par conséquent uniforme.
Remarque. — On aurait pu parvenir aux conséquences précédentes, relativement à ces deux dernières questions, au moyen des formules qui expriment la composante tangentielle et la composante normale de la force appliquée au mobile.
En eifet, si cette force est toujours tangente à la trajectoire, la composante normale est toujours nulle; et Ton a, en chaque point,
- =r O , OU K = 00 .
Donc la ligne est droite , puisque son rayon de courbure est infini en chaque point.
Et, si la résultante est toujours normale, la composante
tangentielle -jj. est toujours nulle; et, par conséquent,
—5 ou la vitesse, a une valeur constante.
dt
287. Propriété du mouvement produit par une force qui passe par un point fixe. — Lorsqu'un point matériel est sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe que Ton prendra, pour plus de simplicité, comme origine des coordonnées, les cosinus des angles formés par la direction de cette force avec les axes doivent être proportionnels aux coordonnées x, y, z du point; et, comme
ils sont proportionnels aux composantes -— ? -— ^ > —t-j de
la force accélératrice, on aura
, , Ht 2 It 2 It 2
d'où Ton tire
J dt 2 dt 2 * dt 2 dt 2 ' • dt 2 7 dt 2
et, en intégrant par rapport à £,
, v dz dy dx dz „, dy dx
2 J-— z-f = C, z — — x-j = C y x-f— y- r = C", x ' J dt dt ' dt dt dt dt
C , C, C" étant des constantes arbitraires.
Si l'on multiplie la première de ces équations par x, la seconde par y, la troisième par z , et qu'on les ajoute , on trouvera l'équation suivante entre les coordonnées du point à un instant quelconque :
