Soit l'équation de la sphère
(1) ^ + / 2 -f 3 2 -=fl'...;
les équations du mouvement seront
d'x , Njf d 2 r , Nr d 2 z , Nz
W dt* a ' dP a dp 6 a
Taxe des z étant supposé dans le sens de la pesanteur. La vitesse sera donnée par l'équation
(3) v 2 = l-j =c + '2gz;
la constante c étant déterminée par la hauteur et la vitesse initiales du mobile.
L'équation des aires n'a plus lieu pour tous les plans \ mais, comme la résultante des forces qui agissent sur le point, coupe toujours Taxe des z, elle aura lieu pour le plan des x et y, comme nous l'avons dit précédemment. On aura donc, en désignant par c' une constante arbitraire,
(4 ) xdy — / dx pz c' dt ;
3gO COUES DE MECANIQUE.
l'équation (3) peut se mettre sous la forme
dx* -f- dy 1 -f- dz %
Les équations (i), (4), (5) suffisent pour déterminer jr, y, z en fonction de t.
DiflTérentiant d'abord l'équation de la sphère, nous aurons
(6) xdx-\-ydy = — zdz\
ajoutant les carrés des équations (4) et (6), il vient (x 2 +y 7 ) (dx* H- dy 7 ) z=z 7 dz 7 + c' 7 dt 7 ,
et en tirant x* -\-y* et dx* -f- dy % des équations (i) et (5), on obtiendra entre z et t l'équation
(û J — z a )[(c-H * gz) dl 7 — dz 7 ] = z*dz 7 + c' i dt t y d f où Ton déduit
(7) dt = •
Le signe — • correspond au cas où le mobile monte , et le signe -+- à celui où il descend.
De là on tirerait , en intégrant,
/ = F(z) ou z=F,(f).
Il reste à déterminer la projection horizontale du mobile , soit par les coordonnées x et y, soit par des coordonnées polaires \ nous nous arrêterons à ce dernier moyen .
L f équation x dy — ydx~c'dt devient, en désignant par rie rayon vecteur de la projection, et par ty l'angle qu'il fait avec l'axe des x ,
(8) r 7 dty=zc'dt et r 7 =a 7 — z 1 -,
PREMIÈRE ANNKK. — STATIQUE. 3g l
donc, en se bornant au signe supérieur, j\ c> d* ac' dz
Si Ton substitue à dt sa valeur en z et dz^ ou si Ton suppose z exprimé au moyen de t par l'intégration précédente, une nouvelle quadrature fera connaître <{/ en fonction de z ou de 1 5 et comme on a
r 2 = rt J — z t =¥ 2 (t) f
toutes les coordonnées du mobile seront connues en fonction de t. Mais ces diverses intégrations ne peuvent être calculées que par approximation.
Si l'on veut connaître l'angle que forme, avec la verticale, le rayon mené du centre de la sphère au point mobile, on aura , en le désignant par 0,
cos ô = --; a
il sera donc connu quand z le sera.
317. Déterminons maintenant la constante c'. Pour cela, décomposons la vitesse initiale du point en deux autres, dont Tune soit perpendiculaire au plan vertical passant par ce point et le centre de la sphère , et l'autre soit comprise dans ce plan. La première sera la composante de la vitesse de la projection horizontale du point , suivant la perpendiculaire au rayon vecteur r de la courbe décrite par cette projection; car cette perpendiculaire est normale au plan vertical dans lequel se trouve la seconde composante totale de la vitesse absolue du point, et par conséquent cette composante donne une projection nulle sur la perpendiculaire au rayon vecteur de la projection horizontale.
Soient , dans la position initiale du point , d la valeur de z, h la vitesse, qui est nécessairement tangente à la
3o2 cours de mécanique.
sphère , et a l'angle que fait sa direction avec la perpendiculaire au plan vertical qui passe par le point et le centre de la spbère -, on aura , d'après ce qui vient d'être dit ,
r —7- = k cos a ,
de
et, substituant à -^ sa valeur tirée de l'équation (8),
— = h cos a :
comme on a, au point de départ, r = ^a* — rf% la valeur de c f sera
(10) c' = /• y«* — d 7 cos a.
Si la vitesse initiale est nulle, ou dirigée dans le plan vertical passant par le centre, on a c' = o, et l'on retrouve les équations du mouvement du pendule simple dans un plan vertical.
318. Il reste à calculer à chaque instant la grandeur et le sens de la force N que produit la surface. Pou'r obtenir sa valeur de la manière la plus simple , nous multiplierons les équations (2), la première par a;, la deuxième par y, la troisième par z, et nous les ajouterons; il en résultera
xd*x-t-yd*y + zd 2 z . __
Or, on a
xdx -\-ydy -+- zdz -H o,
et , en différentiant .
xd*x + yd 7 y + zd 7 z = — dx* — dy* — dz* =— ds* ',
l'équation (11) devient donc
— v a = ± N fl -j- gz 9
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. 3q3
d'où
v 7 + gz
et comme N est essentiellement positif, on verra , d'après les valeurs de v et z à chaque instant , lequel des deux signes du premier membre on doit prendre pour que cette équation ne soit pas absurde ; on saura ainsi quels signes il faut prendre à cet instant dans les équations (3), et, par conséquent , quel est le sens de la force produite par la surface.
Si zest positif, le second membre de l'équation (12) est négatif, et l'on doit prendre le signe inférieur dans le premier membre \ d'où il résulte que la surface produit sur le point une force dirigée de la surface vers le centre , toutes les fois qu'il est situé au-dessous du plan horizontal mené par le centre de la sphère.
Si z est négatif, c'est-à-dire si le point est au-dessus de ce même plan horizontal , les deux termes du second membre de l'équation (12) sont de signes contraires , et le résultat peut être négatif, nul ou positif. On prendra encore le signe inférieur de N si l'on a
la force N sera nulle quand on aura
— ** = "S et l'on devra prendre le signe supérieur lorsque l'on aura
dans ce dernier cas, la surface produit sur le point une force dirigée vers l'extérieur de la sphère , et, par conséquent , le point fait effort pour s'approcher du centre. On peut se rendre compte directement de ces diverses
3g4 COURS DE MECANIQUE.
conditions relatives au sens de la force N ; il suffit, pour cela , de se rappeler que la résistance de la surface sur laquelle un point est en mouvement détruit la composante suivant la normale à cette surface , tant des forces appliquées au point que de la force centrifuge.
Cela posé, soit R le rayon du cercle suivant lequel le plan osculateur en un point quelconque de la trajectoire coupe la sphère, et qui n'est autre chose que le cercle
osculateur de cette courbe: la force centrifuge sera — > et
MX
il faudra la multiplier par — pour avoir sa composante suivant le rayon de la sphère, qui passe au même point. On a ainsi -» et cette force est dirigée suivant la partie extérieure de la normale à la sphère. Quant à la composante normale de la pesanteur, elle est dirigée suivant la partie extérieure de la normale lorsque le point est dans l'hémisphère inférieur, et vers le centre lorsque le point est dans l'hémisphère supérieur. Donc, en la considérant comme positive quand elle est dirigée à l'extérieur, et comme négative dans la direction contraire , elle sera exprimée par
— ] de sorte que — sera la pression détruite par la surface , et le signe de cette expression indiquera le sens de cette force comme nous venons de l'expliquer. Il suit de là que la surface remplace une force égale et opposée , et, par
conséquent , représentée par — 5 le signe étant entendu de la même manière. Ainsi , dans l'hémisphère inférieur, cette expression étant évidemment négative , la force produite par la surface est dirigée vers le centre. Dans l'autre hémisphère , elle sera encore dirigée vers le centre si Ton a
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 3g5 *
elle aura la direction contraire lorsque v* -H gz sera <o. On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.
319. Mouvement d'un pendule qui s'écarte très-peu de la verticale. — Le mouvement du point sur la sphère peut être réalisé en supposant ce point lié au centre par une ligne inflexible et sans masse. Ainsi, le problème que nous venons de traiter est celui du pendule simple , considéré de la manière la plus générale. Les calculs peuvent s'exécuter complètement lorsque le pendule fait toujours un très- petit angle avec la verticale menée par le point de suspension.
Soient l'angle variable que forme la direction du pendule avec celle de la pesanteur, a sa valeur initiale correspondante à z = rf, et supposons que la vitesse initiale h ait une direction horizontale, auquel cas la valeur c' devient
c' = h \fa 2 — d*.
En négligeant les quantités très-petites du troisième ordre et des ordres supérieurs, devant celles du second, nous aurons
a 0* a a* — z=racos9 = a » — d = acos<À = a >
c = k' — 2ga -f- gaa} 9 c' 7 = A'a'sin'a^ fcd 1 **.
La formule (7) deviendra
Orf0
k 2 et posant — = 6*.
(l3 clt=z±.i/-. . ■__,
3g6 COURS DE MECANIQUE.
d'où Ton voit déjà que restera constamment compris entre a et ê. Il en résulte que si Ton a 6 = a , on aura constamment = a ; le pendule décrira donc un cône de révolution autour de la verticale , et le point matériel décrira un cercle horizontal. Quant à l'angle ^, la formule générale
r*dù-=ic'dt devient rf\L = — — 'dt, et comme = a = S , elle se réduit à
d'où l'on tire , en faisant commencer l'angle <{/ en même
temps que t,((/ = (l/- Ainsi, dans ce cas, le mouvement
du pendule est uniforme , et il décrit la surface conique
entière dans un temps égal à 27T 4 /?.
V g Revenons à l'équation (i3) qui est évidemment intér-
grable; mettons* la sous la forme
=*vi
QdQ dt
et posons
il en résultera
si
1» 1 ou
f+c, = 3Zt\/ -.arccosw.
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. Se}*]
La constante c t se déterminera en exprimant que t = o donne 6 = a , et par suite x = i pi en résultera
c, =r o, et f = ±7 1 / - • arc cos «,
ou
W = COS. 2f 4 /-)
d'où Ton conclura pour 0* la valeur suivante :
a a — g» /a- COS. 2f 4/-
2 y fl
OU
(i4) 0* = a' cos'.f 4/£ 4- ê'sm'. f 4/^.
On reconnaît immédiatement que 6* est périodique, et que la durée de la période est tt i/ — Pour £ = o, on a
pour t = \n 4 /-» c'est-à-dire au milieu de la période, on a
et lorsque / == 7i 4/-? on retrouve
De sorte qu'un observateur qui se mouvrait avec le plan vertical qui contient le pendule, verrait osciller ce dernier entre les deux directions faisant avec la verticale, et d'un même côté, les angles a, ë. Le temps qu'il mettrait pour
arriver de Tune à l'autre serait ^7r 4/-; mais, au milieu
de cet intervalle, il ne serait pas à égale distance de ces deux droites, et Ton aurait à cet instant
ce qui donne pour une valeur plus grande que la moyenne
Il reste à connaître ty en fonction de f . Or, on a r*dyz=cdt 9 ou ay = — 77 =
Remettant pour S 8 sa valeur en t , il vient
a' cos'.f l/£ H- 6'sin 2 ./ i/£
Pour intégrer cette expression, nous poserons, d'après la méthode ordinaire, tang.Z i /£ = y, et nous obtiendrons
d'où Ton déduit
4> = arc tan# — ••
11 n'y a pas de constante à ajouter, parce que Ton doit avoir en même temps
Cette équation peut se mettre sous la forme
--tang^,
OU
(16) tangï|/ = -- tang.fi/ £•
On voit que l'angle ty ne croît pas uniformément; il prend successivement les valeurs rc, 27r, 3tt, . . ., nra, pour les valeurs successives de t qui rendent le second membre nul ;
ces valeurs sont 7rl/-v>7ïir\/-« Aux milieux de ces di-
vers intervalles de temps , le second membre devient infini ; le premier le devient donc aussi, et les valeurs de <p sont ^71, 7r -h ^7r,...', de sorte que le plan vertical qui contient le pendule se trouve perpendiculaire à sa position initiale. Ainsi , les quatre quarts de la révolution de ce plan sont
parcourus dans des intervalles de temps égaux à - 1/ -•,
et, pendant chacun d'eux, le pendule accomplit dans son plan vertical une oscillation qui l'amène de l'une à l'autre des deux directions extrêmes qui font avec la verticale les angles a et 6.
On peut encore remarquer que le plan vertical du pendule met toujours le même temps à parcourir deux angles droits, à partir d'une quelconque de ses positions.
320. Si l'on veut connaître le mouvement de la projection du point sur le plan horizontal, il faut obtenir en fonction de t , soit r et <J>, soit x et y.
D'abord l'équation (16) fait connaître ^ 5 et pour avoir r, il suffira de recourir à la formule
et de substituer à — sa valeur tirée de l'équation (i5)}on
trouvera ainsi
( 1 7 ) r * = aM a 2 cos* . t \J ^ + & sin* . / l/| ) •
Les équations (16) et (17) résolvent la question. On obtiendra l'équation de la projection de la trajectoire sur le plan horizontal , en éliminant t entre ces équations , ce qui
conduit à
7? sin 1 ^ -f- ê'cos 1 ^
Il est facile d'y reconnaître l'équation d'une ellipse. On l'aura en coordonnées rectangles en posant
xz=z r cos \p , y = r sin i|» ; elle devient ainsi
Ses demi-axes sont aa^bS\ ils sont renfermés dans deux plans verticaux rectangulaires , dont l'un passe par le point de départ.
Enfin , si Ton veut avoir x et y en fonction de t, il suffira de substituer dans les formules
x = r cos ip , jr = r sin ^ ,
la valeur de r donnée par l'équation (17) et les valeurs de cos^, sin ^ qu'on tirera de l'équation (16).
On trouve ainsi
x 2 = a 1 ** cos a .f 1 /£, y- = a'&sin'.t i/^-
On peut faire ici une remarque qui se rapporte à un principe général dont nous parlerons plus tard. Elle tient à ce que la valeur de x ne dépend pas de 6, ni celle de y de a. 11 suit de là que le mouvement projeté sur l'axe des x est le même que si 6 était nul , et que le pendule écarté de la verticale d'un angle a fût abandonné sans vitesse initiale à l'action de la pesanteur. Semblablement, le mouvement projeté sur
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 4° l
l'axe des j* est le même que si le pendule partait de la verticale avec la vitesse initiale donnée, qui se trouvera dirigée suivant l'axe desjp. Ainsi ces deux causes de mouvement, savoir, l'écartement de la verticale et la vitesse initiale, produisent séparément leur effet $ et l'on a la position du mobile à un instant quelconque , en composant les déplacements correspondants à ce même instant, dans les deux mouvements qui seraient produits respectivement par chacune des deux causes agissant isolément.
