TRAVAIL D'UNE FORCE. — FORCE VIVE

321. Pour faire comprendre simplement l'origine de la dénomination de travail, supposons que l'on emploie des hommes à élever directement , d'un mouvement uniforme, du minerai du fond d'un puits à la surface du sol. Il est évident que chacun de ces hommes fera constamment un même effort égal au poids du corps qu'il élève-, le temps pendant lequel il devra être employé sera évidemment proportionnel au poids total qu'on veut qu'il élève , et à la hauteur dont il aura été élevé. Ainsi , ce que Ton appelle vulgairement le travail de chacun de ces hommes, et, par suite, la dépense, sera une quantité proportionnelle à ce poids et à la hauteur \ c'est-à-dire à la force verticale qui agit , et à la quantité dont s'élève son point d'application.

C'est d'après des considérations de ce genre qu'on a été conduit à donner le nom de travail d'une force au produit de cette force par le chemin parcouru par son point d'application, lorsqu'il est déplacé suivant la direction de c<flte force.

En examinant le cas moins simple où le point d'application de la force ne se meut pas dans la direction de cette force, on a reconnu, comme nous le ferons voir plus tard, que l'utilité produite et la dépense occasionnée sont proi. 26

portionuelles au produit de la force par le chemin parcouru par son point d'application dans le sens de la force; ou, en d'autres termes, par la projection de ce chemin sur la direction de la force. C'est à ce produit qu'on a donné généralement le nom de travail de la force.

D'après cette définition, le travail sera mesuré par le nombre i lorsque la force sera égale à l'unité, et que «on point d'application se déplacera d'une longueur égale à l'unité dans le sens de la force. Ainsi l'unité de travail est le travail correspondant à un poids de i kilogramme élevé verticalement de i mètre.

C'est dans le calcul de l'effet des machines que la consi dération du travail se présente le plus naturellement. Mais nous croyons devoir en parler dès à présent, parce que les remarques que nous ferons dans des cas simples , prépareront naturellement aux considérations plus générales que nous devons renvoyer après l'étude du mouvement des systèmes. La quantité de travail d'une force est regardée comme positive lorsque la projection du déplacement du point est dans la direction de la force , ou lorsque le déplacement fait un angle aigu avec cette direction. Il est négatif dans le ras contraire, qui est celui de l'angle obtus; il est nul si l'angle est droit, c'est-à-dire si le point ne se meut ni dans le sens de la force ni en sens contraire.

Si la force n'est pas constante , on est obligé , pour calculer le travail produit d'après la définition précédente, de partager le mouvement en intervalles infiniment petits, pendant chacun desquels la force pourra être considérée comme constante*, et le travail total sera la somme des quantités élémentaires de travail, c'est-à-dire l'intégraleyPdkcoscp prise entre les deux limites extrêmes ; P désignant la force variable, ds l'élément de la courbe décrite, et <f l'angle de la direction du mouvement avec celle de la force P.

Telle est la manière dont nous entendrons toujours, tant

en signe qu'en grandeur, le travail, élémentaire ou fini, d'une force quelconque.

322. Nouvel énoncé du principe des vitesses virtuelles. — On voit que le moment virtuel d'une force ne diffère pas de la quantité de travail élémentaire de cette force correspondante au déplacement virtuel de son point d'application. On peut donc énoncer de cette manière le principe des vitesses virtuelles :

Lorsqu'un système quelconque de points est en équilibre, la somme algébrique des quantités de travail de toutes les forces est nulle pour tout déplacement infiniment petit, compatible avec les liaisons du système.

Et, réciproquement, si cette somme est nulle pour tout déplacement possible , le système est en équilibre.

323 . Travail de là résultante de forces quelconques . — Lorsque des forces appliquées à un système rigide ont une résultante, elles se trouveraient en équilibre si l'on introduisait une force égale et opposée à cette dernière. La somme des quantités de travail virtuelles serait donc nulle , et , par conséquent, le travail virtuel de la force introduite est égal, au signe près, à la somme de ceux qui correspondent aux forces données. Et comme cette force et la résultante, étant égales et contraires, donnent des quantités de travail égales et de signes contraires , on arrive à celte conséquence :

Le travail de la résultante de forces appliquées à un système rigide quelconque est égal à la somme des travaux des composantes pour tout déplacement infiniment petit de ce système.

Dans cet énoncé , les forces sont considérées comme nécessairement positives. Or il est souvent utile d'introduire les composantes des forces parallèlement aux axes de coordonnées , et l'on a alors à traiter des forces positives ou négatives. Nous avons discuté cette question (n° 89) pour les

moments virtuels : il est donc inutile d'y revenir pour les quantités de travail , qui n'en diffèrent pas, et la quantité élémentaire de travail , positive ou négative , d'une force qui a pour composantes X, Y, Z, sera

Xdx + Ydy + Zdz,

dXj dy, dz étant les composantes, positives ou négatives , du déplacement du point d'application de cette force.

324. Force vive. — Considérons d'abord le mouvement rectiligne d'un point ayant pour masse m, et soumis à l'action d'une force motrice F. On aura l'équation

Le travail élémentaire de celte force correspondant à l'espace parcouru dx est F dx : et l'équation précédente donne

d % x (i) Ydx = m —-dx =z±d.mt>* 9

x ' dt* *

dx v désignant toujours la vitesse, ou — • On voit donc que

l'accroissement infiniment petit du travail de la force est égal à la moitié de l'accroissement de la quantité mv*. On a donné à cette quantité mv* le nom de force vive du mobile. Cette dénomination est impropre \ puisque le produit d'une masse par le carré d'une vitesse n'a aucun rapport avec la mesure d'une force; mais nous la conserverons pour éviter les inconvénients attachés au changement de nom, et parce que d'ailleurs elle ne peut induire en erreur, dès qu'on s'est bien entendu sur sa signification.

L'équation (i) peut s'énoncer de la manière suivante : Dans le mouvement rectiligne d'un point libre , le travail élémentaire de la force qui agit sur lui, est égala la moitié de l'accroissement correspondant de la force vive de ce mobile.

Si la force F varie d'une manière quelconque avec la

position du point T et même avec le temps, la proposition précédente aura toujours lieu pour les intervalles infiniment petits, dans lesquels on pourra décomposer, soit un temps, soit un espace fini. Désignons par v et v les valeurs de la vitesse au commencement et à la fin de cet intervalle , on aura, en faisant la somme des équations (i) relatives à tous les éléments qui le composent,

(2) \m^^\mv\-=ijYdx.

La somme f pourra s'effectuer si F ne dépend que de x , et si, dan» ce cas, on désigne par <p (x) la fonction dont la dérivée par rapport à x est F, et par x et x les valeurs extrêmes de l'abscisse, l'équation précédente devient

Mais dans tous les cas possibles , comme le second membre fFdx est la somme des quantités de travail, positives ou négatives produites, dans tous les intervalles infiniment petits, et, par conséquent, le travail total produit dans l'intervalle fini, l'équation (2) peut s énoncer ainsi :

Dans le mouvement rectiligne d'un point matériel libre, le travail de la force dans un intervalle quelconque est égal à la moitié de F accroissement correspondant de la force vive du mobile.

325. Relation entre la force vive et le travail, dans le mouvement général d'un point. — i°. Supposons d'abord le point libre et sollicité par une force motrice F dont les composantes parallèles aux axes soient X, Y, Z$ les équations de son mouvement seront, en désignant par m sa

masse ,

v ; dt* ' dt* ' dt*

Or, d'après ce que nous avons avons démontré (n° 323), le travail de la force F, pour un déplacement ayant pour

composantes dx, dy^ dz , est

expression que Ton obtiendra en ajoutant les équations (i) , après avoir multiplié la première par dx, la seconde par dy et la troisième par dz. On trouve ainsi

/d'x J d'y , </ J z , ' Xdx-h Ydy ^Zdzzzzml—dx-h-^djr^ — dz

ou

(2) Xdx + Ydy + Zdz = { d.mv 7 .

Le premier membre est le travail de la force F, ou la somme algébrique des quantités de travail des forces dont F serait la résultante. L'équation (2) exprime donc le théorème suivant :

Dans le mouvement d'un point libre, la somme des

quantités élémentaires de travail, relatives aux différentes

forces qui y sont appliquées, est égale à la moitié de

r accroissement correspondant de la force vive du mobile.

Cette égalité ayant Heu pour tout intervalle infiniment petit, a lieu pour une somme quelconque d'intervalles, et, par conséquent, pour un intervalle fini $ ce qui donne la proposition suivante :

La somme des quantités de travail des différentes forces appliquées à un point matériel libre, pendant un temps fini quelconque , est égale à la* moitié de V accroissement de la force vive de ce point, dans ce même intervalle.

Lorsque les composantes totales X, Y, Z seront les dérivées partielles d'une. même fonction ç ( x , y , z) , l'expression X dx -h Ydy -hZdz sera égale à d.y (x, y, z) r et l'équation (2) pourra être intégrée. En désignant pas x , /o? s , v les valeurs de x, y, z, v relatives au commencement de l'intervalle arbitraire que Fon considère, l'équation (2), intégrée jusqu'à une limite quelconque, corres-

pondante aux coordonnées #, y, z , donnera

(3) ±nw* —\mv\ = ?(•*,/, z) — ?(*„/,, *,).

2°. Supposons maintenant le point assujetti à rester sur une courbe ou une surface fixe, qui n'exerce sur lui aucun frottement, et qui ne produit, par conséquent, qu'une force normale à la trajectoire. Soient encore X , Y , Z les composantes totales des forces extérieures qui agissent sur le point.

En joignant à ces dernières forces, celle que produit la courbe ou la surface , le point peut être considéré comme libre, et l'équation (2) s'appliquera , en comprenant la force normale parmi toutes celles qui entrent dans le premier membre. Mais le travail élémentaire d'une force normale à la trajectoire est nul , puisque la projection de l'arc infiniment petit sur la normale est nul. Il ne reste donc dans le premier membre que le travail des forces extérieures 5 et l'on a encore , dans ce cas ,

(4) Xdx~t-Ydf + Zdz=±d.m<>\

et si

Xdx -+- Ydjr 4- Zdz = d.y[x 7 y y z) ,

il s'ensuivra

(5) i/WP' — 1 /»<>;=: ?(*,/, *) — <p(3o,J , Z ). •

On voit donc que la relation entre le travail des forces extérieures et la force vive d'un point matériel, est la même , soit que ce point soit libre, soit quil se meuve sur une courbe ou une surface fixe, sans frottement. Si la pesanteur est la seule force extérieure , on a

X=o, Y = o, Z=r — mg,

et l'équation ( 5) devient

1 ,/i„» — 1 mu] z=z mg («0—2).

4o8 COURS DE MÉCANIQUE.

On retrouverait ici les propositions démontrées dans le ii° 263; il est inutile de les reproduire de nouveau.