PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION
326. Lorsqu'un point libre , ou assujetti à se mouvoir sur une surface fixe , est soumis à l'action de forces telles que l'on ait
X/£z 4- Ydy -f- Zdz = d.y (x f y 9 z), et, par suite,
la courbe qu'il décrit jouit de la propriété remarquable, qu'en prenant pour v cette valeur en a:, y, z, l'intégrale fvds, prise entre deux points quelconques A et B de cette courbe, est moindre qu'elle ne le serait pour toute autre courbe terminée aux deux points A , B , et assujettie à rester sur la surface fixe, quand le point s'y trouve lui-même assujetti. Il s'agit donc de démontrer que
fyz<f (x, y, z) 4- C ds est un minimum quand a: , y, z satisfont aux équations de la trajectoire ; et pour cela il faut prouver que la variation $ fvds est nulle, y représentant \/2<p (x, y, z) 4- C. Remarquons d'ailleurs que si l'on fixait la c*ourbe quelconque que l'on considère entre A et B, et qu'on assujettît le point matériel à y rester, en le soumettant à l'action des mêmes forces extérieures, sa vitesse serait toujours donnée par la même formule
sjiy (Xjji z) H- C. Or le calcul des variations donne §fi>ds = fti(i>ds)=f{St>ds-hv$ds),
toutes ces intégrales étant prises entre les deux points A
et B. Or
et l'équation
p 2 = 2<p(.r, j, z)4-C donne
et il faut remarquer que dans X, Y, Z les valeurs de .r, j, z se, rapportent aux points de la trajectoire, et que x 4- ôx, y 4- dp, z 4- âz sont celles des points correspondants de la courbe infiniment voisine.
Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, on a à chaque instant
-r- = X4-Ncos>, -^- = Y 4-Ncosa, — — =Z-hNcosv;
dt x 'de* . r dt 1
et s'il est libre, il suffira de supposer N = o dans ces équations , qui peuvent ainsi représenter les deux cas. On en déduit
X Sx 4- Y S y h- z S z = -~ Sx 4- ~r~ Sy 4- tt & ^ dt* > dt* J de 2
— N ( 5 x cos > -+- £/ cos f* + £z cos v ).
Or, la dernière partie du second membre est nulle si le point est libre, parce qu'alors N = o. Elle est nulle encore si le point étant assujetti à rester sur une surface fixe, la courbe infiniment voisine est aussi assujettie à s'y trouver, parce que la droite qui joint deux points correspondants étant perpendiculaire à la normale dont les angles avec les axes sont X, jx, v, on a #
Sx cos > 4- S y cos jx 4- Sz cos v = o.
On aura donc , dans ces deux cas ,
X Sx 4- Y* y 4- ZSz = -t-^ Sx 4- -~ Sy 4- V^ *« >
4 10 COURS DK MÉCANIQUE.
et , par suite ,
Maintenant de l'équation
ds* = dx 7 -h d/ 2 -f- dz 2 on déduit
dsSds = dxàdx -H dySdf -+- dzSciz;
d'où, en divisant par A, et intervertissant les caractéristiques d et cl,
. , <&? . ». */y , « dz . ~
Réunissant les deux parties de la variation de fvds, on obtient
. dx r/r . dz \
et cette dernière expression doit être prise aux deux limites de l'intégrale. Or, elle y est nulle, puisque les deux points extrêmes étant fixes, dx, dy^ àz^ sont nuls; et il suffirait même que le déplacement de ces deux points s'effectuât suivant une direction perpendiculaire à la trajecloire, pour que l'on eût, en chacun d'eux,
dx dr dz
— <î# 4- -r- <îr + -7- #z = o.
dt dt J dt
La variation dj^ds étant nulle, l'intégrale Jvds sera, en général , minimum ou maximum. La question ne comporte pas de maximum; mais il pourrait se faire qu'il n'y eût pas non plus minimum.
327. Quand le mobile est assujetti à rester sur une surface fixe et n'est sollicité par aucune force extérieure ,
PREMIÈRE ANNEES. — STATIQUE. 4 1 l
sa vitesse est constante, et Jvds = vs\ donc l'arc parcouru est un minimum entre deux quelconques de ses points, et, par conséquent, le temps employé à le parcourir est aussi minimum.
328. Application au mouvement d'un point. — La trajectoire décrite par un point libre, ou assujetti à rester sur une surface, satisfaisant à la condition de minimum pour l'intégrale fvds y lorsque Ton a
. X<*r-+- Ydy-\- Zdzz= d.y(x,y t «),
on peut, en exprimant cette condition, parvenir aux équations de cette ligne. Considérons d'abord le cas d'un point libre.
En mettant pour v sa valeur tirée de l'équation
il faudra écrire les conditions de minimum de l'intégrale
f^dx 2 + df*-hdz* \/2<j)(x,7, z) H-C.
Les règles du calcul des variations conduisent aux équations suivantes :
Xds
,/ dx\ Yds / d r \ Zds ï dz\
On sait que ces trois équations se réduisent à deux, et ce sont celles de la trajectoire , en remplaçant v par sa valeur en #,/, z. Si l'on effectue les différentiations, en prenant 5 pour variable indépendante , on obtient
ds
ds 2 ds \ ds
7 d 7 jr djr / dx djr dz\
ds 7 ds \ ds ds ds J
„ d 7 z ' dz / r dx „dy n dz
ds 7 ds \ ds ds ds
4l2 COURS DE MÉCANIQUE.
dv fi. Y
Si l'on multiplie la première par — » la seconde par — 9
